2022届高中数学新人教A版必修第一册 第3章 3

3.4函数的应用（一）

学习任务核心素养

1.了解函数模型（如一次函数、二次函数、

1.通过建立函数模型解决实际问题，培养

分段函数等在社会生活中普遍使用的函数

数学建模素养.

模型）的广泛应用.

2.借助实际问题中的最值问题，提升数学

2.能够利用给定的函数模型或建立确定的

运算素养.

函数模型解决实际问题.（重点、难点）

【合作探究・释疑难］疑难问题解惑•学科素养形成

C类型1一次函数模型的应用

【例1】城镇化是国家现代化的重要指标，据有关资料显示，1978—2013年，我国城

镇常住人口从1.7亿增加到7.3亿.假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，记1978年后

第f（限定f<50）年的城镇常住人口为&）亿.写出用）的解析式，并由此估算出我国2022年的

城镇常住人口数.

［解］因为每一年城镇常住人口的增加量都相等，所以火f）是一次函数，设式。=灯+6,

其中左,〃是常数.

注意到2013年是1978年后的第2013—1978=35年，因此

,0）=1.7,即长=17

1/35）=7.3,'1354+匕=7.3,

解得k=0.16,6=1.7.因此

-f）=0.16f+1.7,fGN且f<50.

又因为2022年是1978年后的第2022-1978=44年，而且<44）=0.16X44+1.7=8.74,

所以由此可估算出我国2022年的城镇常住人口为8.74亿.

厂.......•辰思领悟..........................

一次函数模型的特点和求解方法

（1）一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.

（2）解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解.

［跟进训练］

1.如图所示，这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y（元）与通话

时间/（分钟）之间的函数关系图象.根据图象填空：

①通话2分钟，需要付电话费元；

②通话5分钟，需要付电话费元；

③如果r23,则电话费y(元)与通话时间f(分钟)之间的函数关系式为.

①3.6②6③y=1.2/(/23)[①由图象可知，当忘3时，电话费都是3.6元.

②由图象可知，当f=5时，y=6,需付电话费6元.

③易知当f23时,图象过点(3,3.6),(5,6),待定系数求得y=1.2r(f23).]

类型2二次函数模型的应用

【例2】某农家旅游公司有客房160间，每间房单价为200元时，每天都客满.已知

每间房单价每提高20元，则客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅游公司把每

间房单价提到多少时，每天客房的租金总收入最高？

[解]设每间房单价提高x个20元时，每天客房的租金总收入为)，元.

因为此时每间房单价为200+20X元，而客房出租数将减少10x间，即为160-lOx间，

因此

^=(200+20x)(160-10%)

=200(10+力(16-x)

=200(-x2+6x+160)

=200[-(x-3)2+169]

=-200(x-3)2+33800.

从而可知，当x=3时，y的最大值为33800.

因此每间房单价提到200+20X3=260元时，每天客房的租金总收入最高.

厂.......思领悟•............................

二次函数模型的解析式为g(x)=av2+bx+c(aW0).在函数建模中，它占有重要的地

位.在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性

等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值常常结合二次函

数的图象来解答.

[跟进训练]

2.A,8两城相距100km,在两地之间距A城xkm处。地建一核电站给A,B两城供

电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电

距离的平方和供电量之积成正比，比例系数4=0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10

亿度/月.

(1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域；

(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小.

［解］⑴由题意设A城的月供电费用为v，则力=2X20/.

2

设B城的月供电费用为以，则y2=AX10X(100-x),

.♦.A、8两城月供电总费用'=2*20/+2*10*(100-%)2.

VA=0.25,

),=5N+*100-x)2(l0WxW90).

⑵由y=5x2+^(100—X)2=-yjt2—500%+25000

_15Q100)।50000

则当*=与时，)，最小.

故当核电站建在距4城号km时，才能使供电总费用最小.

n类型3分段函数模型的应用

【例3】(对接教材P93例题)为了鼓励大家节约用水，自2013年以后，某市实行了阶

梯水价制度，其中每户的综合用水单价与户年用水量的关系如下表所示.

分档户年用水量/m3综合用水单价/(元・m-3)

第一阶梯0—220（含）3.45

第二阶梯220—300（含）4.83

第三阶梯300以上5.83

记户年用水量为xnr，时应缴纳的水费为式x)元.

(1)写出兀0的解析式；

(2)假设居住在该市的张明一家某一年共用水260n?,则张明一家该年应缴纳水费多少

元？

尝试与发现

由每一阶梯综合用水单价不同，思考用哪类函数刻画户年用水量x与应缴纳的水费7U)

的关系.

［解］(1)不难看出，兀0是一个分段函数，而且:

当0<xW220时，有y(x)=3.45x;

当220aW300时，有

危)=220X3.45+(x-220)X4.83

=4.83L303.6:

当心>300时，有

危)=220X3.45+(300—220)X4.83+。-300)X5.83

=5.83x—603.6.

3A5xf04W220,

因此/(x)=<4.83x—303.6,220<v^300,

.5.83%--603.6,x>300.

(2)因为220<260W300,所以

7(260)=4.83X260-303.6=952.2,

因此张明一家该年应缴纳水费952.2元.

「......•成思领悟.........................

分段函数模型的应用

(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分

段函数是刻画现实问题的重要模型.

(2)分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，

将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

［跟进训练］

3.已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到8地，在B

地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.

(1)把汽车离开4地的距离x(千米)表示为时间f(小时)的函数；

(2)求汽车行驶5小时与A地的距离.

［解］⑴汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x=60f:当2.5<fW3.5

时，x=150;汽车以50千米/时的速度返回4地需3小时，这时x=l50—50(f-3.5)=-50f

+325.则所求函数的解析式为

'60f,00W2.5,

x=\150,2.5<忘3.5,

.-50/+325,3.54W6.5.

(2)当t=5时，x=-50X5+325=75,

即汽车行驶5小时离A地75千米.

［当堂达标•夯基础］课堂知识检测•小结问题点评

1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间r变化的图象如图所示，那么图象所

对应的函数模型是（）

A.一次函数模型B.二次函数模型

C.分段函数模型D.无法确定

C［由s与f的图象，可知，分4段，则函数模型为分段函数模型.J

2.一定范围内，某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1000

吨，则每吨800元，购买2000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨

（）

A.820元B.840元

C.860元D.880元

C［设y=fcv+8,则1000=800%+6且2000=700k+4解得A=-10,b=9000,

则y=-10x+9000.当y=400时，即400=-10x+9000,得x=860（元）.］

3.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润（单位：元）分别为y=—5N+900x—16000,

J2=300X-2000,其中x为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为（）

A.110007CB.22000元

C.33000元D.40000元

C［设两个店分别销售出x与110-X辆电动车，则两店月利涧L=一5炉+900X一16000

+300（110-x）-2000=-5x2+600.r+15000=-5（x-60）2+33000,所以当x=60时，两店

的月利润取得最大值，为33000元.］

4.某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2

小时，则汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间f（单位：小时）的函数，该函数的解析式

是.

80f,0WfW2,

［答案］y=

160,2＜忘4

5.某商店进货单价为4