2023北京大兴高三（上）期末数学试卷含答案

2023北京大兴高三(上)期末

数学

第一部分(选择题共40分)

一'选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)已知集合人={幻1麴k2},贝IJ"A=

(A){x|.r<l,^w>2)(B){x|xWl,垢/2}

(C){x|x,,1，或c>2}(D){xlaVl,或x…2}

(2)下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为

(A)y=lnx(B)y=tanx

(C)y=?(D)y

X

(3)在(x-l)5展开式中，r的系数为

(A)10(B)5

(C)-10(D)-5

(4)记S“为等差数列{%}的前〃项和.已知$3=—3,%=2,则

(A){.“}为递减数列(B)%=。

(C)S“有最大值(D)S6-0

(5)已知抛物线V=4x上一点〃与其焦点尸的距离为5,则点〃到x轴的距离等于

(A)3(B)4

(C)5(D)472

(6)"a=0"是"直线x-ay+2。-1=0(aeR)与圆x?+y?=1相切”的

(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件

(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件

(7)某圆锥曲线C是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(-2,l)和B(|,-也

两点，则曲线C的离心率等于

(A)(B)—

22

(D)如

(C)G

T2

(8)已知数列{《,}中，4=1,a„-a^=2",»eN\则下列结论错误的是

(A)a2=2(B)4一%=2

+

(O{%〃}是等比数列(D)a2n_l+a2l,=2"'

(9)“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成。现仿照赵爽弦

图，用四个三角形和一个小平行四边形构成如下图形，其中，E,F,G,H分别是ORAG,BH,CE的

UUUllUUUUU1

中点，若AG=xAB+)，4。，则2x+y等于

(A)I

(B)?

(C)1

(D)2

(10)已知函数f(x)=,8su,给出下列结论：①f(x)是周期函数；②最小值是-[；③的

x-2x4-32

最大值是g；④曲线y=/(x)是轴对称图形.则正确结论的序号是

(A)(JX3)(B)②④

(C)①②③(D)②③④

第二部分(非选择题共110分)

二'填空题共5小题，每小题5分，共25分。

(11)已知复数z满足z・i=l+i,则|z|=.

(12)一个袋子中装有5个不同颜色但大小相同的球，其中2个红球，3个白球，从中依次摸出2个球，则

在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率是—.

(13)在A4BC中，a=2,b=242.若4=£,则。=____；若满足条件的三角形有两个，则的一个值

4

可以是.

(14)已知函数f(x)//+4x+“'X<l，若q=0,则函数/(x)的值域为______；若函数y=/(幻-2恰有

[lnx+1,x...1,

三个零点，则实数a的取值范围是

(15)在正方体ABCD-AffCiy中，。为正方形AB'CT/的中心.动点、P沿着线段CO从点C向点O移动，

有下列四个结论：

①存在点尸，使得PA'=PB；

②三棱锥的体积保持不变；

③APA'B的面积越来越小；

④线段A'B上存在点。，使得直线直线48,且直线PQ,直线X；

则上述结论中，所有正确结论的序号是

三'解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(16)(本小题14分)

函数/(x)=Asin(0x+e)(A＞0,。＞0,0＜冏＜少部分图象如图所示，已知x4-xt=n.再从条件①、条件

②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.

(I)求函数/(X)的解析式;

(II)求〃X)的单调减区间.

条件①:

条件②：x=—:

-26

条件③：X3=—.

32

注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

(17)(本小题14分)

如图，在四棱锥产一A8a)中，底面A8C£＞是直角梯形，AH//DC,ZHAD=90°

AE4B为等边三角形，且平面间，底面他8,AB=2CD=2，AD=B用，。分别为/7),48的中点.

(I)求证：P3〃平面MQC

(II)求直线PC与平面MQC所成角的正弦值；

(18)(本小题14分)

猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A,B,C三类歌曲.嘉宾甲参加猜歌

名游戏，需从三类歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，

并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每类歌曲的歌名相互独立，猜对三类歌曲的概率及猜对时获得

相应的奖励基金如下表：

歌曲类别ABC

猜对的概率0.80.5P

获得的奖励基金额/元100020003000

(I)求甲按“4B,C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；

(II)若。=025,设甲按“A,B,C”的顺序猜歌名获得的奖励基金总额为X,求X的分布列及数学期望

E⑶；

(III)写出。的一个取值，使得甲按“A,B,C”的顺序猜歌名比按“C,8,A”的顺序猜歌名所得奖励基

金的期望高.(结论不要求证明)

(19)(本小题14分)

22

已知椭圆E:斗•=1(a>〃>0)经过直线/:x+2y-2=0与坐标轴的两个交点.

ab

(I)求椭圆E的方程；

(IDA为椭圆E的右顶点，过点(2,1)的直线交椭圆E于点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线

I,AN交于点、P,Q,求证：P为线段何。的中点.

(20)(本小题15分)

已知函数f(x)=\[x-ln(x+a)(a...1)

(I)当函数y=.f(x)在x=l处的切线斜率为0时，求a的值；

(II)判断函数>=/(x)单调性并说明理由；

(III)证明：对VX],々€[0,+8)有|/(%)-/(占)|„I成立.

(21)(本小题14分)

已知数列{《,}(〃=1,2,…,2022),知生,…“2022为从1到2022互不相同的整数的一个排列,设集合

4={x|x=WX+j,〃=0,l,2,...2022-j},A中元素的最大值记为M,最小值记为N.

/=!

(I)若数列{”“}为：1,3,5,…，2019,2021,2022,2020,2018,…，4,2,且/=3,写出",N的值；

(II)若j=3,求M的最大值及N的最小值；

(III)若/=6,试求M的最小值.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

12345678910

ACCBBADDDB

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）丘

TT

（13）2；（0，二）之间的任意一个角都可以

4

（14）[-4,+co）.（-3,6）

（15）①②③（只写对一个2分，只写对二个3分）

三'解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题14分）

解：由图可知工4一%=兀，

所以7=兀.........................2分

2兀

又知。=巧=2..................................................4分

T

所以/(x)=Asin(2x+＜p).

(I)若选择条件①②，即占=乌，x.=-

112〜6

TTTT

因为f(x)=./,(—)=Asin(-+«?)=0.

i12o

TTTT

由图可知一+C=2E,keZ,即9=——+2fat.................................6分

66

因为0＜冏＜],

所以当4=0时，(P=--..................................................8分

6

7T

所以/(X)=Asin(2x--)-

6

又因为/（电）=/（弓）=Asi吟=1.

所以A=2・.................................................10分

7T

所以f(X)=2sin(2x--)•

6

若选择条件①@,即x,=-

11232

IT7T

因为f(X])=/(—)=Asin(-+9)=0•

12o

由图可知二+9=2E，ZEZ,即e=-二+2E.

66

因为0<|同，

所以当左=0时，°

6

7T

所以f(X)=Asin(2x

o

又因为/(占)=吗)=不蚱=1,

所以A=2・

TT

所以f(x)=2sin(2x—丹

o

若选择条件②③，即x,=2,x,=-.

62

因为/(a=/(均)，

由图可知，当'="^=]时/(X)取得最大值，

B|Jf(-^)=A,Asin(2xg+e)=A

由sin(年+夕)=1

^-+<p=-+2ht,keZ,

32

因为0<|同,

所以e=J.

6

又/*2)=吗=1，

所以A=2.

jr

所以，(x)=2sin(2x-?.

o

(H)因为函数丫=M11*的单调递减区间为g+2",予+2"],keZ,

jrjr3jr

由一+2人冗w2r——w----b2kn,keZ,..............................................2分

262

得二+k7twxw型+攵汽,ZwZ.

36

7T57r

所以/（x）单调递减区间为仁+加，兰+初，AreZ.4分

36

（17）（本小题14分）

解：（I）连结。。，即，BD与QC交于点O,1分

因为底面ABCD是直角梯形，AB//DC,。为4?的中点.

所以8Q〃£>C且8Q=OC,即BQDC为平行四边形,

所以点O是8。中点，连结OM,

所以PB〃MO.3分

又因为PBz平面MQC,MOu平面MQC,

所以P3//平面MQC.5分

（H）因为AR3为等边三角形，。为43的中点，所以PQLAB.

又面E4BJ-面A8CO,

面C面ABCD=4?,

所以「。_1_面.8,

又因为AB〃DC,NBAZ)=90",所以8Q_LCQ.

如图建立空间直角坐标Q-xyz,

Ih

可知Q(0,0,0),P(0,0,y/3),C(0,73,0),M(--,—

22

易知PC=(O,>/3,->/3),4分

设面MQC的法向量为Z=（X,y,

且无=(0,6,0),两=T‘冬季’

石y=0,

n-QC=0.

即,1n

n-QM=0,——x-\------yH-------z=0.

22-2

所以力=(6,0,1),6分

设PC与平面MQC所成角为e,7分

则sin9-|cos<PC,/?>|=-73=显

73+3x73+1.4，9分

所以PC与平面MQC所成角的正弦值为立

4

（18）（本小题14分）

解：（I）设''甲按"A,B,C"的顺序猜歌名至少猜对两首歌名”为事件E,1分

则P(E)=0.8x0.5x(1_p)+0.8x0.5xp=0.4.5分

所以，甲按“A,B,C”的顺序猜歌名至少猜对两首歌名的概率为04

(II)X的所有可能取值为0,为00,3000,6000,1分

P(X=0)=l-0.8=0.2,

P(X=1000)=0.8x(l-0.5)=0.4,

P(X=3000)=0.8x0.5x(1-0.25)=0.3,

P(X=6000)=0.8x0.5x0.25=0.1,................5分

所以随机变量X的分布列为

X0100030006000

P0.20.40.30.1

=0x0.2+1000x0.4+3000x0.3+6000x0.1=1900.................7分

(III)0＜"0.5均可.................2分

(19)(本小题14分)

解：(I)直线/:工+2、-2=0与坐标轴的两个交点为(2,0),(0,1),................2分

由于所以a=2,0=1,................4分

所以椭圆E的方程为三+>2=1.................5分

4

(H)设过点(2,1)的直线为乙，由题意直线/斜率存在，

设4方程为y_]=左(九_2),BPy=kx+(\-2k).................1分

y=丘+(1-2左)

由,消兀得f+4[h+(1_2幻『=4,

—+=1

14，

整理得(1+4炉)f+8jt(l-2k)x+16/一16攵=0..................2分

由A=[8左(1一2左)]2—4(1+4/)(16公一16左)=6必＞0,可得人＞0...........3分

设〃(%,%),77。2，必)，则

8-1-2&)16炉一16火

4分

由题意，将工=%，代入/:%+2y-2=0得产,................5分

直线4V的方程为了二一乜一。-2),................6分

x2-2

令x=a得0区,)式占:2)),.................7分

X2-2

所以置弓

y2a2)+x(w—2)+,-2)(/—2)

/—2

(kx-t+1—2左)(N—2)+(kx、4-1—2Z)(x,—2)+(x(—2)(x,—2)

/-2

_C,2k+l)XjX2-(4k+1)(%1+%2)+8Z

4-2

_(2k+1)(16k2T6k)+(4D+1)•8A(1-2k)+8&(1+4公)

(1+4/)(--2)

二(32—3—16—2—16-)+(—64L3+1612+8%)+(8攵+32氏3)二0

~(1+4-)(”2),

所以，点P是线段MQ的中点.................9分

(20)(本小题15分)

解：(I)/(x)=Vx-ln(x+6z),

所以=----,................2分

2Vxx+Q

由ra)=o,得5-占=o，

所以。=1..................4分

(II)函数尸/⑴在(。,物)单调递增.................1分

因为a…1,所以函数/(X)定义域为[0,+8)..................2分

,⑴__J1_x-2a+a

2\[xx+a2\/x(x+a)'

Hx—2.\fx+u=(>/x-I)-+a—1...a—1.................4分

因为a…1,所以/'(x)…0..................5分

因此函数户/⑴在区间(0,+8)上单调递增.

（IH）证明：当％=当时，显然有"（々）-/（*）1=1衣-嘉I，不等式成立；............1分

当时，不妨设不＜々，................2分

由于函数/⑴在区间（0,+8）上单调递增，

所以1/（々）-/（&）1=/5）-/（%），

又\惠一«\=&一6，

则1/5）-/（为）1-16一"1

=/（%）-/（4）-（后-喜）

=«*-132+a）-喜+皿为+。）-后+百

=ln（Xj+a）—ln（x2+a）

.x,+a八

=In............................................4分

因为内＜/，所以％2+4＞%1+4＞0，

所以。＜*，

x2+a

所以In文出■＜（）.................6分

x2+a

综上，对任意的XI，We[0,+8）,1/（占）-/（西）|„1毒'-喜I成立.

（21）（本小题14分）

解：（I）M=6063,N=9.................................4分

（II）N最小值为6,M的最大值6063.

证明：对于1,2,…，2021,2022的一个排列｛%｝,

3

若j=3,则4中的每一个元素为x=Z%+i=4+i+4+2+。〃+3'«=0,1,2,...,2019,

/=!

3

由题意M=max（，a“+J,H=0,1,2,•••,2019，

i=i

那么，对于任意的｛凡｝,总有〃,，2020+2021+2022=6063.

3

同理，由题意N=min（Z