北京宣武区外国语实验学校高三数学理模拟试题含解析

北京宣武区外国语实验学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A9

B10

C8

D6参考答案：B略2.在△ABC中，，，，则（

）A. B. C. D.参考答案：B依题意有，由余弦定理得，由正弦定理得.点睛：本题主要考查三角形面积公式，考查正弦定理和余弦定理的应用.由于已知三角形的面积和三角形一个角和一条边，首先根据三角形面积公式求出另一条边，再根据余弦定理求出第三条边，最后利用正弦定理求得相应的比值.在解三角形的题目中往往正弦定理和余弦定理都需要考虑.3.已知函数满足，且的导函数，则的解集为A.

B.

C.

D.参考答案：D设, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为，选D.4.试题设全集U=R，集合=

A．

B．

C{0、2}

D．参考答案：C5.下列命题：①“”是“存在，使得成立”的充分条件；②“”是“存在，使得成立”的必要条件；③“”是“不等式对一切恒成立”的充要条件.其中所以真命题的序号是（

）A．③

B.②③

C.①②

D.①③参考答案：B6.（04年全国卷Ⅱ理）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条参考答案：答案：B7.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（）A．9日 B．8日 C．16日 D．12日参考答案：A【考点】等比数列的前n项和．【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=103m++97m+=2×1125，解得：m=9．故选：A．8.设集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ０Ｘ∈Ｒ｝．Ｎ＝｛x｜＜１x∈Ｒ｝。则Ｍ∩Ｎ=（）(A)

(B)

(C)

(D)

参考答案：D9.平面向量与的夹角为，，则等于（

）A．

B．

C．4

D．参考答案：B10.若不等式(a－2)x2+2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是

(

)A.(－∞,2

B.(－2,2

C.－2,2

D.(－∞,－2)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数f（x）=ax3﹣ax2+（2a﹣3）x+1在R上存在极值，则实数a的取值范围是．参考答案：（0，3）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，可得f′（x）=0有两不等实根，其判别式△＞0，即可求得a的取值范围．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=ax2﹣2ax+2a﹣3∵函数f（x）=+（2a﹣3）x+1存在极值点，∴f′（x）=0有两不等实根，其判别式△=4a2﹣4a（2a﹣3）＞0∴0＜a＜3．∴a的取值范围是（0，3）．故答案为：（0，3）．12.已知f（x）=（x＞0），f1（x）=f（x），fn+1（x）=f（fn（x）），n∈N*，则fs（x）在[，1]上的最小值是．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】易知f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；从而依次代入化简即可．【解答】解：f（x）=在[，1]上是增函数，且f（x）＞0；f1（x）=f（x）=，在[，1]上递增，故f1（x）min=，f2（x）min=f（f1（x）min）=f（）=，f3（x）min=f（f2（x）min）=f（）=，f4（x）min=f（f3（x）min）=f（）=，f5（x）min=f（f4（x）min）=f（）=．故答案为：．13.的展开式中含项的系数为，则的值为

参考答案：略14.函数的定义域是

．参考答案：[－3,1]要使函数f（x）有意义，则，即，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，

15.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设以上、下底面各边中点为顶点的正四棱柱为P，以左、右侧面各边中点为顶点的正四棱柱为Q，则正方体体对角线AC1在P，Q公共部分的长度为_____参考答案：【分析】画出图像，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，根据比例计算出在，公共部分的长度.【详解】画出图像如下图所示，根据正四棱柱的对称性可知在，公共部分的长度，也即是在内的长度，，设在，公共部分的长度为，由平行线分线段成比例和正方形的对称性得，故.【点睛】本小题主要考查正方体的几何性质，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于难题.16.用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.参考答案：8略17.若cos（﹣θ）=，则sin2（θ﹣）=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系解答即可．【解答】解：∵cos（﹣θ）=，∴cos（θ﹣）=，∴sin2（θ﹣）=1﹣cos2（θ﹣）=1﹣（）2=．故答案是：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数，其中．(I)若函数图象恒过定点P，且点P关于直线的对称点在的图象上，求m的值；(Ⅲ)在(I)的条件下，设，曲线上是否存在两点P、Q，使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．参考答案：0)………………(1分)

略19.已知函数的最大值为1．（1）求t的值；（2）已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，三角形△ABC的面积为，且，求b+c的值．参考答案：（1）（2）【分析】（1）利用两角差的正弦、二倍角公式逆用、降幂公式、辅助角公式等对进行化简，得到正弦型函数，然后根据其最大值，得到的值.（2）由得到的大小，利用面积公式得到的值，再由余弦定理，配凑出，得到答案.【详解】解：（1）的最大值为，故，可得（2），可得：，，可得，由三角形面积公式得，，可得：，由余弦定理得，，可得：，而【点睛】本题主要考查了学生对三角函数恒等变换的应用，考查了三角形的面积公式，余弦定理及简单的三角方程的求解，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．20.已知的内角的对边分别为，若，且.求的大小；求面积的最大值.参考答案：由可得，故，所以.方法一：由，根据余弦定理可得，由基本不等式可得所以，当且仅当时，等号成立.从而，故面积的最大值为.方法二：因为所以，，当，即时，，故面积的最大值为.21.已知函数为自然对数的底数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求a的取值范围．参考答案：（1）由题意可知，，

………………1分

当时，，此时在上单调递增；

………………2分当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；………………3分当时，令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；………………4分综上，当时，在上单调递增；当时，时，单调递减，时单调递增；当时，时，单调递减，时单调递增.

………………5分（2）由可得，，令只需在使即可，，

………………6分①当时，，当时，，当时，，所以在上是减函数，在上是增函数，只需，解得，所以；

………………8分②当时，在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，则，解得，

………………9分③当