专题03 全等三角形中的动态问题（解析版）

专题03全等三角形中的动态问题初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】0，2，6，8.【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8−4=4，∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；②当E在BN上，AC=BE时，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴点E的运动时间为12÷2=6(秒)；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，点E的运动时间为16÷2=8(秒)，故答案为0，2，6，8.【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】解：AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，

由题意得：BP=2t=2，

即t=1，

同理，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，

由题意得：AP=16－2t=2，

即t=7．当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．

故答案为C．【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)①当点E在射线BC上移动5s时，CF＝AB.可知BE＝2×5＝10，∴CE＝BE－BC＝10－3＝7，∴CE＝AC∵∠A＝∠BCD，∠ECF＝∠BCD，∴∠A＝∠ECF在△CFE与△ABC中，∴△CFE≌△ABC，∴CF＝AB②当点E在射线CB上移动2s时，CF＝AB.可知BE′＝2×2＝4，CE′＝BE′＋BC＝4＋3＝7，∴CE′＝AC.在△CF′E′与△ABC中∴△CF′E′≌△ABC，∴CF′＝AB.综上，当点E运动5s或2s时，CF＝AB.【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：(1)∵|m﹣n﹣3|+＝0，∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴点A(0，6)，点B(3，0)；(2)连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；(t≥0)(3)∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，可证△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【答案】1或或.【解析】解：①当点P在AC上，点Q在CE上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；②当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝；③当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝；综上所述：t的值为1或或．故答案为：1或或．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：在△ABD和△CDB中，∴△ABD≌△CDB，∴∠ADB＝∠CBD，∴AD∥BC；（2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v，①当0＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，∴，解得：，v＝3；②若△DEG≌△BGF，则，∴，解得：（舍去）；③当＜t≤时，若△DEG≌△BFG，则，∴，解得：，v＝1.5；④若△DEG≌△BGF，则，∴，解得：，v＝1．综上，点G的速度为1.5或3或1．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点P在线段AB上以1的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又∠A=∠B=90°，∴△ACP≌△BPQ(SAS).∴∠ACP=∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90*.∴∠CPQ=90°，即线段PC与线段PQ垂直；(2)①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，得：，解得;②若△ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，，解得：综上所述，存在或使得△ACP与△BPQ全等.【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：t＋3t＝6＋8，解得：t＝（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP=；（3）①当P在AC上，Q在BC上时，∵∠ACB＝90，∴∠PCE＋∠QCF＝90°，∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．∴∠EPC＋∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；②当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，③当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】见解析．【解析】解：（1）①△BPD与△CQP全等，理由如下：∵AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在△BPD和△CQP中，∵BD=CP，∠B＝∠C，BP＝CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∵△BPD与△CQP全等，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝，∴点Q的运动速度＝cm/s，∴当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣×3＝21（s），∴经过90s点P与点Q第一次在△ABC的边AB上相遇．【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时，BP=2t∵BC=12∴PC=12－2t故答案为：12－2t.（2）∵△ABP≌△DCP∴BP=CP∴2t=12－2t解得：t=3．（3）存在，理由如下：①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，∴PC=AB=5∴BP=BC－PC=12－5=7∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得v=2．②当AB=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP∴2t=6解得t=3∴CQ=3v=5，解得v=．综上所述，当v=2或时，△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】3或.【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP＝3t，CP＝8﹣3t，∵∠B＝∠C，①当BE＝CP＝6，BP＝CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，6＝8﹣3t，解得t＝，∴BP＝CQ＝2，此时，点Q的运动速度为2÷＝3厘米/秒；②当BE＝CQ＝6，BP＝CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t＝8﹣3t，解得t＝，∴点Q的运动速度为6÷＝厘米/秒；故答案为3或．【习题精练】1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC，BC，线段PQAB，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问P点运动___________

秒时t，才能使△ABC≌△QPA全等．【答案】2或8.【解析】解：∵△ABC≌△QPA，∴BC＝PA＝6，①当点P在线段CA上时，CP＝AC－AP＝10－6＝4，∴P点运动时间为：（秒），②当点P在线段CA的延长线上时，CP＝AC＋AP＝10＋6＝16，∴P点运动时间为：（秒），综上所述，P点运动时间为：2秒或8秒.2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后△CAP与△PQB全等．【答案】4.【解析】解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，

∴∠A=∠B=90°，

设运动x分钟后△CAP与△PQB全等；

则BP=x，BQ=2x，则AP=（12－x），

分两种情况：

①若BP=AC，则x=4，

AP=12－4=8，BQ=8，AP=BQ，

∴△CAP≌△PBQ；

②若BP=AP，则12－x=x，

解得：x=6，BQ=12≠AC，

此时△CAP与△PQB不全等；

综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等；

故答案为：4．3．（2020·常州市月考）如图，ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝_____时，△ABC才能和△APQ全等．【答案】5cm或10cm.【解析】解：∵AD⊥AC，∴∠C＝∠PAQ＝90°，当BC＝AQ＝5cm时，且AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△PQA，当AQ＝AC＝10cm时，且AB＝PQ，∴Rt△ABC≌Rt△QPA．故答案为：5cm或10cm．4.（2020·江西新余期末）如图，中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点从点出发沿路径向终点运动，终点为点，点和分别以每秒和的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过和作于，于.设运动时间为秒，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则的值为______.【答案】或7或8.【解析】解：①当0≤t＜4时，点M在AC上，点N在BC上，此时AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，舍去；②当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝；当5≤t＜时，点M在BC上，点N在AC上，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；④当≤t＜时，点N停在点A处，点M在BC上，如图④，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；故答案为：或7或8．5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？【答案】3厘米/秒或厘米/秒【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8－3t，∵∠B=∠C，

①当BE=CP=6，BP=CQ时，△BPE与△CQP全等，此时，6=8－3t，解得t=，∴BP=CQ=2，此时，点Q的运动速度为2÷=3厘米/秒；②当BE=CQ=6，BP=CP时，△BPE与△CQP全等，此时，3t=8－3t，解得t=，∴点Q的运动速度为6÷=厘米/秒.6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与△ABC全等．【答案】3或6.【解析】解：AC中点或C点时，△ABC和△PQA全等，①当AP=3=BC时，在Rt△ACB和Rt△QAP中，∴Rt△ACB≌Rt△QAP②当AP=6=AC时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，∴Rt△ACB≌Rt△PAQ故答案为3或6.7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．【答案】（1）3t，t；（2）t为s或s；（3）见解析.【解析】解：（1）根据题意得：CD＝3t，CE＝t；故答案为3t，t；（2）∵S△ABDBD•AH＝12，AH＝4，∴AH×BD＝24，∴BD＝6．若D在B点右侧，则CD＝BC﹣BD＝2，t；若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t；综上所述：当t为s或s时，△ABD的面积为12cm2；（3）①当E在射线CM上时，D在CB上，则需满足BD＝CE，△ABD≌△ACE.∵CE＝t，BD＝8﹣3t∴t＝8﹣3t，∴t＝2，②当E在CM的反向延长线上时，D在CB延长线上，则需满足BD＝CE，△ABD≌△ACE.∵CE＝t，BD＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，∴t＝48．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点A、B两点的坐标分别A（m，0），B（0，n），且|mn3|0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，若△POB的面积不大于3且不等于0，求t的范围；（3）过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵，∴m－n－3=0，2n－6=0∴m=6，n=3∴OA=6，OB=3；（2）①当P在线段AO上时，AP=t，OP=6－t此时，S△BOP=9－1.5t∵△BPO的面积不大于3且不等于0，∴0<9－1.5t≤3，解得4≤t<6；②当P在线段AO的延长线上时，AP=t，OP=t－6此时，S△BOP=1.5t－9∴0<1.5t－9≤3，解得6<t≤8；（3）①△AOB≌△EOP，∴OB=OP=3，则t=3，②△AOB≌△EOP，∴OB=OP=3，AP=OA+OP=9，则t=99.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC中，∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF＝10cm，AC＝14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求证：AF＝AM；（2）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；（3）求证：在运动过程中，不管t取何值，都有．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，在Rt△AFD和Rt△AMD中，，∴Rt△AFD≌Rt△AMD（HL）；（2）解：①当0＜t＜4时，点G在线段CM上，点E在线段AF上．EF=10－2t，MG=4－t∴10－2t=4－t，解得：t=6（不合题意，舍去）；②当4≤t＜5时，点G在线段AM上，点E在线段AF上．EF=10－2t，MG=t－4，∴10－2t=t－4，解得：t=，当t=时，△DFE与△DMG全等；（3）证明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED=AE•DF，S△DGC=CG•DM，∴，∵点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，∴AE=2t，CG=t，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝AF×AQ，S△BQC＝BC×BQ，∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；故答案为：1；（2）因为以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等，CQ是公共边，则点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，∵AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，△ABC的面积＝△ACQ的面积+△BCQ的面积，×8×6＝×10×2a+×2a×6，解得：a＝；（3）由题意得：∠A＝∠E，∴∠A与∠E为对应角，分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∵EQ＝at，∴at＝2t，∴a＝2，∴EQ＝2t，∵BE＝3t，∴BQ＝BE﹣EQ＝t，∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得：t＝2；②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP＝EF＝10，AQ＝EQ，∴2t＝10，∴t＝5，∴AQ＝EQ＝5a，∵BE＝3t＝15，∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，当BQ＝15﹣5a时，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（舍去），解得：a＝2.3；当BQ＝5a﹣15时，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，∴5a＝5a﹣7（舍去），或5a＝7﹣5a，解得：a＝0.7，舍去；综上所述，a＝2时，t＝2；或a＝2.3时，t＝5．11.（2019·江苏期末）如图①，在中，cm，cm，过点作射线．点从点出发，以3cm/s的速度沿匀速移动；点从点出发，以cm/s的速度沿匀速移动．点、同时出发，当点到达点时，点、同时停止移动．连接、，设移动时间为(s)．(1)点、从移动开始到停止，所用时间为s；(2)当与全等时，①若点、的移动速度相同，求的值；②若点、的移动速度不同，求的值；(3)如图②，当点、开始移动时，点同时从点出发，以2cm/s的速度沿向点匀速移动，到达点后立刻以原速度沿返回．当点到达点时，点、、同时停止移动．在移动的过程中，是否存在与全等的情形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图①图②【答案】见解析.【解析】解：（1）20÷3＝，故答案为：；（2）∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△ABM全等，∴△CMN≌△BAM或△CMN≌△BMA，①由题意得：BM＝CN＝3t，∴△CMN≌△BAM∴AB＝CM，∴12＝20－3t，解得：t＝；②由题意得：CN≠BM，∴△CMN≌△BMA，∴AB＝CN＝12，CM＝BM，∴CM＝BM＝BC，∴3t＝10，解得：t＝∵CN＝at，∴a＝12解得：a＝；（3）存在∵CD∥AB，∴∠B＝∠DCB，∵△CNM与△PBM全等，∴△CMN≌△BPM或△CMN≌△BMP，①当△CMN≌△BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8(舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∵BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，②当△CMN≌△BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝BC∴3t＝10，解得：t＝当t＝时，点P的路程为AP＝2t＝，此时BP＝AB－AP＝12－＝，则CN＝BP＝即at＝，∵t＝，∴a＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t的值有：t＝6.4或t＝.12.如图，中，，，，点M从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点，点N从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点，点M和N分别以每秒2cm和3cm的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M和N作于E，于F设运动时间为t秒，要使以点M，E，C为顶点的三角形与以点N，F，C为顶点的三角形全等，则t的值为________．【答案】或7或8【解析】解：点M从点A到点C需要AC÷2=4s，到点B共需（AC＋BC）÷2=s点N从点B到点C需要BC÷3=5s，到点A共需（AC＋BC）÷3=s①当0≤t＜4时，即点M在AC上，点N在BC上，此时AM=2t，BN=3t，∴CM=8－2t，NC=15－3t∵∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°，∴∠MCE＋∠NCF=90°，∠CNF＋∠NCF=90°∴∠MCE=∠CNF若CM=NC时，利用AAS可得△MCE≌△CNF即8－2t=15－3t解得：t=7（不符合前提条件，故舍去）；②当4≤t＜5时，即点M在BC上，点N在BC上，易知：当M、N重合时满足题意此时CE=2t－8，CN=15－3t，CE=CN∴2t－8=15－3t解得：t=；③当5≤t＜时，即点M在BC上，点N在AC上，∴CM=2t－8，NC=3t－15∵∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°，∴∠MCE＋∠NCF=90°，∠CNF＋∠NCF=90°∴∠MCE=∠CNF若CM=NC时，利用AAS可得△MCE≌△CNF即2t－8=3t－15解得：t=7；④当≤t＜时，即点M在BC上，点N与点A重合，∴CM=2t－8，NC=8∵∠MEC=∠CFN=∠ACB=90°，∴∠MCE＋∠NCF=90°，∠CNF＋∠NCF=90°∴∠MCE=∠CNF若CM=NC时，利用AAS可得△MCE≌△CNF即2t－8=8解得：t=8．故答案为：或7或8．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？【答案】见解析.【解析】解：（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）∵OE＝OA，OB⊥AE，∴BA＝BE，∴∠BAO＝∠BEO，∵∠CEF＝∠AEB，∴∠CEF＝∠BAO，∴∠CEO＝∠DAO，在△ADO与△ECO中，，∴△ADO≌△ECO．（2）设运动的时间为t秒，当PO＝QO时，易证△OPM≌△OQN．①当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝（秒），②当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝（秒），③当点P在x轴上，Q在y轴上时，则PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝（秒）不合题意；当点Q运动到点E提前停止时，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，△OPM与△OQN全等．14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，当0≤t≤2时，BF=4t；当2＜t≤4时，BF=16-4t；（2）根据题意，由BF＝AE，则16-4t=2t，解得：t=；∴当BF＝AE时，t的值为：；（3）当0＜t≤2时，△ADE≌△CDF，则AE=CF，即8－4t=2t，解得：t=；当2＜t≤4时，△ADE≌△CDF，则AE=CF，即4t－8=2t，解得：t=4；则t=或4时，△ADE≌△CDF．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.【答案】3或4.5【解析】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，∵点D为AB的中点，∴BD=AB=6cm，∵BD=PC，∴BP=8－6=2（cm），∵点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴v=2÷=3；当BD=CQ时，△BDP