必修一第二章第1节1生活中的变量关系老师版

函数2.1生活中的变量关系【学习主题】生活中的变量关系新授课【课时安排】1个课时【学习目标】1、通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量与变量之间的相互关系；2、知道两变量之间有相互依赖关系不一定就有函数关系；3、了解两变量之间有函数关系具备的条件.【学习重难点】现实生活中的实例中的变量关系.[对于两变量之间的函数关系的理解.【学情分析】在学生初中学习的函数定义的基础上本节通过生活中的实例进一步认识两个变量间的关系【学法建议】根据“自主学习”中的问题，阅读教材p48p50内容，进行知识梳理，熟记并理解基础知识。【学习过程】课前预习，发现问题（一）要求：阅读教材p48p50内容，思考并回答下列问题问题1：说出初中所学函数的定义问题2：如何确定两个变量之间的关系是否是函数关系问题3：变量间的依赖关系与函数关系二者之间是否有联系？（二）知识点清单1.常量与变量在研究某一问题的变化过程中，数值保持不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量．(2)非依赖关系：在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不发生变化，那么就称这两个变量具有非依赖关系．(3)确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是因变量，另一个变量是自变量。（4）什么样的函数叫分段函数？你能为分段函数下定义吗？定义：对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数（三）预习自测1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)常量与变量不能构成函数关系．()(2)变量与变量一定是依赖关系．()(3)满足函数关系的自变量对因变量，可以一对一，也可以多对一，但不可以一对多．()答案：(1)×(2)×(3)√2．下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是()A．y＝2x B．y＝eq\f(1,x)C．y＝x2＋3x－1 D．y2＝x2＋5解析：选D.D中，当x＝2时，y＝±3，即给定了一个x的值，有两个y值与之对应，因此y不是x的函数；当y＝3时，x＝±2，即给定了一个y的值，有两个x值与之对应，因此x也不是y的函数．3．张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则()A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数解析：选A.小麦总产量与种子、施肥量、水、日照时间等都有关系．4．(1)圆的半径与圆的面积之间的关系是________关系．(2)家庭收入与支出之间的关系是________关系．解析：(1)圆的面积随半径的变化而变化，且由半径唯一确定，所以是函数关系．(2)一般情况下，家庭支出随家庭收入的变化而变化，但收入一定时，支出并不唯一确定，所以是依赖关系．答案：(1)函数(2)依赖（四）完成课本第51页练习，并把学历案上的学习任务完成同时标记疑问题二：课中学习，合作探究【学习任务1】生活中的变量关系.高速公路旁的加油站.加油站常用圆柱体储油罐存汽油.储油罐的长度d，截面半径r是常量；油面高度h，油面宽度w，储油量v是变量.思考1：储油量v与油面高度h存在着依赖关系吗？储油量v与油面宽度w也存在着依赖关系吗？答：均为依赖关系思考2：如果它们之间存在依赖关系，这种依赖关系是函数关系吗？为什么？答：对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v与之对应，所以，储油量v是油面高度h的函数.而对于油面宽度w的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度w的函数.思考总结：并非有依赖关系的两个变量都是函数关系.只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应时，才称它们之间有函数关系.【课堂评价1】1.进一步分析上述储油罐问题,讨论:还有哪些常量?哪些变量？哪些变量之间存在依赖关系？哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？答：1.常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；2.依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度3.储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数。【课堂展示】由学生快问快答【反思总结】如何确定两个变量之间是否有依赖关系？如何确定有依赖关系的两个之间是否是函数关系？方法归纳：依赖关系与函数关系：(1)、依赖关系不一定是函数关系，但函数关系一定是依赖关系.(2)、若两个变量间存在依赖关系，且对于其中一个变量的每一个值都有另一个变量的唯一值和它对应，则两个变量间有函数关系.(3)、研究函数关系时，通常要指明自变量和因变量，因为两者交换位置不一定还存在函数关系.【学习任务2】表示两个变量关系有哪些方法.如图所示为某市一天24小时内的气温变化图，根据图像回答下列问题．(1)全天的最高气温、最低气温分别是多少？(2)大约在什么时刻，气温为0℃？(3)大约在什么时刻内，气温在0℃以上？(4)变量Q是关于变量t的函数吗？（5）对于本例中的两个变量Q和t，t是关于Q的函数吗？为什么？【解】观察图像可知：(1)全天最高气温大约是9℃，在14时达到．全天最低气温大约是－2℃，在4时达到．(2)大约在0时、8时和22时，气温为0℃.(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上．(4)由图像可知随着时间的增加气温先降再升后降．对于时间t的每个取值，都有唯一的气温Q与之对应，所以气温Q是时间t的函数．（5）不是．因为对于气温Q的一个值可能有两个时间t和它对应，所以时间t不是气温Q的函数．跟踪训练.以下是某电视台的广告价格表(单位：元)播出时长价格播出时间段10s15s20s30s40s50s60s19：30～22：0090095010001500200025004000试问：广告价格与播出时间之间的关系是否是函数关系？解：是函数关系，因为x，y的取值范围分别是A＝{10，15，20，30，40，50，60}，B＝{900，950，1000，1500，2000，2500，4000}，它们都是非空数集，且按照表格中给出的对应关系，对任意的x∈A，在B中都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，即y与x是函数关系．【课堂活动与展示】由学生分组讨论，小组代表回答【反思总结】表达两变量关系的常用方法是什么？【学习任务3】分段函数的定义探究三某电力公司为鼓励市民节约用电，采取阶梯电价，即按月用电量分段计费办法，居民每月应缴电费y（单位：元），与用电量x（单位：kW.h）的关系是试问：应缴电费与用电量之间是否有依赖关系？如果有依赖关系这种依赖关系是否是函数关系？如果是函数关系能画出它的图像吗？答：是依赖关系且也是函数关系（图像见课本50页）【课堂评价3】A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．[解](1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间为eq\f(150,50)＝3(小时)．(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时eq\f(150,60)＝2.5(小时)．综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系式为s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(50t，0≤t≤3，,150，3<t≤5，,－60t＋450，5<t≤7.5，))函数图象如图所示．【课堂活动与展示】学生分组讨论完成，小组代表回答【反思总结】分段函数的定义是什么？如何秋分段函数的定义域和值域?三：课后评价，解决问题1．下列说法不正确的是()A．圆的周长与其直径的比值是常量B．任意四边形的内角和的度数是常量C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系答案D解析A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．2．下列各变量间不存在依赖关系的是()A．扇形的圆心角与它的面积B．某人的体重与其饮食情况C．水稻的亩产量与施肥量D．某人的衣着价格与视力答案D3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示行驶的路程)()答案A解析开始一段时间路程逐渐增大，速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.4．下列关系不是函数关系的是________．(填序号)①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；②某同学学习时间与其学习成绩的关系；③人的睡眠质量与身体状况的关系．解析：对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．答案：②③5．自变量x与因变量y之间的关系如下表：x01234…y02468…(1)写出x与y的关系式：________.(2)当x＝2.5时，y＝________.答案(1)y＝2x(2)5【学后反思】1.你喜欢这节课吗?课堂上你认真思考了吗？2.在课堂上你积极吗?3.在这节课上你的学习目标完成了吗?4.你对本堂课重难点掌握了吗?5.在本节课上你掌握了哪些知识点和题型？课时对点练一、选择题1．谚语“瑞雪兆丰年”说明()A．下雪与来年的丰收具有依赖关系B．下雪与来年的丰收具有函数关系C．下雪是丰收的函数D．丰收是下雪的函数答案A解析积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用，大雪可以防止土壤中的热量向外散发，又可阻止外界冷空气的侵入，具有增墒肥田的作用．所以下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系．2．已知变量x，y满足y＝|x|，则下列说法错误的是()A．x，y之间有依赖关系 B．x，y之间有函数关系C．y是x的函数 D．x是y的函数答案D解析当y取一个正值时，有两个x与它对应，故D错．3．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是()A．这天15时的温度最高B．这天3时的温度最低C．这天的最高温度与最低温度相差13℃D．这天21时的温度是30℃答案C解析这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14℃，故C错．4．国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如表：运送距离x(km)0<x≤500500<x≤10001000<x≤1500…邮资y(元)…如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付的邮资是() D．无法确定答案C解析∵800g<1000g，∴适用表格给出的邮资标准．∵1000<1200<1500，∴应付邮资7.00元．5．下列两个变量之间不是函数关系的为()A．角度和它的正弦值B．正方体的边长和体积C．正n边形边数和顶点角度之和D．人的年龄和身高答案D6．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图像，下面的描述符合小明散步情况的是()A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才回家答案B解析水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．二、填空题7．假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么可以知道：(1)甲、乙两人中先到达终点的是________．(2)乙在这次赛跑中的速度为________m/s.答案(1)甲(2)8解析设甲、乙的速度分别为v1，v2，则v1＝eq\f(100,12)＝eq\f(25,3)(m/s)，v2＝eq\f(100,12.5)＝8(m/s)，v1>v2.8．某公司生产某种产品的成本为1000元，以1100元的价格批发出去，随生产产品数量的增加，公司收入______，它们之间是______关系．答案增加函数9．圆柱的高为10cm，当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量．设圆柱底面半径为r(cm)，圆柱的体积V(cm3)与r(cm)的关系式为_____，当底面半径从2cm变化到5cm时，圆柱的体积由_____cm3变化到____cm3.答案圆柱底面半径圆柱的体积V＝10πr240π250π解析圆柱的体积为V＝πr2h(其中r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高)．三、解答题10．如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00，他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐．11．向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆．(1)在这个变化过程中，有哪些变量？(2)若圆的面积用S表示，半径用R表示，则S和R的关系是什么？它们是常量还是变量？(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则C与R的关系式是什么？解(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量．(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，所以圆的面积S是半径R的函数，其函