江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

～2024学年度第二学期期中考试高二数学试题（考试时间120分钟总分150分）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）1．已知向量，，且，则的值为（）A． B．4 C． D．52．某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（）A．60种 B．30种 C．12种 D．11种3．在的展开式中，的系数是（）A． B．8 C． D．44．先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于等于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（）A． B． C． D．5．为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．有5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（）种不同的分配方法．A．12 B．24 C．48 D．967．如右图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（）A． B． C． D．8．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个，其中第一个盒子中有6个球标有字母，4个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（）A．0.59 B．0.62 C．0.48 D．0.64二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（）13A． B． C． D．10．在的展开式中，下列结论正确的是（）A．第4项和第5项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256C．有理项有2项 D．常数项为8411．已知分别为随机事件的对立事件，，，则（）A． B．若独立，则C．若互斥，则 D．若，则第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）12．若，则的值为______．13．某校在课后服务中开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动，若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为______．14．已知空间四边形（见上图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则______，的长为______．四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）身高各不相同的六位同学站成一排照相，（1）与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答）（2）三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答）16．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求：（1）平面与平面所成的二面角的正弦值；（2）点到平面的距离．17．（本小题满分15分）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）求的期望和方差．18．（本小题满分17分）从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目．已知，且的二项展开式中，______．（1）求的值；（2）①求二项展开式的中间项；②求的值．19．（本小题满分17分）．如图，在直三棱柱中，，，为的中点．（1）若为上的一点，且，求证；（2）在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．2023～2024学年度第二学期期中考试高二数学答案第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）题号12345678答案BCAACDDB二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．）题号91011答案ACDBDABC第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分）．12．6或8 13． 14．四、解答题：15．（本小题满分13分）．解：（1）先排列除与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空，利用插空法将和插入5个空，有种方法，则共有种方法；（2）对于，6个人全排列有种方法，全排列有种方法，则从左到右按高到矮的排列有种方法。16．（本小题满分15分）．解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．，，，，，，设平面的法向量，则，，取．平面的法向量为，平面与平面所成的二面角的正弦值．（2），点到平面的距离（用等体积法同样得分）17．（本小题满分15分）解：（1）由题意知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：0123（2）期望；又，方差．18．（本小题满分17分）解：（1）若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是，则有，化简可得，求得或（舍去）．若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36，则有，化简可得，求得或（舍去）．（2）由（1）可得，①的二项展开式的中间项为．②二项式展开式的通项公式为，所以为正数，为负数．在中，令．再令，可得，．19．（本小题满分17分）．解：（1）证明：法一：取中点，连接，有，因为，所以，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，因为平面平面平面，所以平面，因为平面，所以．因为为的四等分点，为的中点，所以，因为，所以直棱柱的侧面是正方形，所以，又因为，，所以，又，，平面，所以面，而面，所以，即．法二：取中点，连接，连接交于点，连接因为，所以，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，因为平面平面，平面，，所以平面，