串讲03 平面向量（考点串讲）（解析版）

串讲03平面向量知识网络二、常考题型三、知识梳理1.向量的概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．（2）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．（3）单位向量：长度等于1个单位的向量．（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向相反的向量．2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量的共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa．4.平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5.平面向量的坐标运算（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，则，，，．（2）向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设，则，.6.平面向量共线的坐标表示设，其中，．7.向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．（2）范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.（3）共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．8.平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积9.向量数量积的运算律（1）a·b＝b·a.（2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．（3）(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10.平面向量数量积的结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0四、常考题型探究考点一向量的概念例1.设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本概念及数乘运算一一判定即可.【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．故选：B【变式探究】判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若，则与的方向相同或相反；③若，且，则.其中，正确的命题个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据平面向量的基本概念一一判定即可.【详解】相等向量即方向相同大小相等，故两个相同向量同起点比同终点，即①正确；零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当，若，而是非零向量，则不满足两向量方向相同或相反，即②错误；同理若，且时，，是非零向量，也得不到，即③错误.综上正确的是1个.故选：B考点二向量的加减法例2.化简得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加减运算法则化简即可.【详解】.故选：D【变式探究】.【答案】【分析】根据向量加减混合运算法则，即可求解.【详解】由题意可得：.故答案为：考点三向量的数乘运算例3.已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量混合运算即可.【详解】，故选：C.【变式探究】化简.【答案】【分析】利用向量的线性运算求解即得.【详解】故答案为：考点四平行向量基本定理例4.在中，点为边的中点，记，则．【答案】【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.【详解】由点为边的中点，得，所以.故答案为：【变式探究】已知，是两个不共线的向量，与共线，则实数．【答案】【分析】用向量的共线定理，结合平面向量基本定中的唯一性构建参数方程组，即可求.【详解】与共线，，，又，是两个不共线的向量，，解得，故答案为：.考点五向量的直角坐标运算例5.已知向量，，则等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量坐标的加减可得.【详解】故选：A例6.已知向量，，则等于（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.【详解】因为，故.故选：D.【变式探究】已知向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C．与同向 D．【答案】D【分析】根据向量共线、向量运算、基底等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，，故A错误；B选项，，，B错误，C选项，，所以与反向，C错误.D选项，由于，所以，得，所以D正确.故选：D考点六向量平行的充要条件例7.已知平面向量，且，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】A【分析】由两向量平行坐标间的关系可求解.【详解】由题意知，所以，解得，故A正确.故选：A.【变式探究】已知向量，，若与共线，则实数（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】先求得的坐标，再根据向量与共线求解.【详解】已知向量,,所以，因为与共线，所以，解得：.故选：C考点七向量的坐标公式例8.已知，则的中点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量共线的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】设的中点坐标是，由三点共线可知，即，解得；所以中点坐标为.故选：B例9.已知平面向量，，若，则实数（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】先计算得到，利用垂直关系列出方程，求出答案.【详解】，，因为，所以，解得.故选：B【变式探究】已知向量，若，则（

）A． B． C．0 D．3【答案】A【分析】求出，利用向量垂直列出方程，求出答案.【详解】因为，由，得，所以．故选：A．考点八向量数量积求模例10.已知向量，则.【答案】7【分析】用向量的模长公式和数量积计算即可.【详解】已知向量,则,又,即,又,则,即,故答案为:7.【变式探究】已知向量，若，则.【答案】【分析】根据向量垂直的坐标表示求出x，然后由向量的模的坐标表示可得.【详解】因为，所以，解得，所以.故答案为：考点九向量数量积求夹角例11.已知平面向量，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用数量积的坐标运算求解，再利用夹角公式求解夹角.【详解】因为，所以，解得；所以，；；而，所以与的夹角为.故选：D.【变式探究】已知，，若，则．【答案】【解析】先由向量数量积，结合向量的坐标，求出，再由向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为，，由得：，解得：，，，，．故答案为：.考点十向量内积的坐标运算例12.若向量，，，则等于（）A．3 B．C． D．【答案】A【分析】根据向量数量积的坐标运算规则进行求解.【详解】