2025届新高考数学精准突破复习数列求和问题

数列求和问题2025届新高考数学精准突破复习考情预览

明确考向1.[数列求和](多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)设正整数n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k,其中ai∈{0,1},记ω(n)=a0+a1+…+ak,则(

)A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n√√√解析:对于A选项,ω(n)=a0+a1+…+ak,2n=a0×21+a1×22+…+ak-1×2k+ak×2k+1,所以ω(2n)=a0+a1+…+ak=ω(n),A选项正确;对于B选项,取n=2,2n+3=7=1×20+1×21+1×22,所以ω(7)=3,而2=0×20+1×21,则ω(2)=1,即ω(7)≠ω(2)+1,B选项错误;对于C选项,8n+5=a0×23+a1×24+…+ak×2k+3+5=1×20+1×22+a0×23+a1×24+…+ak×2k+3,所以ω(8n+5)=2+a0+a1+…+ak,4n+3=a0×22+a1×23+…+ak×2k+2+3=1×20+1×21+a0×22+a1×23+…+ak×2k+2,所以ω(4n+3)=2+a0+a1+…+ak,因此,ω(8n+5)=ω(4n+3),C选项正确;对于D选项,2n-1=20+21+…+2n-1,故ω(2n-1)=n,D选项正确.故选ACD.53.[分组转化法求和](2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.4.[错位相减法求和](2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan.(1)求{an}的通项公式;解:(1)因为2Sn=nan,当n=1时,2a1=a1,即a1=0,当n=3时,2(1+a3)=3a3,即a3=2,当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1,所以2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an,考法聚焦

讲练突破热点一分组转化法求和分组求和的策略(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差数列或等比数列,则可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.(3)若数列的通项公式中有(-1)n等特征,根据正号、负号分组求和.典例1

(2023·广西梧州统考一模)已知Sn为数列{an}的前n项和,Sn+2=2an.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)因为Sn+2=2an,所以当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2,当n≥2时,Sn+2=2an,Sn-1+2=2an-1,所以an=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列{an}是等比数列,公比为2,首项为a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n,n∈N*.分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和或差,常见错误为不能准确分组或不分奇数项与偶数项.热点训练1

(2023·山东烟台模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a4=9,S3=15.(1)求{an}的通项公式;解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由已知得a1+3d=9,3a1+3d=15,解得a1=3,d=2,所以an=2n+1,n∈N*.(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变,在ak与ak+1(k=1,2,…)之间插入2k个1,使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T100的值.热点二裂项相消法求和裂项相消法就是把数列的每一项分解,使得相加后项与项之间能够相互抵消,但在抵消的过程中,有的是依次项抵消,有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有(1)求{an}的通项公式;裂项相消法的基本思路是将通项拆分,可以产生相互抵消的项.需注意抵消后并不一定只剩下首尾两项,也有可能前面剩两项,后面剩两项或者前面剩几项,后面剩几项.(1)求{an}的通项公式;热点三错位相减法求和如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时,应注意:(1)等比数列的公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便准确写出“Sn-qSn”的表达式.(1)求{an}和{bn}的通项公式;错位相减法求和需要两边先同时乘等比数列的公比再错位相减,常见错误有符号错误或不能准确“错项对齐”.热点训练3

(2023·山东潍坊模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,S3=a3+6.(1)求数列{an}的通项公式;解:(1)设等比数列{an