2024年广东省东莞市光正实验学校中考一模数学试卷（含答案）

年广东省东莞市光正实验学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一1．（3分）如果温度上升10℃，记作+10℃，那么温度下降7℃记作（）A．+3℃ B．﹣3℃ C．+7℃ D．﹣7℃2．（3分）下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（）A． B． C． D．3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．4．（3分）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知1nm＝10﹣9m，若苔花的花粉直径约为84000nm，则84000nm用科学记数法表示为（）A．8.4×10﹣5m B．0.84×10﹣4m C．8.4×10﹣4m D．8.4×104m5．（3分）如图，OB，OC是⊙O的半径，则∠BOC等于（）A．32° B．58° C．60° D．64°6．（3分）化简的结果为（）A．1 B． C．2 D．﹣27．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛（）甲乙丙丁平均数/环9.149.159.149.15方差6.66.86.76.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁8．（3分）已知点A（a﹣2，2a+6）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣3或a＞2 B．﹣3＜a＜2 C．a＜2 D．a＞﹣39．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠2＝y°，则∠3的度数为（）A．（x﹣y）° B．（180﹣x﹣y）° C．（180﹣x+y）° D．（x+y﹣90）°10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（）A．4 B．4 C．5 D．5二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。11．（3分）分解因式：2x2﹣8＝．12．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的周长为．13．（3分）计算：＝．14．（3分）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）15．（3分）如图，点C是的中点，半径OC＝5米．则CD＝米．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在直角边上且ED⊥AB，垂足为D，AC＝6，DE＝4．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17．（7分）某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元18．（7分）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．（1）尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠MAE＝48°，直接写出∠OBE的大小．19．（7分）数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆CD水平距离10m处，无人机垂直上升到B处，D点的仰角为39.3°，求旗杆CD的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：sin39.3°≈0.63，cos39.3°≈0.77，tan39.3°≈0.82）四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）某中学持续开展了“A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．21．（9分）如图1．直线y＝2x+1与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）（m＞0），得到对应线段CD，连接AC，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比函数图象于点E．（1）求反比例函数表达式；（2）求EF的长度．22．（9分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD．点O，A，B，C，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，测得∠BAD＝60°．已知铁环⊙O的半径为30cm，推杆AB的长为70cm五、解答题（三）（本大题2小，每小题12分，共24分）23．（12分）如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，CD上，连接AE、AF．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）图2取AF的中点M，EF的中点为N，连接MD，请判断线段MD与MN的关系，并证明；（3）将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，请说明理由．24．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4和直线y＝x+1交于A（﹣1，0），B（3，4）点，点B在直线x＝3上，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求∠BAC的度数．（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动（t＞0）．以PQ为边作矩形PONM，使点N在直线x＝3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PONM的顶点落在抛物线上．参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括10小题，每小题3分，共30分）每小题给出四个选项中只有一1．（3分）如果温度上升10℃，记作+10℃，那么温度下降7℃记作（）A．+3℃ B．﹣3℃ C．+7℃ D．﹣7℃【解答】解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降7℃记作﹣7℃．故选：D．2．（3分）下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．选项A能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合．故选：A．3．（3分）如图所示，该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从上面看得该几何体的俯视图是：．故选：C．4．（3分）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“苔花如米小，也学牡丹开”，已知1nm＝10﹣9m，若苔花的花粉直径约为84000nm，则84000nm用科学记数法表示为（）A．8.4×10﹣5m B．0.84×10﹣4m C．8.4×10﹣4m D．8.4×104m【解答】解：84000nm＝84000×10﹣9m＝8.8×10﹣5m．故选：A．5．（3分）如图，OB，OC是⊙O的半径，则∠BOC等于（）A．32° B．58° C．60° D．64°【解答】解：∵OB、OC是⊙O的半径，∴∠BOC＝2∠D＝64°．故选：D．6．（3分）化简的结果为（）A．1 B． C．2 D．﹣2【解答】解：+＝﹣＝＝＝＝7，故选：C．7．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员近几次选拔赛成绩的平均数和方差，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛（）甲乙丙丁平均数/环9.149.159.149.15方差6.66.86.76.6A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：∵乙和丁的平均数较大，∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，∵丁的方差较小，∴选择丁参加比赛，故选：D．8．（3分）已知点A（a﹣2，2a+6）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜﹣3或a＞2 B．﹣3＜a＜2 C．a＜2 D．a＞﹣3【解答】解：由题意知，，解得﹣4＜a＜2，故选：B．9．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，∠2＝y°，则∠3的度数为（）A．（x﹣y）° B．（180﹣x﹣y）° C．（180﹣x+y）° D．（x+y﹣90）°【解答】解：由题意可知AB∥OF．∴∠1+∠OFB＝180°．∵∠1＝x°．∴∠OFB＝180°﹣x°．∵∠8＝∠POF．∴∠3＝∠POF+∠OFB＝（180﹣x+y）°．故选：C．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、E在抛物线y＝ax2上，过点A、E分别作y轴的垂线，交抛物线于点B、F（2，4），四边形CDFE为正方形时，则线段AB的长为（）A．4 B．4 C．5 D．5【解答】解：把E（2，4）代入y＝ax8中得4＝4a，解得a＝5，∴y＝x2，∵点E（2，8），∴CD＝CE＝4，设点A横坐标为m，则A（m，代入y＝x2得m8＝8，解得m＝2或m＝﹣2．∴AB＝7m＝4．故选：B．二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上。11．（3分）分解因式：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣2）＝2（x+2）（x﹣7）；故答案为：2（x+2）（x﹣6）．12．（3分）已知菱形的两条对角线长分别为2和6，则菱形的周长为4．【解答】解：如图，菱形ABCD对角线AC，且BD＝6，∵菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，AC＝2，∴AC⊥BD，BO＝DO＝2，∴AB＝，∴菱形的周长＝×4＝4．故答案为：6．13．（3分）计算：＝．【解答】解：＝＝．故答案为：．14．（3分）小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时100N的力．（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【解答】解：根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，∴函数的解析式为F＝，当L＝4.5时，F＝，当L＝2时，F＝，因此，撬动这块石头可以节省400﹣300＝100N，故答案为：100．15．（3分）如图，点C是的中点，半径OC＝5米．则CD＝2米．【解答】解：∵点C是的中点，∴OC⊥AB，AD＝BD＝4（米），∵OC＝5（米），∴（7﹣CD）2+47＝52，解得：CD＝4，故答案为：2．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在直角边上且ED⊥AB，垂足为D，AC＝6，DE＝4．【解答】解：∵ED⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ACB∽△EDB，∴，∵BC＝8，AC＝5，∴，故答案为：．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分）17．（7分）某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元【解答】解：设一个玻璃杯的价格是x元，则一个保温杯的价格是（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝25，经检验，x＝25是原方程的解．答：一个玻璃杯的价格是25元．18．（7分）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．（1）尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若∠MAE＝48°，直接写出∠OBE的大小．【解答】解：（1）如图，OB为所作；（2）∵AE∥ON，∴∠MON＝∠MAE＝48°，∵OB平分∠MON，∴∠NOB＝∠MON＝24°，∵AB∥ON，∴∠OBA＝∠NOB＝24°，∴∠OBE＝180°﹣∠OBA＝180°﹣24°＝156°．19．（7分）数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆CD水平距离10m处，无人机垂直上升到B处，D点的仰角为39.3°，求旗杆CD的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：sin39.3°≈0.63，cos39.3°≈0.77，tan39.3°≈0.82）【解答】解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，由题意得：BE＝10m，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE•tan45°＝10（m），在Rt△BDE中，∠DBE＝39.3°，∴DE＝BE•tan39.3°≈10×8.82＝8.2（m），∴CD＝DE+CE＝6.2+10≈18（m），∴旗杆CD的高度约为18米．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分）20．（9分）某中学持续开展了“A：青年大学习；B：青年学党史；C：中国梦宣传教育，学生可以任选一项参加．为了解学生参与情况，进行了一次抽样调查请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了200名学生；（2）补全条形统计图；（3）若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；（4）小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率．【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取了学生，故答案为：200；（2）参加C项活动的人数为200﹣20﹣80﹣40＝60（名），补全条形统计图如下：（3）（名）；（4）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小杰和小慧参加同一项活动的结果有4种，∴小杰和小慧参加同一项活动的概率为．21．（9分）如图1．直线y＝2x+1与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）（m＞0），得到对应线段CD，连接AC，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比函数图象于点E．（1）求反比例函数表达式；（2）求EF的长度．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝2x+7上，∴a＝2×1+8＝3，∴点A坐标为：（1，3），∴k＝1×3＝2，∴y＝．（2）由（1）知y＝，当y＝3时，x＝3，∴点D坐标为：（3，6），∴BD＝AC＝3，∴点C坐标为：（4，4）．当x＝4时，y＝，∴EF＝．22．（9分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD．点O，A，B，C，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．（1）求证：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，测得∠BAD＝60°．已知铁环⊙O的半径为30cm，推杆AB的长为70cm【解答】解：（1）过B作EF∥CD，由题意可得，∠ADC＝90°，∵铁环⊙O与水平地面相切于点C，∴∠OCD＝90°，∵EF∥CD，∴∠OCD＝∠OEB＝∠AFB＝∠ADC＝90°，∵推杆AB与铁环⊙O相切于点B，，∴∠OBA＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BOC＝∠ABD，∴∠BOC+∠BAD＝90°；（2）∵∠BOC+∠BAD＝90°，∠BAD＝60°，∴∠BOE＝30°，∵⊙O的半径为30cm，推杆AB的长为70cm，∴AF＝AB•cos∠BAD＝70×cos60°＝70×＝35（cm），OE＝OB•cos∠BOC＝30×cos30°＝30×＝15，∴FD＝EC＝OC﹣OE＝（30﹣15）cm，∴AD＝FD+AF＝35+30﹣15＝（65﹣15．五、解答题（三）（本大题2小，每小题12分，共24分）23．（12分）如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，CD上，连接AE、AF．（1）求证：△AEF是等腰三角形；（2）图2取AF的中点M，EF的中点为N，连接MD，请判断线段MD与MN的关系，并证明；（3）将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180°，如图3所示，则（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠ADF＝90°，∵CE＝CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴△AEF是等腰三角形．（2）解：结论：DM＝MN，DM⊥MN．证明：∵AM＝FM，FN＝EN，∴MN＝AEAF，∵AE＝AF，∴MN＝DM，∵∠ADF＝90°，AM＝MF，∴MD＝MA＝MF，∴∠MAD＝∠ADM，∵∠DMF＝∠MAD+∠ADM＝2∠DAM，∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF，∵∠EAF+5∠DAM＝90°，∵MN∥AE，∴∠NMF＝∠EAF，∴∠NMF+∠DMF＝90°，∴DM⊥MN．∴MN＝DM，MN⊥DM．故线段MD与MN的关系为：MN＝DM，MN⊥DM．（3）解：结论仍然成立．理由：如图，设AE交DM于O．∵AB＝AD，BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB，∵AM