人教版八年级下册数学重难点训练：平行四边形拔高训练

八年级（下）重难点专题训练：平行四边形拔高训练

1.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,△ABO,△ACE,ABCF都是等边三角

形，下列结论中：®AB±AC；②四边形AEFD是平行四边形；③NQFE=150°；④5四

边形AEFO=8.错误的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.如图，平行四边形4BCO中，对角线AC、BQ相交于0,BD=2AD,E、F、G分别是

OC、OD、4B的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；®BE1AC；③EG=

FG；④EA平分NGEF.其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②@D.①③④

3.如图所示，在RlZ\ABC外作等边△?!£>£：,点£在AB边上，AC=5,NABC=30°,AD

=3.将△/1£>后沿AB方向平移，得到AA'D'E',连接B。'.给出下列结论：①AB

=10;②四边形ADD'A'为平行四边形；③48平分/O'BC-,④当平移的距离为4

其中正确的是_______（填上所有正确结论的序号）

B

:

AC

4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,49=6,以AB为边向右作等边△ABE,F为边

C。上一点，DF=2,连接ER则EF的最小值为

BC

/D

5.如图，在oABCD中，/ABC=45°,48=12料，CB=28,点M,N分别是边AB,AD

的中点，连接CM,BN,并取CM,BN的中点，分别记为点E,F,连接EF,则EF的

长为.

6.如图，分别以RtaABC的斜边A8,直角边AC为边向外作等边△AB。和等边△ACE,F

为A8的中点，分别连接。F,EF,DE,OE与AB相交于点G,若/8AC=30°,下列

四个结论：®EF±AC；②四边形AOFE为平行四边形；③CE=2扬G；④ADBF名△

EFA.其中结论正确的是（填序号即可）.

7.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AB=5,8c=3,将△A8C绕点8顺时针旋转得

到AA'BC,其中点A、C的对应点分别为点A'、C',连接44'、CC',直线

CC交44'于点，点E为AC的中点，连接OE.则。E的最小值为.

8.正方形A8CD中，点E是边AO的中点.连接3E,在8E上找一点F,连接AF,将AF

绕点4顺时针旋转90°到AG,点尸与点G对应.AG,8£＞延长线交于点H.若4B=4,

当F、E、G三点共线时，求SAB”=

9.如图，A8CO为平行四边形，。尸EC和8CG”为正方形.求证：ACLEG.

10.如图1,已知/EOF,点8、C在射线O尸上，四边形ABC。是平行四边形，AC、BD

相交于点M,连接OM.

(1)当OM_LAC时，求证：OA=OC.

(2)如图2,当NEO尸=45°时，且四边形ABCD是边长为a的正方形时，求OM的

长.(结果保留根号)

11.四边形ABC。，E为8C上一动点，EF〃对角线8。，交C£＞于F,连AE、AF,分别交

8。于点G,点H.

(1)若四边形488为正方形，判断图中除正方形的边之外所有相等的线段，选择一组

证明；

(2)若四边形A8C。为平行四边形，判断BG等于哪条线段，并说明理由.

12.如图，以四边形A8CQ的边AB、AO为边分别向外侧作等边三角形A2F和4OE,连接

BE、DF.

图1图2

(1)当四边形ABC。为正方形时(如图1),则线段BE与。F的数量关系是.

(2)当四边形ABC。为平行四边形时(如图2),问(1)中的结论是否还成立？若成

立，请证明；若不成立，请说明理由.

13.如图，以△A8C的边A&AC为边的等边三角48。和等边三角形ACE,四边形AOFE

是平行四边形.

(1)当/8AC满足什么条件时，四边形AOFE是矩形；

(2)当/BAC满足什么条件时，平行四边形AOFE不存在；

(3)当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形AOFE是菱形，正方形？

14.如图，0ABe。中，CGLAB于点、G,ZABF=45°,尸在CO上，BF交CG于点、E,

连接AE,AELAD.

(1)若BG=l,BC=A/1Q,求E尸的长度；

(2)求证：AB-®BE=CF.

BG

15.如图，平行四边形ABCD内有一点E,满足ED±AD,且NEBC=NEDC,BE=

CD.证明：NECB=45；

AD

16.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,对角线AC、BO交于点0,且AO=OC,过点。

作交AO于点E,交BC于点、F.

(1)求证：四边形ABC。为平行四边形；

(2)连接BE,若NB4Z)=100°,NDBF=2/ABE,求NA8E的度数.

为A',A4,的延长线交BC于点G.

(1)求证：DE//A'F；

(2)求NGA'8的大小；

(3)求证：A'C=2A'B.

18.如图，AO是△ABC的角平分线，DE±AB,DFLAC,垂足分别是E、F,连接EREF

与AO相交于点”.

(1)求证：AD1EF；

(2)ZVIBC满足什么条件时，四边形AEQ尸是正方形？说明理由.

19.如图，在四边形ABCO中，BC=CD,NC=2NBAD.。是四边形A8CO内一点，且

OA=OB—OD.求证：

(1)NBOD=NC；

(2)四边形O8CD是菱形.

20.如图，在。ABCC中，对角线AC与8。相交于点O,点E,尸分别为。8,0力的中点,

延长AE至G,使EG=AE,连接CG.

(1)求证：XNBE瑟△CDF：

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由.

21.在AABC中，AB=4C,点P为△A8C为所在平面内一点，过点P分别作PF//AC交

A3于点F,PE//AB交BC千点、D,交AC于点E.

EE

出曲)C-----DC

图1图2图3

(1)当点P在BC边上(如图1)时，请探索线段PE,PF,AB之间的数量关系式

为.

(2)当点P在△ABC内(如图2)时，线段PC,PE,PF,AB之间有怎样的数量关系，

请说明理由.

(3)当点P在△48C外(如图3)0寸，线段PD,PE,PF,A8之间有怎样的数量关系，

直接写出结论.

22.如图，在RtAABC中，ZB=90°,BC=尻巧，NC=30°.点D从点C出发沿CA

方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿A8方向以每秒

1个单位长的速度向点8匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动.设点。、E运动的时间是f秒(r>0).过点。作。F_L8c于点尸，连接。E、EF.

(1)AC的长是,AB的长是

(2)在。、E的运动过程中，线段EF与A。的关系是否发生变化？若不变化，那么线

段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由.

(3)四边形AEFQ能够成为菱形吗？如果能，求出相应的“直；如果不能，说明理由.

(4)当，为何值，ZSBE尸的面积是2的?

23.如图1,四边形ABC。是正方形，点E是边8C的中点，NAE尸=90°,且所交正方

形外角的平分线CF于点F,过点F做FG±BC于点G,连接AC.易证：AC=&

(EC+FG).(提示：取AB的中点连接

(1)当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3.请直

接写出AC,EC,的数量关系，并对图2进行证明；

(2)已知正方形ABC。的面积是27,连接AF,当△ABE中有一个内角为30°时，则

A尸的长为

24.探究：如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形

ACDE,NC、BE交于点P.

求证：NANC=NABE.

应用：。是线段BC的中点，若BC=6,则PQ的长度是多少？

25.已知，在平行四边形中，BC=2AB,M为AC的中点，CELABTE.求证：Z

26.小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，

点E是CQ的中点，点F是BC边上的一点，且/以E=NEAD你能够得出什么样的正

确的结论？”

(1)小明经过研究发现：E尸，AE.请你对小明所发现的结论加以证明；

(2)小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意

平行四边形"(如图②、图③、图④),其它条件均不变，认为仍然有.你

同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的

27.如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AB=25cm,AC=20cm,点P从点A出发，沿AB

的方向匀速运动，速度为5CH/S；同时点M由点C出发，沿C4的方向匀速运动，速度

为4c〃加，过点M作MN//AB交BC于点N.设运动时间为ts（0<Z<5）.

（1）用含f的代数式表示线段MN的长；

（2）连接PN,是否存在某一时刻f,使S叫边彩AMNP=48?若存在，求出f的值；若不存

在，请说明理由；

（3）连接尸M、PN,是否存在某一时刻K使点P在线段的垂直平分线上？若存在，

求出此时r的值；若不存在，请说明理由.

（备用图）（备用图）

28.在等边△ABC中，AB=6,BD±AC,垂足为。，点E为4B边上一点，点尸为直线8。

上一点，连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连结FG.

①如图1,当点E与点B重合，且G尸的延长线过点C时，连接力G,则线段。G的长

为;

②如图2,点E不与点A,B重合，GF延长线交BC边于点H,连接EH,则皿阻

BF

29.如图，已知NAOB=60°,在乙4OB的平分线上有一点C,ZDC£=120°,当/

CCE的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线。A、OB相交于点。、E.

（1）当NDCE绕点C旋转至UCD与OA垂直时（如图1）,请猜想OE+OD与OC的数

量关系，并说明理由；

（2）由（图1）的位置将NOCE绕点C逆时针旋转。角（0<。<90°）,线段。。、OE

与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由.

AA

D

C/MC/M

B0^-------------B

图1备用图1备用图2

30.如图，在边长为6的正方形ABC。内部有两个大小相同的长方形AEFG、HMCN,HM

与E尸相交于点尸，与G尸相交于点。，AG=CM=x,AE=CN=y.

(1)用含有x、y的代数式表示长方形AEFG与长方形HMCN重叠部分的面积S四边形

HPFQ，并求出X应满足的条件；

(2)当4G=AE,E尸=2PE时，

①AG的长为.

②四边形AEFG旋转后能与四边形HMCN重合，请指出该图形所在平面内能够作为旋转

中心的所有点，并分别说明如何旋转的.

31.如图，在等边△8CO中，OF,8c于点F,点A为直线。F上一动点，以8为旋转中

心，把BA顺时针方向旋转60°至BE,连接EC.

(1)当点A在线段QF的延长线上时，

①求证：DA=CE；

②判断NOEC和NEQC的数量关系，并说明理由；

(2)当NDEC=45°时，连接4C,求NBAC的度数.

32.己知如图，△4£)(?和△8OE均为等腰三角形，NCAD=NDBE,AC=AD,BD=BE,

连接CE,点G为CE的中点，过点E作AC的平行线与线段AG延长线交于点立

(1)当A,D,8三点在同一直线上时(如图1),求证：G为A尸的中点；

(2)将图1中△BQE绕点。旋转到图2位置时，点A,D,G,F在同一直线上，点”

在线段AF的延长线上，且EF=EH,连接AB,BH,试判断△A8H的形状，并说明理

33.如图，将矩形ABC。绕点A按逆时针方向旋转，得到矩形AEFG,E点正好落在边CZ)

上，连接BE,BG,且8G交4E于P.

(1)求证：NCBE=LNBAE；

2

(2)求证：BG=2PB；

(3)若我，BC=3,直接写出BG的长.

34.如图，已知正方形ABC。，E是AB延长线上一点，尸是。C延长线上一点，且满足

=EF,将线段EF绕点厂顺时针旋转90°得尸G,过点3作FG的平行线，交D4的延长

线于点N,连接NG.

(1)求证：BE=2CF；

(2)试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明.

35.阅读下面材料：

在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1,我们把一个四边形A8C。的四边中点

E,F,G,H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？

小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC.

四边形EFGH

是平行四边形

结合小敏的思路作答

（1）若只改变图1中四边形ABCO的形状（如图2）,则四边形E/G”还是平行四边形

吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决以下问题：

（2）如图2,在（1）的条件下，若连接AC,BD.

①当AC与8。满足什么条件时，四边形EFG”是菱形，写出结论并证明；

②当AC与BZ）满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论.

参考答案与试题解析

1.如图，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/\ABD,△ACE,△8CF都是等边三角

形，下列结论中：①4BJ_AC；②四边形AEFD是平行四边形；③NOFE=150°；④S叫

边形AEFO=8.错误的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

【分析】由AB2+AC2=BC2,得出/BAC=90°,故①正确；再由SAS证得

DBF,得AC=OF=AE=4,同理△ABC丝△£氏；(SAS),得A8=EF=4O=3,则四边

形AEFD是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得NQFE=ND4E=

150°,则③正确；最后求出S〃AEFD=6,故④错误；即可得出答案.

【解答】解：•.,A3=3,AC=4,BC=5,32+42=52,

：.AB2+AC1=BC2,

.'△ABC是直角三角形，NBAC=90°,

：.ABLAC,故①正确；

,：/\ABD,△ACE都是等边三角形，

：.ZDAB=ZEAC=60Q,

：.ZDAE^\50°,

•.•△ABO和△尸8C都是等边三角形，

：.BD=BA,BF=BC,/DBF+/FBA=/ABC+NABF=60°,

NDBF=ZABC,

在△ABC与△DBF中，

fAB=DB

<ZABC=ZDBF-

BC=BF

AAABC^ADBF(SAS),

：.AC=DF=AE=4,

同理可证：△ABgXEFC(SAS),

：.AB=EF=AD=3,

...四边形AEFD是平行四边形，故②正确；

.".ZDFE=ZDA£=150°,故③正确；

过A作AG_L£)F于G,如图所示：

则/AGO=90°,

V四边形AEFD是平行四边形，

AZFDA=180°-ZDFE=180°-150°=30°,

.*.AG=AAO=3,

22

•••SOAEFD=Z)F・AG=4X3=6,故④错误；

错误的个数是1个,

故选：A.

2.如图，平行四边形A8CO中，对角线4C、8。相交于O,BD=2AD,E、F、G分别是

OC、OD、AB的中点，下列结论：①四边形BEFG是平行四边形；②BE_LAC；③EG=

FG；④EA平分/GER其中正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②©D.①③④

【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OB=BC,再由等腰三角形的性质可判

断②正确；然后由直角三角形的斜边上的中线性质和三角形中位线定理判断③错误，可

证四边形BG五E是平行四边形，判断①正确，最后由平行线的性质和等腰三角形的性质

可判断④正确.

【解答】解：：四边形ABC。是平行四边形，

：.BO=DO^1BD,AD=BC,AB^CD,AB//CD,

2

又.；B£）=24D,

：.OB=BC=OD=DA,

:点E是0C中点，

J.BELAC,故②正确；

■:E、F分别是OC、0。的中点，

是△OCD的中位线，

：.EF//CD,£F=ACD=A/1B,

22

：.EF//AB,

:点G是Rt/XABE斜边A8上的中点，

:.EG=1AB=AG=BG,

2

:.EG=EF=AG=BG,

二四边形BEFG是平行四边形，故①正确；

无法证明GE=GF,故③错误；

'JEF//CD//AB,

：.ZBAC=ZACD=ZAEF,

；AG=GE,

/GAE=AAEG,

ZAEG=ZAEF,

.♦.AE平分NGEF,故④正确；

故选：C.

3.如图所示，在RtZ\ABC外作等边△AOE,点E在AB边上，AC=5,ZABC=30°,AD

=3.将△AOE沿AB方向平移，得到△△'D'E',连接80'.给出下列结论：①48

=10;②四边形ADD'A'为平行四边形；③"平分/£>'BC,④当平移的距离为4

时，BD'=373.其中正确的是①②④（填上所有正确结论的序号）.

【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平移

的性质.

【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AB=2AC=10,故①正确；再由平移的性质

得A7）'=AQ,A'D'/ZAD,则四边形A。。'A'为平行四边形，故②正确；当平移的距离

为4时，EE=4,证出BE=D'E,则/EB£>'=/E'D'B=l>/AE77=30°,得/A'DB

2

=60°+30°=90°,由含30°角的直角三角形的性质得8£>'=技。=3«,故④正

确；由④得：当平移的距离为4时，ZEBD'=ZABC=30a,故③错误；即可得出答

案.

【解答】解：,；NACB=90°,4c=5,NABC=30°,

：.AB=2AC=\0,故①正确；

由平移的性质得：A'D'=AD,A'D'//AD,

四边形A。。A'为平行四边形，故②正确；

当平移的距离为4时，EE=4,

：.BE=AB-AE-EE=10-3-4=3,

由平移的性质得：ZA'D'E^ZA'E'D'^ZAED=60a,A'D=Q'E=£>E=AO=3,

：.BE=D'E,

：.AEBD'=ZED'B=1ZA'ED'=30°,

2

AZA'D'B=600+30°=90°,

：.BD'=y/3A'D'=3y/3,故④正确；

由④得：当平移的距离为4时，ZEBD'^ZABC^30Q,故③错误；

故答案为：①②④.

4.如图，在平行四边形ABC。中，AB=S,AD=6,以AB为边向右作等边△4BE,F为边

CQ上一点，DF=2,连接EF,则EF的最小值为2m-6.

【考点】平行四边形的性质；等边三角形的性质.

【分析】过E作于“，根据等边三角形的性质得到，AH^BH=1AB=4,求得

2

HE=g当H,F,E三点共线时，FE最小，根据勾股定理即可得到结论.

【解答】解：过E作EHLAB于H,在4B上取一点O,使得AO=DF^2,连接OF,

OE.

B

「△ABE是等边三角形,

：.AH=BH=1AB=4,

2

:.HE=4M，

•.•四边形ABCD是平行四边形,

.".AB//CD,

'：AO=DF,AO//DF,

：.四边形AOFD是平行四边形，

：.0F=AD=6,

，点尸的运动轨迹是以。为圆心，6为半径的圆，

...当点尸在。£上时，EP的值最小，

;OF=V0H2+EH2=V22+（4>/3）2=

二所的最小值=2万-6

故答案为：2JW-6

5.如图，在。ABC。中，/A8C=45°,AB=12圾,CB=28,点M,N分别是边A8,AD

的中点，连接CM,BN,并取CM,BN的中点，分别记为点E,F,连接EF,则EF的

长为5.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理.

【分析】连接BE交CD于点G,连接GN,过点G作GHLDN于点H,证

CEG得BE=GE,8W=GC=6&,贝UDG=CD-GC=6M，再勾股定理可得GN的

长，然后由三角形中位线定理即可求解.

【解答】解：如图，连接BE交CC于点G,连接GN,过点G作GHLDN于点H,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=CB=2^>,CD=AB=12版,

:点M,N分别是边AB,A。的中点，

.•.AN=£W=LO=14,BM=^AB=6-J2>

22

,JAB//CD,

：.NBME=ZGCE,ZMBE=ZCGE,

•.,点E是CM的中点，

：.ME=CE,

在和ACEG中，

，ZMBE=ZCGE

,ZBME=ZGCE-

ME=CE

:AMEB经4CEG(AAS),

：.BE=GE,BM=GC=6®

:.DG=CD-GC=6近,

•.•/£>=NABC=45°,GHLDN,

：.DH=GH=®DG=6,

2

：.NH=DN-DH=14-6=8,

'GN=而/与产V82+62=10,

,:BF=FN,BE=EG,

是△BGN的中位线，

:.EF=、GN=5.

2

故答案为：5.

6.如图，分别以RtAABC的斜边A8,直角边AC为边向外作等边△48。和等边△ACE,F

为A8的中点，分别连接。aEF,DE,OE与AB相交于点G,若/8AC=30°,下列

四个结论：©EF1AC；②四边形AOFE为平行四边形；③CE=2砂G；④△£«「也△

EFA.其中结论正确的是.①②③⑷(填序号即可).

BC

【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形

的判定与性质.

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得布=FC,根据等边三角形

的性质可得E4=EC,根据线段垂直平分线的判定可得EF是线段4c的垂直平分线；根

据条件及等边三角形的性质可得/。欣=/£4尸=90°,DALAC,从而得到DF//AE,

DA//EF,可得到四边形ADFE为平行四边形；根据平行四边形的对角线互相平分可得

AF=2AG,由含30°直角三角形的性质得到EF=2AF=4AG,由勾股定理可证得CE=

2V3AG；易证DB=DA=EF,NDBF=NEFA=60°,BF=FA,即可得到△。8尸丝^

EFA.

【解答】解：连接FC,如图所示：

VZACB=90°,尸为AB的中点，

:.FA=FB=FC,

•.'△ACE是等边三角形，

：.EA=EC,

\"FA=FC,EA=EC,

点F、点E都在线段AC的垂直平分线上，

.•.EF垂直平分AC,EFLAC-,故①正确；

•.♦△48。和△ACE都是等边三角形，尸为48的中点，

：.DF±AB即/。矶=90°,BZ)=a4=AB=2AF,ZDBA^ZDAB^ZEAC=ZACE^

60°.

•../BAC=30°,

：.ZDAC^ZEAF=90a,

：.ZDFA=ZEAF=90Q,DAYAC,

：.DF//AE,DA//EF,

四边形AOFE为平行四边形；故②正确；

•••四边形ADFE为平行四边形，

：.AF=2AG,

•..△ACE是等边三角形，EF1AC,

：.AE=CE,ZA£F=30°,

VZEAF=90°,

：.EF=2AF=4AG,EF1=AF1+AE1,

：.(4AG)2=(2X02+CE2,

：.12AG2=CE1,

：.CE=2扬G；故③正确；

•••四边形ADFE为平行四边形,

：.DA=EF,

：.BD=DA=EF,

在和△£：»!中，

rBD=FE

<ZDBF=ZEFA(SAS)，

BF=FA

：./\DBF^/\EFA-,故④正确；

故答案为：①②③④.

7.如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,将△4BC绕点B顺时针旋转得

到AA'BC,其中点A、C的对应点分别为点A'、C',连接AA'、CC',直线

CC交AA'于点。，点E为AC的中点，连接OE.则的最小值为1.

【考点】旋转的性质；勾股定理.

【分析】过A作AP〃AC交C,£>延长线于P,连接AC,先证明/ACP=/A,CZ)=/P,

^AP=AC=A'C',再证明△APO丝△A。。得AO=A'。，£>E是△A4C的中位线，DE=

LvC,要使。E最小，只需4c最小，此时A、C、8共线，的最小值为4B-8C=

2

AB-BC=2,即可得。E最小值为2AC=1.

2

【解答】解：过A作AP〃A'C交。。延长线于P,连接A'C,如图：

:△ABC绕点B顺时针旋转得到AA'BC,

:.BC=BC,ZACB=ZA,CB=90°,AC=A'C,

:./BCC=/BCC,

VZACP=180°-ZACB-ZBCC=90°-ZBCC,

ZA'CD=ZA,CB-ZBCC=90Q-NBCC,

：.ZACP=ZA'CD,

・・・"〃AC,

：.ZP=ZA'CD9

：.ZP=ZACPf

：.AP=AC,

：.AP=A,C,

在△APO和△ACO中，

<ZP=ZA/C，D

,ZPDA=ZAyDC'，

AP二A'C，

/./\APD^/\A,CD(AAS),

：.AD=A'Df

・・・。是A4中点，

・・•点E为AC的中点，

・・・OE是△A/TC的中位线，

：.DE=1A'C9

2

要使。上最小，只需AC最小，此时A、。、3共线，HC的最小值为4B-3C=A3-8C

=2,

二。£1最小为』<4。=1.

2

故答案为：1.

8.正方形A8CO中，点E是边AO的中点.连接BE,在BE上找一点尸，连接4凡将AF

绕点A顺时针旋转90°到AG,点尸与点G对应.AG、80延长线交于点H.若A8=4,

当F、E、G三点共线时，求.

—5-

【考点】正方形的性质；旋转的性质.

【分析】连接OG,过“作“PJ_8G,交8G的延长线于P,判定得出

BF=DG,ZAFB=ZAGD,根据」iXBEXOG=1^XOEXAB,即可得到DG=-k/7,

22百7b

BG=7BD2-DG2=再设PH=X,WlJPG=x，根据DG//PH,可得△BDGs4

BHP,根据地JI,可得方程，即可得到PH=2正，最后根据SMFH=』BFXPH进

BPPH7Vb2

行计算即可.

【解答】解：如图所示，连接。G,过H作“PLBG,交2G的延长线于尸，

AF绕点A顺时针旋转90°到AG,贝IJAF=AG,ZMG=90°,

即AAFG是等腰直角三角形，

5L，：AB=AD,ZBAD=90°,

：.ZBAF=ZDAG,

.,.AABf^AADG,

：.BF=DG,ZAFB=ZAGD,

中，AB=4,AE=2,

:.BE=2近,

•.•/AFG=/AGF=45°,

：.ZAFB=\35°=NAGD,

：.ZDGE=\35°-45°=90°，BPDG±BE,

■:工义BEXDG=LXDEXAB,

22

,,DG=ABXDE=1^

.♦.□△BOG中，BG=7BD2-DG2^^

,：ZHGP=ZAGF=45°,ZP=90°,

△GPH为等腰直角三角形，

设PH=x,则PG=x,

"DG//PH,

:./\BDGSABHP,

故答案为：12.

5

9.如图，A8CD为平行四边形，OFEC和BCG”为正方形.求证：AC_LEG.

G

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质.

【分析】本题中要证AC_LEG也就是证/CGE+/GC4=90°,我们发现/GC4+/ACB

=90°,因此证明/CGE=NAC8就是问题的关键，我们可通过证明三角形ABC

ECG全等来实现.

【解答】证明：•••四边形BCGH、EFDC为正方形,四边形ABC。为平行四边形，

J.GC//BH,DC//AB,NHBC=NECD=90°,

：.ZHBA^ZGCD(两边分别平行的两角相等或互补)，

AZHBC+ZHBA=ZGCD+ZECD,即90°+ZHBA=ZGCD+900,

.'.ZGCE^ZABC,

：.AB=DC=EC,BC=CG,

在△ABC和AECG中，

'AB=EC

<ZABC=ZGCE)

BC=CG

.,.△ABC^AECG(SAS),

J.ZCGE=ZACB,

；NACB+NGC4=90°,

.".ZCG£+ZGCA=90°,

J.ACLEG.

10.如图1,已知/EOF,点8、C在射线OF上，四边形ABC。是平行四边形，AC.BD

相交于点M,连接OM.

(1)当OM_LAC时，求证：OA=OC.

(2)如图2,当NEOF=45°时，且四边形ABCD是边长为a的正方形时，求OM的

长.(结果保留根号)

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正

方形的性质.

【分析】(1)若要证明OA=OC,则可转化为证明OM是AC的垂直平分线即可；

(2)过M作MGLOF于G,首先证明四边形AOBQ是平行四边形，得到AO=OB,再

利用等腰直角三角形的性质得到8G和MG的长，进而利用勾股定理即可求出OM的长.

【解答】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AM=CM,

"：OM1.AC,

；.OM是4c的垂直平分线，

：.OA=OC；

(2)过M作MG_LOF于G,

,Z四边形ABCD是边长为a的正方形,

J.AD//BC,ZDBC=45°,

VZEOF=45°,

ZAOB=NEOF,

J.AO//DB,

四边形AOBD是平行四边形，

•'•AD—OB—ci,

•；OG=冤，

2

'：BC=a,

：.MG=^a,

2

'0M=7MG2+OG2=•

11.四边形ABC。，E为BC上一动点，EF〃对角线BO,交CD于F,连AE、AF,分别交

BO于点G,点H.

(1)若四边形ABC。为正方形，判断图中除正方形的边之外所有相等的线段，选择一组

证明；

(2)若四边形ABCO为平行四边形，判断BG等于哪条线段，并说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质.

【分析】（1）根据正方形的性质，对角线平分对角，以及E尸〃8。即可得出相等的线段;

（2）利用平行四边形的性质得出菱形，再利用三角形全等的判定得出答案.

【解答】解：（1）EC=FC,DF=BE,AF=AE；

证明：•.•四边形ABC。为正方形，

，/BOC=NOBC=45°,

'：EF//BD

/FEC=NDBC,/EFC=ZBDC,

：.NFEC=AEFC,

：.EC=FC（等角对等边），

(2)BG=HD,

证明：做FN〃BE,ME//DF,

,JEF//BD,FN//BE,ME//DF,

四边形BEFN是平行四边形，四边形MEFQ是平行四边形，且全等，

:.BC=CD,

二四边形ABC。为菱形，

；.AB=A。，BE=DF,NABE=NADF,

：./\ABF^^ADF,

：.BG=HD.

12.如图，以四边形A8C£＞的边AB、A£＞为边分别向外侧作等边三角形A8尸和4OE,连接

BE、DF.

E

E

图1

(1)当四边形ABC。为正方形时(如图1),则线段BE与DF的数量关系是BE=DF

或相等.

(2)当四边形ABCO为平行四边形时(如图2),问(1)中的结论是否还成立？若成

立，请证明；若不成立，请说明理由.

【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质.

【分析】(1)先根据正方形性质和等边三角形性质得：AB=AD,NBM>=90°,AF=

AB,AE=AD,,再根据全等三角形判定和性质即可；

(2)先利用平行四边形性质和等边三角形性质，再运用全等三角形判定和性质即可.

【解答】解：⑴BE=DF(或相等)

如图1,：四边形ABCQ为正方形

：.AB=AD,/BAD=90°

「△ABF、△AQE都是等边三角形

：.AF=AB,AE=AD,NBAF=NDAE=60°

AZBAE=ZBAD+ZDAE=\50Q,ZDAF=ZBAD+ZBAF=\50°

:.NBAE=NDAF

"：AB=AF=AE=AD

：.^ABE^^AFD(SAS)

：.BE=DF

故答案为：8E=D尸或相等；

(2)成立.

证明：如图2,•.♦△4尸8为等边三角形

：.AF=AB,ZFAB=60°

•.♦△4DE为等边三角形，

：.AD=AE,ZEAD=60°

：.ZFAB+ZBAD^ZEAD+ZBAD,

在△AFD和△ABE中，

，AF=AB

<ZFAD=ZBAE-

AD=AE

/•/XAFD^/XABE(SAS),

:.BE=DF.

图2

图1

13.如图，以△ABC的边A3、AC为边的等边三角A3。和等边三角形ACE,四边形AOFE

是平行四边形.

（1）当/BAC满足什么条件时，四边形AOFE是矩形；

（2）当/8AC满足什么条件时，平行四边形AOFE不存在；

（3）当AABC分别满足什么条件时，平行四边形A。尸E是菱形，正方形？

【考点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；正

方形的判定.

【分析】（1）根据矩形的四角相等为90度求解；

（2）根据。、A、E在同一条直线上时不能构成四边形求解；

(3)分别根据菱形的四边相等和正方形的四边相等，四角相等的特性解题.

【解答】解：(1)当/BAC=150°时，四边形AOFE是矩形，

.••ZDA£=360°-120°-150°=90°；

•.•四边形ADFE是平行四边形，

...四边形AOFE是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)；

(2)当N8AC=60°时平行四边形AOEE•不存在，

ZDAE=180°-60°-60°-60°=0°；

(3)当AB=AC且NBAC不等于60°时平行四边形AOFE是菱形.

14.如图，oABC£>中，CG_L4B于点G,ZABF=45°,尸在CD上，BF交CG于点、E,

连接AE,AELAD.

(1)若BG=1,BC=JI5，求EF的长度；

(2)求证：AB-4^PE=CF.

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质.

【分析】(1)根据BG=1,利用勾股定理可以得到CG的长，再根据等腰三

角形的性质可以得到GE的长，从而可以得到EF的长；

(2)要证明结论成立，只要作辅助线E//LA8于点H,利用勾股定理得到8”=血8£

再利用三角形的全等和平行四边形的性质即可得到结论成立.

【解答】解：(1)'：CG±AB,BG=\,BC=A/1C，

CG=7BC2-BG2=7(VIO)2-l2=3'

：/AB尸=45°,

•••△3GE是等腰直角三角形,

:・EG=BG=1,

：.EC=CG-EG=3-1=2,

•・•在平行四边形A8CO中，AB//CD,ZABF=45Q,CG1AB,

：.ZCFE=ZABF=45°,NFCE=NBGE=90°,

・・・AECF是等腰直角三角形，

£/?=VEC2<F2=^22+22=2^2;

(2)证明：过E作EH_LBE交AB于H,

'：ZABF=45a,NBEH=90°,

...△BEH是等腰直角三角形，

BH=A/BE2+EH2=V2BE,BE=HE,

：.ZBHE=45°,

AZAHE=\SO°-ZBWE=180°-45°=135°,

由(1)知，和AEC/都是等腰直角三角形，

：.ZBEG=45°,CE=CF,

/.ZBEC=180°-ZBEG=180°-45°=135°,

ZAHE=ZCEB,

'：AELAD,

：.ZDAE=90°,

AZBAD^ZDAE+ZEAB=90Q+ZEAB,

由(I)知，ZFCE=90°,

二ZBCD=NFCE+NBCG=9G°+ZBCG,

•.,在平行四边形ABC。中，NBAD=NBCD,

；.90°+ZEAB=9Q°+NBCG,

:.NEAB=NBCG,

即/E4H=NBCE,

在△△E4H和ABCE中，

，ZEAH=ZBCE

<ZEHA=Z