2024年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷（含解析）卷

第=page11页，共=sectionpages11页2024年甘肃省兰州市中考数学一诊试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以下是2023年中国国际汉字文化创意设计大赛中，以“甘肃”“广东”为主题创作的作品，其中轴对称图形是(

)A. B. C. D.2.2023年10月26日，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心发射成功.火箭起飞质量约497000千克.数据497000用科学记数法表示为(

)A.0.497×106 B.4.97×1053.如图，已知∠1=∠2，∠3=A.48°

B.62°

C.68°4.因式分解：a2−4A.(a+4)(a−4)5.一元二次方程x2−5xA.无实数根 B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根 D.不能判定6.实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是(

)A.a>−2 B.a+b>7.如图，在数学实践课上，老师要求学生在一张A4纸(矩形ABCD)上剪出一个面积为1003cm2的等边三角形AEF.某小组分析后，先作了∠MA

A.53cm B.10cm8.在一定温度范围内，声音在空气中的传播速度v(m/s)可看作是温度t(℃)温度t…−0102030…传播速度v…324330336342348…A.v=6t+330 B.v=9.兰州市现行城镇居民用水量划分为三级，水价分级递增.第一级为每户每年不超过144m3的用水量，执行现行居民用水价格；第二级为超出144m3但不超过180m3的用水量，执行现行居民用水价格的1.5倍；第三级为超出180m3的用水量，执行现行居民用水价格的3倍.某小区志愿队为了解该小区居民的用水情况，随机抽样调查了50户家庭的年用水量，并整理绘制了频数分布直方图(A.30 B.45 C.60 D.9010.《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉.下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉.问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量.问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？

设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为(

)A.3x+6=10y5y+11.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C.若AB=3，则A.π

B.2π

C.1.5π12.如图，在钝角△ABC中(∠BAC为钝角)，∠B=45°，AB=62，AC=10，在其内部作一个矩形MNQP，使矩形的一边NQ在边BA. B.

C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。13.若x为正整数，要使3−x有意义，则x=______(写出1个即可14.自然界绝大多数的彩色光都可以利用红、绿、蓝三种色光按不同比例混合而成，这叫做三原色原理，如：红光与绿光重叠现黄色.如图所示，小明制作了两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的扇形，同时转动两个转盘，根据三原色原理配得黄色的概率为______．15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，AB

16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，AE与

三、解答题：本题共12小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

解不等式组：7x+1118.(本小题4分)

解方程：3x+119.(本小题4分)

先化简，再求值：4x(x+2y)20.(本小题6分)

如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(1,3)，与x轴交于点B．

(121.(本小题6分)

甘肃省公用品牌“甘味”中的区域品牌“兰州百合”荣登农业产业品牌百强榜，甘肃某地区为深入推进乡村振兴产业发展，采购了A，B两种型号包装机同时包装百合，某质检部门从已包装好的产品中随机各抽取10袋测得实际质量(单位：g)，规定质量在(500±5)g为合格产品.将所得数据进行收集整理，部分信息如下：

信息一：A，B型号包装机包装的每袋百合质量的折线统计图

信息二：A统计量

型号平均数中位数众数极差合格率A型504.8m5081130B型504.8505505860请根据以上信息，回答下列问题：

(1)表格中的m=______；

(2)根据统计图来看，______型号包装机包装的百合的质量比较稳定；(填“A”或“B”)22.(本小题6分)

如图，在△AOB中，∠B=30°，⊙O与AB相切于点A，与OB相交于点C，延长AO交⊙O于点D，连接CD．

23.(本小题6分)

数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题.化矩形为方指的是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．

如图，已知矩形ABCD.尺规作图完成“化矩形ABCD为正方形BPQR“问题.以下为作图过程：

①以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB延长线于点E；

②分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接MN交AE于点F，则点F为AE的中点；

③以点F为圆心，AF长为半径画弧，交CB延长线于点P；

④以BP为边，在边BP右侧作正方形BPQR，即“化矩形ABCD为正方形BPQR”．

(1)请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；(24.(本小题6分)

小伟站在一个深为3米的泳池边，他看到泳池内有一块鹅卵石，据此他提出问题：鹅卵石的像到水面的距离是多少米？小伟利用光学知识和仪器测量数据解决问题，具体研究方案如下：问题鹅卵石的像到水面的距离工具纸、笔、计算器、测角仪等图形说明根据实际问题画出示意图(如图)，鹅卵石在C处，其像在G处，泳池深为BN，且BN=CH，MN⊥NC于点N，MN⊥BH于点B，CH⊥数据BN=3请你根据上述信息解决以下问题：

(1)求∠CBN的大小；

(2)求鹅卵石的像G到水面的距离GH.(结果精确到0.1m)25.(本小题6分)

如图1，从远处看兰州深安黄河大桥似张开的翅膀，宛如一只“蝴蝶”停留在黄河上，它采用叠合梁拱桥方案设计.深安黄河大桥主拱形OAB呈抛物线状，从上垂下若干个吊杆，与桥面相连.如图2所示，建立平面直角坐标系，吊杆CD到原点O的水平距离OC=26m，吊杆EF到原点O的水平距离OE=134m，且CD=EF，主拱形离桥面的距离y(m)与水平距离x26.(本小题7分)

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上.将矩形ABCD分别沿BE，EF翻折后点A，D均落在点G处，此时B，G，F三点共线，若BG=2EG27.(本小题8分)

综合与实践

【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为平面内一点(点A，B，D三点不共线)，AE为△ABD的中线．

【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE至点M，使得ME=AE，连接DM.始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：

①DM=AC；②∠MDA+∠DAB=180°；

【类比探究】(2)如图2，将AD绕点A顺时针旋转28.(本小题9分)

在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形W和图形W外一点P，若在图形W上存在点M，N，使PM=2PN，则称点P是图形W的一个“2倍关联点”.例如：如图1，已知图形W：△ABC，A(0,2)，B(−1,0)，C(1,0)；点P(0,−1)到△ABC上的点的最小距离为PO=1，到△ABC上的点的最大距离为PA=3，则PA>2PO.因此在△ABC上存在点M，N，使得PM=2PN，则点P是△ABC的一个“2倍关联点”．答案和解析1.【答案】A

【解析】解：B，C，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．

故选：A．

根据轴对称图形的概念解答即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B

【解析】解：497000=4.97×105，

故选：B．

将一个数表示成a×103.【答案】B

【解析】解：如图，

∵∠1=∠2，

∴a/​/b，

∴∠4=∠5，

∵∠3=4.【答案】D

【解析】解：a2−4=(a+2)(a−25.【答案】B

【解析】解：∵Δ=(−5)2−4×1×5=5>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

6.【答案】D

【解析】解：由数轴可知，−3<a<−2，1<b<2，

A、∵−3<a<−2，∴a<−2，故选项A不符合题意；

B、∵−3<a<−2，1<b<2，∴a+b<0，故选项B不符合题意；

C、∵−7.【答案】D

【解析】解：过E作EH⊥AF于H，

∴∠EHA=90°，

∵∠EAH=60°，

∴∠AEH=30°，

∵△AEF是等边三角形，

∴AH=FH=12AE，

设AH=x，AE=AF=2x，8.【答案】C

【解析】解：设一次函数的解析式为v=kt+b，

根据题意b=33010k+b=336，

解得k=0.6b=3309.【答案】C

【解析】解：1000×332+15+3=60(户)，

估计该小区年用水量达到第三级标准的户数大约为60．

故选：C．10.【答案】A

【解析】解：根据题意知：3x+6=10y5y+1=2x．

故选：A．

设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，等量关系：311.【答案】C

【解析】解：连接OC，OB，

∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，

∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，

∵∠CAB=60°+30°=90°，

∴四边形AB12.【答案】A

【解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，AE交MP于点F，如图，

∵∠B=45°，AB=62，AE⊥BC，

∴BE=AE=22AB=6，

∴EC=AC2−AE2=102−62=8，

∴BC=BE+EC=14．

∵四边形MNQP为矩形，

∴∠PMN=∠MNQ=90°，

∵AE⊥BC，

∴四边形MNEF为矩形，

∴EF=MN=x，13.【答案】3(答案不唯一)【解析】解：由题意得：3−x≥0，

解得：x≤3，

所以x=3符合题意．

故答案为：3(答案不唯一)14.【答案】13【解析】解：列表如下：红黄绿红(红，红)(红，黄)(红，绿)绿(绿，红)(绿，黄)(绿，绿)由表格知，共有6种等可能结果，其中根据三原色原理配得黄色的有2种结果，

所以根据三原色原理配得黄色的概率为26=13，

故答案为：13．

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．

15.【答案】(2【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，ABA′B′=12，

∴△ABC与△A′B′C′的相似比为16.【答案】103【解析】解：∵E为BC的中点，

∴BE=12BC=3，

∵四边形ABCD为矩形，

∴∠ABC=90°，

∴AE=AB2+BE2=42+32=517.【答案】解：7x+11>3(x+1)①2x−1<x+【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．

主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)．18.【答案】解：3x+1=x3(x+1)−1，

方程两边都乘3(x+1)，得9=x−3(x【解析】方程两边都乘3(x+1)19.【答案】解：原式=4x2+8xy−4x2−12【解析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把x、y的值代入计算即可．

本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．20.【答案】解：(1)把A(1,3)代入反比例函数y=kx和一次函数y=x+b中，得k1=3，解得k=3，

1+b=3，解得b=2，

∴反比例函数的表达式为y=3x，一次函数的表达式为y=x+2【解析】(1)把A(1,3)代入反比例函数y=kx和一次函数y=x+b21.【答案】506.5

B

【解析】解：(1)A型号包装机包装的每袋质量由小到大排列如下：

497，499，501，506，506，507，508，508，508，508，

∴A型中位数m=(506+507)÷2=506.5，

故答案为：506.5；

(2)从统计图来看，B型号包装机包装的百合的质量比较稳定；

故答案为：B；

(3)该地区应选择B型号的包装机包装百合较为合适．

理由如下：从统计图看A型波动比B型波动大，从A，B型号包装机包装的每袋百合质量的统计量来看，B型中位数和众数都没有超出规定质量，而A型中位数和众数都超出规定质量，且B型极差小于22.【答案】解：(1)∵⊙O与AB相切于点A，

∴∠BAO=90°，

∵∠B=30°，

∴∠AOB=90°−30°=60°，

∵∠AOB=2∠D，

∴2∠D=60°，

∴∠D=30°；

(2【解析】(1)由切线的性质和三角形内角和定理求得∠AOB=60°，根据圆周角定理即可求出∠D；

(2)根据含30度直角三角形的性质结合已知条件求出OA，OB23.【答案】2

3

5【解析】解：(1)如图所示，正方形PBQR即为补充完整的图形；

(2)∵AB=5，BE=AD=1，

∴AE=AB+BE=5+1=6，

由作图过程可知：直线MN是线段AE的垂直平分线，24.【答案】解：(1)∵sin∠ABMsin∠CBN=1.33，sin∠ABM=sin41.7°≈0.665，

∴sin∠CBN=sin∠ABM1.33=12，

∴∠【解析】(1)根据sin∠ABMsin∠CBN=1.33代入，进而作答即可；

(25.【答案】解：(1)由题意得，其对称轴为直线x=134+262=80，即h=80，OH=80m，

答：OH的长度为80m；

(2)∵h=80，

∴y=−0.006(x−80)2+k，

∵【解析】(1)因为OC=26m，OE=134m，且CD=EF，所以其对称轴为直线x=134+262，可得26.【答案】(1)证明：由翻折得EA=EG，ED=EG，BG=BA，

∴EA=ED=EG，

∴AD=2ED=2EG，

∵BG=2EG，

∴AD=BG，

∴AD=BA，

∵四边形ABCD是矩形，且AD【解析】(1)由翻折得EA=EG，ED=EG，BG=BA，则EA=ED=EG，所以AD=2ED=2EG，而B27.【答案】(1)证明：①∵AE为△ABD的中线，

∴BE=DE，

在△ABE和△MDE中，

BE=DE∠AEB=∠MEDAE=ME，

∴△ABE≌△MDE(SAS)，

∴AB=DM，

∵AB=AC，

∴DM=AC；

②由①知△ABE≌△MDE，

∴∠BAE=∠DME，