椭圆的标准方程

TOC\o"13"\h\z\u题型1椭圆定义辨析 3题型2求椭圆方程 8◆类型1定义法 9◆类型2标准方程法 11◆类型3一般方程法 12◆类型4同焦点方程 13题型3椭圆定义的应用 14题型4焦点三角形 21◆类型1周长 21◆类型2面积 23◆类型3角度 29◆类型4乘积与比值问题 32◆类型5其他问题 37◆类型6内切圆相关问题 38题型5和差最值问题 42题型6轨迹方程问题 49◆类型1定义法 50◆类型2方程法法 53◆类型3相关点法 55知识点一．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．知识点二.椭圆标准方程的推导：1.怎样建立适当的直角坐标系？以经过点的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1.2.椭圆可以看作是哪些点的集合？用坐标如何表示？设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，图1又设M与的距离的和等于常数.图1由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}因为，所以3.遇到根式怎么办？两个根式在同一侧能不能直接平方？即两边平方得整理得再平方并整理得两边同除以得考虑,应有，故设，就有知识点三.椭圆的标准方程对比焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系a2＝b2＋c2题型1椭圆定义辨析【方法总结】椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．【例题11】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）下列说法中正确的是（）A．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段B．已知F1（﹣4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）两点的距离之和等于点M（5，3）到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1（﹣4，0），F2（4，0）距离相等的点的轨迹是椭圆【答案】AC【分析】结合椭圆的定义，对选项逐一判断【详解】对于A，∵|F1F2|＝8，∴平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，故A正确，对于B，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，故B错误，对于C，点M（5，3）到F1，F2的距离之和为(5+4)2对于D，轨迹为线段F1故选：AC【变式11】1.（2023·全国·高二专题练习）下列命题是真命题的是.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(-1,0),F2(1,0)，则满足|PF②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1③到定点F1【答案】②【分析】根据椭圆的定义，以及垂直平分线的性质，逐项判定，即可求解.【详解】①中，因为F1(-1,0),F2(1,0)，可得F②中，因为PF1+③中，由定点F1(-3,0),F2(3,0)故答案为：②【变式11】2.（多选）（2023秋·高二课时练习）（多选）已知在平面直角坐标系中，点A-3,0，B3,0，点P为一动点，且A．当a=2时，点P的轨迹不存在B．当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3C．当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6D．当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆【答案】AC【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可.【详解】对A，2a=4<AB对BC，2a=8>AB，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为AB对D，2a=6=AB故选：AC【变式11】3.（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题正确的个数为（

）（1）已知定点F1,F2满足F1F2（2）已知定点F1,F2满足F1F2（3）当1<k<4时，曲线C：x2（4）曲线方程x2+(y+4)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】由PF1+PF2【详解】对于（1），PF1+PF2对于（2），MF1-M对于（3），当k=52时，曲线C：x2对于（4），曲线方程x2+y+42+x2+y-42=10表示点x,y到点F10,-4、F故选：C.【点睛】本题考查了动点轨迹的求解和圆锥曲线的定义，注意变形，理解圆锥曲线的定义是解题关键，属于中档题.【变式11】4.（2023·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（

）A．xB．(x+1)C．2D．(x+2)【答案】BC【解析】根据椭圆定义，由AB选项中的式子，可判断AB的正误；对于CD选项，将式子化简整理，即可判断出CD的正误.【详解】A选项，x2+(y-2)2+x2+(y+2)2=4表示动点Px,y到定点B选项，(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=4表示动点Px,y到定点F1-1,0和C选项，由2(x-1)2+y2D选项，由(x+2)2+y2=2|2+x|故选：BC.【例题12】（2022秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点A．1 B．3 C．4 D．2【答案】C【分析】利用椭圆的定义有AF1+AF【详解】由椭圆方程知：a=3.根据椭圆的定义有AF因为AF1=2故选：C【变式12】1.（2022秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考阶段练习）若椭圆x225+y24=1上一点P到焦点F1的距离为【答案】7【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的长轴2a=10，再由点P到椭圆一个焦点的距离为3，利用椭圆的定义即可算出点P到另一焦点的距离.【详解】∵椭圆方程为：x∴椭圆的焦点在x轴上，∴a2=25可得a=5，b=2即2a=10又∵P由椭圆的定义：PF∴3+PF解得：P∴点P到另一个焦点F2的距离为故答案为：7.【变式12】2.（2020·全国·高三对口高考）设P是椭圆x225+y216=1F【答案】10【分析】由椭圆上的点到两焦点的距离之和为2a可得结果.【详解】∵x∴a∴a=5∴由椭圆的定义知，PF故答案为：10.【变式12】3.（2023春·上海静安·高二校考期中）设P是椭圆x26+A．6 B．22 C．4 D．【答案】D【分析】首先求出a，再根据椭圆的定义得解.【详解】椭圆x26+y2因为P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点距离之和为2a=26故选：D【变式12】4.（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆x24+y22=1上的一点，FA．12 B．22【答案】C【分析】利用椭圆的定义进行求解.【详解】因为点P为椭圆x24+y22=1故选：C.题型2求椭圆方程【方法总结】求椭圆方程有两种方法：1.用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：①b2＝a2－c2；②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤注意：当椭圆焦点位置不明确时，可设为eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．◆类型1定义法【例题21】（2022秋·江苏连云港·高二统考期中）已知动点M到两个定点A-2,0,B2,0A．x29C．y29【答案】D【分析】根据椭圆定义即可求出答案.【详解】根据椭圆的定义知动点M轨迹为以A，B为焦点的椭圆，2a=6，a=3，c=2，b即动点M轨迹方程为x2故选：D.【变式21】1.（2020·高二课时练习）已知椭圆的焦距是12A．x24+yC．x2+y2【答案】B【分析】根据焦距与椭圆的定义求出求c=1【详解】因为椭圆的焦距是12所以2c=12,2a=2因此b2故椭圆方程为x2+y故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义与简单几何性质，考查椭圆标准方程的求解，属于基础题.【变式21】2.（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）点P到两定点A-2,0，B2,0的距离之和为6，则点P的轨迹方程是【答案】x【分析】由椭圆的定义求解即可【详解】因为PA+由椭圆的定义可知，动点点P的轨迹是以A-2,0，B所以c=2,a=3，b2所以点P的轨迹方程是x2故答案为：x◆类型2标准方程法【例题22】（2022秋·福建厦门·高二福建省厦门第六中学校考期中）以F1-1,0，F2A．x23+y22【答案】B【分析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点1,3【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将1,32代入x2故选：B【变式22】1.（2021·全国·高二期中）椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点P(3A．x24C．x23【答案】D【解析】根据焦点位置先确定椭圆标准方程的形式，然后根据椭圆的定义以及焦点坐标求解出a2【详解】由题意可设椭圆C的标准方程为y2a2所以2a＝|PF1|＋|PF2|=(32所以a＝2，又c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆C的标准方程为y2故选：D.【变式22】2.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x2a2+A．x215C．x230【答案】D【详解】因为PF1+PF2=2a=10，所以a=5故椭圆C的标准方程为x2故选：D.◆类型3一般方程法【例题23】（2022秋·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程.(1)椭圆经过M13,-(2)经过点P13,1（3）两个焦点在坐标轴上，且经过A3,-2和【答案】(1)y(2)y（3）x【分析】(1)可设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，采用待定系数法即可求解；(2)已知椭圆过两点，设其方程为mx（3）设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，代入【详解】（1）根据题意，设椭圆的方程为mx2+ny2＝1，又由椭圆经过M13，则有m9则要求椭圆的方程为5x2+4y2＝1，即其标准方程为y2（2）根据题意，设椭圆的方程为mx2+n又由椭圆经过P(13,13)和Q(0,-1则要求的椭圆方程为5x即其标准方程为y2（3）设所求椭圆方程为mx由A3,-2和B-2即3m+4n=112m+n=1，解得m=故所求椭圆的标准方程为x2◆类型4同焦点方程【例题24】过点P(-3,2)，且与椭圆x2【答案】x2【分析】根据题意，设它的标准方程为x2a2+y2b【详解】由与椭圆x29+因为焦点在x轴上，可设它的标准方程为x2a2因为椭圆过点P(-3,2)，所以有9a2+又因为a2-b由①②解得：a2=15，所求椭圆的标准方程为x2【变式24】过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,2\r(5))＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2\r(5))＝1【解析】方法一(定义法)：椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝eq\r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)＋4）2)＋eq\r(（\r(3)－0）2＋（－\r(5)－4）2)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2，可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.方法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为eq\f(y2,25－k)＋eq\f(x2,9－k)＝1(k<9)，将点(eq\r(3)，－eq\r(5))的坐标代入，可得eq\f(（－\r(5)）2,25－k)＋eq\f(（\r(3)）2,9－k)＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.方法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(5,a2)＋\f(3,b2)＝1，,a2－b2＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝20，,b2＝4.))所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.题型3椭圆定义的应用【方法总结】把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示：1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数的取值范围．2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数的取值范围．【例题31】（2023·全国·高二专题练习）椭圆5x2-kA．-53或-1 B．53或-1 C．【答案】D【分析】先把椭圆5x2-ky2=5化为标准形式，分焦点在【详解】由椭圆5xx2且椭圆5x2-k当椭圆焦点在x轴上时，a2=1，则由a2=b此时方程为：x2当椭圆焦点在y轴上时，a2=-5c2=a此时方程为：x2综上所述，k的值为-1．故选：D．【变式31】1．（2023·全国·高二专题练习）曲线x225+A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有不等的焦距，相同的焦点C．有不等的焦距，不同的焦点 D．有相等的焦距，不同的焦点【答案】D【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解.【详解】由题意可知，椭圆x225+y2所以c=4，焦距为2c=2×4=8，焦点坐标为±4,0，椭圆x29-k+y2所以c=4，焦距为2c=2×4=8，焦点坐标为0,±4，所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点.故选：D.【变式31】2.（2023·全国·高二专题练习）若方程x29-k+A．k∈1,9 B．椭圆C的焦距为C．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5 D．若椭圆C的焦点在x轴上，则【答案】C【分析】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【详解】因方程表示椭圆，则有9-k>0，k-1>0，且9-k≠k-1，即k∈1,5焦点在x轴上时，9-k>k-1>0，解得k∈1,5焦点在x轴上时，则c2=9-k-k-1=10-2k，焦点在故选：C【变式31】3.（2019秋·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题正确的个数为（

）（1）已知定点F1,F2满足F1F2（2）已知定点F1,F2满足F1F2（3）当1<k<4时，曲线C：x2（4）曲线方程x2+(y+4)A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【分析】由PF1+PF2【详解】对于（1），PF1+PF2对于（2），MF1-M对于（3），当k=52时，曲线C：x2对于（4），曲线方程x2+y+42+x2+y-42=10表示点x,y到点F10,-4、F故选：C.【点睛】本题考查了动点轨迹的求解和圆锥曲线的定义，注意变形，理解圆锥曲线的定义是解题关键，属于中档题.【变式31】4.（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知曲线C:mxA．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m=n>0，则C是圆，其半径为nD．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】AD【解析】结合选项进行逐项分析求解，m>n>0时表示椭圆，m=n>0时表示圆，m=0,n>0时表示两条直线.【详解】对于A，若m>n>0，则mx2+ny2=1可化为x21m+对于C，若m=n>0，则mx2+ny2=1可化为对于D，若m=0,n>0，则mx2+ny2=1可化为y2故选：AD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.【例题32】（2021春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考阶段练习）“方程x2m+A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当m>n>0时，x2若x2m+y2故答案为B．点睛：这个题目考查了充分必要条件的判断；其中考查了圆锥曲线的方程的标准形式．在充分必要条件判断时，一般是以画箭头的形式，箭头永远指向必要条件，从充分条件指向必要条件【变式32】1.（2020秋·山西运城·高二临猗县临晋中学校考阶段练习）“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】α=π若x2sinα+y2cosα=1表示的曲线是椭圆，则满足sinα＞0，cosα＞0，且sinα≠cosα，即2kπ＜α＜2kπ+，且α≠2kπ+，k∈Z，必要性成立，则“α是第一象限角”是“关于x，y的方程x2sinα+y2cosα=1所表示的曲线是椭圆”必要不充分条件，故选B【变式32】2.（2022秋·江西南昌·高二校联考期末）下列说法中，正确的有（填序号）.①“-1<m<5”是“方程x2②若p：xx-2<0，则¬p：③“∀x≥1，x2+1≥2”的否定是“∃x<1，④若命题“¬p∧¬q”为假命题，则命题¬p一定是假命题；⑤m=-3是直线l1：mx+m+1y+1=0和直线l【答案】①【分析】根据椭圆方程的结构特征可判断①；注意到分式不等式分母不等于0可判断②；由全称命题的否定可判断③；根据复合命题的真假可判断④；由直线垂直的充要条件可判断⑤.【详解】①中，当m=2时，方程为x23+y23=1，表示圆，若方程x2m+1②中，xx-2<0⇔x(x-2)<0，故¬p为：x(x-2)≥0，而xx-2③中，“∀x≥1，x2+1≥2”的否定应为“∃x≥1，x2④中，若命题“¬p∧¬q”为假命题，有可能¬p为真或¬q为假，故④不正确；⑤中，l1⊥l2⇔2m+m(m+1)=0，解得m=0或m=-3，故m=-3是直线l1：mx+m+1故答案为：①【变式32】3.（2023·全国·高二专题练习）已知曲线C:x24aA．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可【详解】若曲线C是椭圆，则有：4a>03a+2>0解得：a>0，且a≠2故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件故选：C【变式32】4.（2019秋·天津静海·高二校考阶段练习）命题“∃m∈N，曲线x2A．∀m∈N，曲线x2m+y2=1C．∃m∈N*，曲线x2m+y【答案】B【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃m∈N，曲线x2m+y2故选：B.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.题型4焦点三角形【方法总结】求椭圆中焦点三角形面积的方法：①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积④结论：S◆类型1周长【例题41】（2022秋·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）已知椭圆C:x225+y216=1的左､右焦点分别为A．14 B．16 C．18 D．10+2【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程得出椭圆中的a,b,c，利用椭圆的定义及三角形的周长公式即可求解.【详解】由x225+y2所以c2=a由椭圆的定义知，PF所以△PF1F故选：B.【变式41】1.已知椭圆C:x23+y24=1的上焦点为F，直线x+y1=0和xy+1=0与椭圆分别相交于点A，BA．B．8C．4D．【答案】B【解析】椭圆的上焦点F(0,1)，下焦点为F1(0,1)，直线x+y1=0过上焦点，直线xy+1=0过下焦点且两条直线平行，又|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AB|+|CF|+|DF|，因为椭圆是中心对称图形，故|AB|+|CF|+|DF|=|CD|+|CF|+|DF|=|CF|+|CF1|+|DF|+|DF1|=4+4=8，故选B.【变式41】2.（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）已知椭圆y216+x29=1A．0,8 B．0,16 C．8,14 D．8,16【答案】D【分析】利用椭圆定义和椭圆的对称性即可求得△MNF的周长的取值范围.【详解】直线x=m0<m<3椭圆y216+x29由椭圆的对称性可得F1则△MNF的周长为FN+又MN∈0,8，则则△MNF的周长的取值范围是8,16故选：D◆类型2面积【例题42】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的两焦点为F1-1,0，F21,0，P为椭圆上一点，且2F【答案】3【分析】根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在△PF1F【详解】依题意，F1F2=2，椭圆长轴长2a=P所以椭圆的标准方程为x2在△PFF1有4=P解得PF1P所以△PF1F【变式42】1.（2023秋·高二课时练习）如图所示，已知椭圆的方程为x24+y23=1【答案】3【分析】在△PF1F【详解】由已知a=2,b=3，得c=则F1F2在△PF1F所以PF由PF1+所以4-PF1所以△PF1F【变式42】2.（2023·广东梅州·统考三模）已知椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2A．23 B．13 C．4 D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用椭圆定义求出|AF1|【详解】椭圆C:x29+y25因此△AF1F所以△AF1F故选：D【变式42】3.（2023·全国·高二课堂例题）已知椭圆E：x2a2+y2b(1)求△F(2)研究△PF1F【答案】(1)b(2)答案见解析【分析】（1）已知∠F（2）结合图形，利用余弦定理、基本不等式及三角函数的单调性研究∠F【详解】（1）如图所示，F1F2=2c，设PF在△PF2c2=r所以S△PF1（2）方法一：在△F1P由于r1+r所以cosθ=r1当且仅当r1=r2，即P为椭圆与y轴交点时取等号，此时方法二：利用（1）中结论探讨，因为θ为△PF1F2的内角，所以如图，令点P按顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边从而tanθ2逐渐变大，由θ2由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，θ也越大，当点P与点B重合时，∠F【变式42】4.(多选)（2023秋·高二课时练习）F1，F2是椭圆x225+A．9 B．36C．46 D．【答案】AB【分析】对△AF【详解】由x225+y29=1得c=当AFA①平方减去②得AF∴S△A当AF1⊥F1令x=-4，则-4225+则AFS△A故选：AB.【变式42】5.（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C:x26+y23=1的左、右焦点分别为【答案】2【分析】设PF1=m，PF2=n，利用三角形面积公式和余弦定理得S△【详解】由题知F1F2=23,a=6由余弦定理得cos∠F1所以m+n2=12+3mn，又所以mn=4，所以S△所以12F1代入x26+故答案为：2.【变式42】6.（2023秋·甘肃天水·高二校考期末）（多选）设椭圆C:x225+yA．PB．P到F1C．△PFD．P到F1【答案】AD【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=3，则c=a对A：根据椭圆的定义可得PF对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到F1最小值为a-c=1，B错误；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，△PF最大值为12对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到F1最小值为a+c=9，D正确.故选：AD.【变式42】7.（2023秋·江西吉安·高二江西省万安中学校考期末）椭圆x2m2+1+y2m2=1A．1 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】首先根据椭圆的标准方程求出c=1，然后再根据椭圆的定义及等腰直角三角形的几何性质求出a的值，进而求出参数m.【详解】在椭圆x2m2+1+y2m2如图，易知AF1=AF即AF1=22故选：A◆类型3角度【例题43】（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））如图，己知F1、F2是椭圆C:x2【答案】14##【分析】延长MF1与椭圆交于点L，由椭圆对称性有F1L=F2N，设【详解】【解析】延长MF1与椭圆交于点L，又F1M//F2N，∴根据对称性可知，F1L=F2N，设F2N=F1L=t，则【变式43】1.（2022秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）椭圆C:x2100+y275=1的焦点为F1、FA．60∘ B．90∘ C．120【答案】C【分析】利用椭圆的定义结合已知条件可求得△F【详解】在椭圆C中，a=10，b=53，则c=由已知可得PF1-PF2=8所以，PF1>F1由余弦定理可得cos∠P∵0∘<∠P故选：C.【变式43】2.（2022·全国·高三专题练习）若P是椭圆x24+y23=1【答案】π3##【分析】先根据椭圆的方程得到a,【详解】【解析】根据椭圆的方程可知：x24+y23=1，方法1：由椭圆的对称性可知，∠F1PF2的最大时，P在短轴端点，此时F1P=方法2：在△F1P所以令F1P=x，则PF2=4-x，所以4=x2+4-x2-2x【变式43】3.（2023·全国·高二专题练习）已知F1,F2分别是椭圆C:x29+y【答案】12/【分析】由椭圆方程可得a,b,c的值，利用勾股定理和椭圆定义可构造方程求得PF1,【详解】由椭圆方程得：a=3，b=2，∴c=a2-设PF1=x∵PF1⊥PF2解得：x=2或x=4；∵P为椭圆C在第一象限内的点，∴PF1>PF2∴tan故答案为：12【变式43】4.（多选）（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）若P是椭圆x2k+4+y2k=1上一点，FA．2 B．3 C．4 D．5【答案】CD【分析】根据椭圆的几何性质可判断P为椭圆的短轴端点时，此时∠F【详解】由椭圆的性质可得当点P为椭圆的短轴端点时，此时∠F若∠F1PF2则cos12∠又焦点在x轴上k+4>k，解得k≥4，所以实数k的值可以是4，5，故选：CD◆类型4乘积与比值问题【例题44】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆x216+y24=1的左，右两焦点为FA．8 B．12 C．16 D．64【答案】A【分析】根据题干数据先分析出△PF【详解】

由题意得，a=4,b=2,c=a2-即O为△PF1F2的外心，以F1记PF1=x,于是PF故选：A【变式44】1.（2022秋·江西南昌·高二南昌市八一中学校考阶段练习）已知点F1,F2为椭圆A．[3,4] B．2,3 C．1,4 D．1,7【答案】A【分析】利用三角换元的方法，结合三角函数的值域求得正确答案.【详解】椭圆C:x24设P2P=cos所以PF由于0≤cos2所以PF1⋅故选：A【变式44】2.（2023·全国·高三专题练习）已知F1，F2为椭圆x2①MF②MF③∠F1M④若动直线l垂直y轴，交此椭圆于A、B两点，P为l上满足|PA|⋅|PB|=2的点，则点P的轨迹方程为x22+以上结论正确的序号为．【答案】②③④【详解】对于①中，由椭圆x24+y23=1得a=2,c=1，∴MF2的最大值为a+c=3，∴是错误的，对于②中，由MF1+MF2=4，∴MF1⋅MF2≤(MF1+【变式44】3.（2023·全国·高二专题练习）椭圆x212+y23=1A．17 B．4 C．7 D．【答案】C【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出PF2⊥x轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出b2，再根据两点间的距离公式求出【详解】由x212+y2所以c2所以F1(－3,0)，F2(3,0)，∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点O为线段F1所以PF2//MO∴可设P(3,m)，把P(3,m)代入椭圆x212+∴|PF1|＝36+34=∴|PF故选：C【变式44】4．（2023·全国·高三专题练习）设F1,F2是椭圆x29+A．52或2 B．72或32 C．52或【答案】D【分析】由题设可知PF2⊥x轴或PF1【详解】因为F1,F所以a=3,b=2，c=9-4则.F1(-因为PF1>P故当PF2⊥x轴时，P的横坐标为5则|PF2|=故|PF当PF1⊥PF2时，设P由勾股定理可得4c2=解得m=2或m=4（舍去），故|PF综上，|PF1||PF故选：D【变式44】5.（2023·全国·高三专题练习）椭圆C:x2a+y22=1的离心率为22，F1,F2分别为C【答案】3【分析】根据离心率得到椭圆方程，根据椭圆的性质和勾股定理得到AF1=【详解】e=ca=a-2a=2连接BF则AF1+AF则∠BF1F故BF22解得BF1=故答案为：3【变式44】6.（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）已知F1，F2为椭圆C:x216+y212=1的左、右焦点，点P为C上一点，则【答案】121【分析】根据椭圆定义可得PF1+PF2=2a=8【详解】椭圆中a=4,b=23,c=2，a-c≤P因为PF1+PF又2≤PF2≤6，所以又1P当且仅当PF1=PF故答案为：12;◆类型5其他问题【例题45】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x216+y212=1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，∠A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可求|PH|.【详解】如图，根据题意，有F1(-2,0),F由角平分线定理和椭圆的定义，有P因此△PF1F进而可得△PF2Q≌△PHQ【变式45】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1【答案】2【分析】确定PF1+【详解】由椭圆方程可得a=2，b=3，则c=1，P在△PF1F即PF12故答案为：2◆类型6内切圆相关问题【例题46】（2022·北京·高三）如图，过椭圆x24+y2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用等积法可求△F【详解】记△F1AB由于12lr=S，故设△F1AB的内切圆面积为S于是选项A符合题意．故选：A.【变式46】1.（2023·江西·校联考模拟预测）已知椭圆x216+y212=1的左右焦点分别为F1，F2，PA．43 B．3 C．2 D．【答案】D【分析】根据题意，由椭圆的定义，结合平面向量数量积的运算，即可得到结果.【详解】由椭圆x216+y212如图，设△PF1F2的内切圆与三边分别相切与A，G，I分别为△PF则PB=PC，F1所以PB=所以PI==故选：D【变式46】2.（2023·全国·高二专题练习）已知一个离心率为12，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为F1，F2，在椭圆上存在一个点P，使得∠A．36 B．23 C．2【答案】D【分析】在△PF1F2中，利用余弦定理求得【详解】解：因为椭圆的离心率为12所以a=2,c=1，在△PF1F=P解得PF所以S△P12解得r=3故选：D【变式46】3.（2023·广东佛山·校联考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆C:x24+y23=1的左、右焦点，点P在椭圆C上，则△PF【答案】33【分析】第一个空：根据面积关系列式可求出结果；第二个空：分三种情况讨论，根据两点间的距离公式列式可求出结果.【详解】a2=4，b2=3，所以c2=a设P(x0,y0S△PF1S△P所以3r≤3，r≤33，即△PF1若△POF2为等腰三角形，则|PO|=|PF2|当|PO|=|PF2|时，x02+y02当|PO|=|OF2|时，x02+y02当|PF2|=|OF2|时，(x解得x0=2或若x0=2，则y0若x0=6，则综上所述：P(1【点睛】关键点点睛：第一个空，根据三角形面积关系，利用椭圆的定义求解是关键，第二个空，分类讨论等腰三角形的腰是解题关键题型5和差最值问题【方法总结】总体理论依据：1.线段公理——两点之间，线段最短。2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线3.三角形两边之和大于第三边。4.三角形两边之差小于第三边。5.垂直线段最短【例题5】（多选）（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知点F为椭圆C：x24+y2A．PA+PFB．PA+C．PF-PAD．PF-【答案】ABD【分析】根据三点共线、椭圆的定义等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，a=2,b=3,c=1，所以PA+PF的最小值，即是AF的长，当点P在所以PA+PF的最小值为设椭圆的右焦点为F'，所以PA则当点P在P″所以PA+PF的最大值为PF-PA的最小值当P在即PF-PA的最小值为由PF-则当点P在P''''位置时取到最大值，所以PF-PA的最大值为故选:ABD【变式51】1.（2018·北京·高三强基计划）设实数x，y满足x25+A．22 B．C．25【答案】C【分析】利用焦点三角形的性质可求最小值.【详解】点P(x,y)是椭圆C:x25记题中代数式为M，则M=|PA|+|PF|=|PA|+25等号当点E，A，P依次共线时取得．因此所求最小值为25故选：C.【变式51】2.（2023春·广东汕头·高二统考期末）已知椭圆方程x24+y23=1,F是其左焦点，点A1,1是椭圆内一点，点P是椭圆上任意一点，若A．43 B．4 C．8 D．【答案】C【分析】利用椭圆的定义转化为PA-【详解】由题意，设椭圆的右焦点为F'(1,0)，连接则PA+如图：当点P在位置M时，PA-PF当点P在位置N时，PA-PF所以PA-PF'的取值范围是所以|PA|+|PF|的最大值Dmax=5，|PA|+|PF|最小值Dmin所以Dmax故选：C.【变式51】3.（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为FA．7 B．8 C．9 D．11【答案】A【分析】根据椭圆的定义可得AB+AF1=【详解】

设椭圆的半焦距为c，则F22,0，如图，连接AF2，则而AB-AF2≤BF故AB+AF故选：A.【变式51】4.（2022秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考阶段练习）已知A(4,0)､B(2,2)是椭圆x225+y29=1内的点，M【答案】10+210/210+10【分析】由题意可得A为椭圆右焦点，设左焦点为F(-4,0)，B在椭圆内，根据椭圆的定义得|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|，由图可知当M在直线BF与椭圆交点上时，|MA|+|MB|取得最值.【详解】由题意可得A为椭圆右焦点，设左焦点为F(-4,0)，B在椭圆内，则由椭圆定义|MA|+|MF|=2a=10，于是|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|.当M不在直线BF与椭圆交点上时，M､F､B三点构成三角形，于是|MB|-|MF|<|BF|，而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|-|MF|=-|BF|，在第三象限交点时有|MB|-|MF|=|BF|.显然当M在直线BF与椭圆第一象限交点时，|MA|+|MB|有最小值，其最小值为MA+当M在直线BF与椭圆第三象限交点时，|MA|+|MB|有最大值，其最大值为|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF|=10+|BF|=10+(2+4)故答案为：10+210，10-2【变式51】5.（2023秋·四川达州·高三校考开学考试）已知椭圆C：x24+y23=1的左、右焦点分别为F1，【答案】22-5【分析】根据椭圆定义可将MN-MF1转化为|MN|+|MF2|-4【详解】由题意椭圆C：x2N为圆E：x-32故|MF1|+|M故|MN|-|M≥|ME|+|MF当且仅当M,N,E,F而F21,即MN-MF故答案为：2【变式51】6.（2023·全国·高三对口高考）设P是椭圆x29+y25=1上一点，M、N分别是两圆：x+2【答案】4，8【分析】由题可得两个圆心恰好是椭圆的焦点，结合椭圆的定义，椭圆上的点到两个焦点距离之和为定值，再根据圆外一点到圆上点距离的最小值为点到圆心距离减去半径，最大值为点到圆心距离加上半径，即可求解.【详解】椭圆的两个焦点坐标为F1且恰好为两个圆的圆心坐标，两个圆的半径相等都等于1，则由椭圆的定义可得P故椭圆上动点P与焦点连线与圆相交于M、N时，|PM|+|PN|最小，所以|PM|+|PN|min|PM|+|PN|max故答案为：4，8.【变式51】7.（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）已知点P是椭圆x225+y216=1上一动点，Q是圆(x+3)【答案】8【分析】由题意得圆(x+3)2+y2=1的圆心是椭圆的左焦点，MF2【详解】如图,由x225+y2则圆(x+3)2+y2=1由椭圆的定义得PF所以PQ≤又MF所以PQ-=11-P故答案为：8题型6轨迹方程问题【方法总结】解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：（1）定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．（2）方程法：直接根据条件列方程化简即可。（3）相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．◆类型1定义法【例题61】（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知动圆过点A-3,0，并且在圆B：(x-3)A．x216+y27【答案】D【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.【详解】由圆B:x-32+y2设动圆的圆心为C，半径为r，由圆C在圆B的内部与其相切，则R-r=CB，由圆C过点A，则R-CA=CB，即10=CA+CB，所以动点C的轨迹为以A,B为焦点的椭圆，则a=5，c=ABb=a2-故选：D.【变式61】1.（2023·全国·高二专题练习）已知定圆C1:x2+y2【答案】x【分析】由椭圆的定义直接求动点M的轨迹方程即可.【详解】圆C1:因为圆M与圆C1外切，所以M因为圆M与圆C2内切，所以，M两式相加得MC所以M的轨迹是以C1,C【变式61】2.（2023秋·四川资阳·高二统考期末）如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且AB=2A．面积为π的圆 B．面积为2π的圆 C．离心率为14的椭圆 D．离心率为【答案】D【分析】连接BQ，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得AQ+【详解】连接BQ，因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以BQ=因为AQ+所以AQ+所以点Q的轨迹是以A,B为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆，所以椭圆的离心率为e=c故选：D【变