第04讲圆心角（5类题型）

第04讲圆心角（5类题型）课程标准学习目标1.圆心角的概念；2.弧、弦、圆心角的关系；3.圆心角的应用；1.掌握圆心角的概念；2.理解弧、弦、圆心角的关系；3.掌握圆心角的应用；知识点01：圆心角相关概念圆心角的度数等于它所对的弧的度数。与弧、弦、弦心距的关系在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，则对应的其余各组量也相等。理解：(定义）(1)等弧对等圆心角(2)把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．(3)因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．(4)圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．\t"s://baike.baidu/item/%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92/_blank"推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等性质：①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。③圆心角性质：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等。在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弦、圆心角所对的弧和对应弦的弦心距，四对量中只要有一对相等，其他三对就一定相等。

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④一条\t"s://baike.baidu/item/%E5%9C%86%E5%BF%83%E8%A7%92/_blank"弧的度数等于它所对的圆心角的度数。

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⑤半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径【即学即练1】1．（2023·浙江·模拟预测）已知弦AB把圆周分成两部分，则弦AB所对圆心角的度数为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分优弧，劣弧两种情况，求解即可．【详解】解：∵弦AB把圆周分成两部分，∴劣弧的度数为：，即：劣弧所对的圆心角的度数为，优弧的度数为：，即：优弧所对的圆心角的度数为，∴弦AB所对圆心角的度数为或；故选C．【点睛】本题考查弦，弧，角之间的关系．注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况．【即学即练2】2．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）如图，是的直径，弦垂直平分，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，在直角中，即可求得的度数为，所以，即可求解．【详解】解：如图，连接，设与交于点，，，，，的度数为．故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的定义，圆心角、弧、弦的关系，正确解直角三角形，求得的度数是关键．题型01圆心角的概念辨析1．（2023·浙江·九年级假期作业）下图中是圆心角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆心角的概念：圆心角是指在中心为O的圆中,过弧AB两端的半径构成的∠AOB,称为弧AB所对的圆心角进行判断.【详解】解：A、不是圆心角，故不符合题意；B、不是圆心角，故不符合题意；C、是圆心角，故符合题意；D、不是圆心角，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角叫作圆心角是解题的关键．2．（2021·湖南娄底·统考中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是．【答案】【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，圆心角所对的弧长比半径大，，故答案是：．【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断．3．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)【分析】（1）根据条件和，即可求解；（2）根据第（1）问的结论和即可求解．【详解】（1）解：；∵，，，∴（2）解：∵，，，，∴，∴；【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．题型02利用弧、弦、圆心角的关系求解1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C在上，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故选：B．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．2．（2023春·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是．【答案】/34度【分析】先由平角的定义求出的度数，由，根据相等的弧所对的圆心角相等可得，即可求解．【详解】∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，在⊙O中，点C是的中点，D、E分别是半径和的中点，求证：．【答案】见解析【分析】连接，构建全等三角形和，即可求证．【详解】证明：连接，如图所示：∵，且D、E分别是半径和的中点，∴，∵C是的中点，∴，∴，∴在和中，，∴（SAS），∴．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形全等的判定等，掌握数形结合思想是解题关键．题型03利用弧、弦、圆心角的关系求证1．（2023秋·浙江台州·九年级统考期末）如图，是的直径，弦垂直于点，连接，，，，则下列结论不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：∵是的直径，弦垂直于点，∴，，，∴，，而不一定成立，故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．2．（2021秋·北京·九年级校考期中）如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC．则上面结论中正确的有．【答案】①②③④【分析】根据弦、弧、圆心角之间的关系解答即可．【详解】解：∵∠1=∠2，∴，故①正确；∵∠1=∠2，∴，即，∴，，故②③正确；由上证得，故④正确．故答案为：①②③④【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．3．（2022秋·江苏扬州·九年级仪征市第三中学校考阶段练习）如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．【答案】见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【详解】证明：，，

，即，

，

；【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．题型04求圆弧的度数1．（2023春·九年级课时练习）如图中，，以C为圆心，为半径的圆交于点D，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接先求解再利用圆心角与弧之间的关系可得答案．【详解】解：如图，连接∵，∴∵∴∴∴的度数为：故选B．【点睛】本题考查的是直角三角形两锐角互余，圆的基本性质，圆心角与弧之间的关系，掌握“弧的度数等于它所对的圆心角的度数”是解本题的关键．2．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，已知点是圆上一点，以点为圆心，为半径作弧，交圆于点，则的度数为度．【答案】60【分析】先判定△POQ是等边三角形，然后根据圆心角的度数与它所对的弧的度数相等求解即可．【详解】解：∵PQ=PO，PO=OQ，∴PQ=PO=OQ，∴△POQ是等边三角形，∴∠POQ=60°，∴的度数为60度故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆心角的度数与它所对的弧的度数相等是解答本题的关键．3．（2022秋·贵州毕节·七年级校考阶段练习）如图所示，若扇形DOE与扇形AOE的圆心角的度数之比为1：2．求这五个圆心角的度数．【答案】54°，90°，108°，36°，72°【分析】求出每个扇形所占的百分比，再根据所有扇形所对应的圆心角的和为360°，按比例进行计算即可．【详解】解：由题意得，扇形DOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝10%，扇形AOE所占的百分比为：（1﹣30%﹣25%﹣15%）×＝20%，∴∠AOB＝360°×15%＝54°，∠BOC＝360°×25%＝90°，∠COD＝360°×30%＝108°，∠DOE＝360°×10%＝36°，∠AOE＝360°×20%＝72°，答：这五个圆心角的度数依次为54°，90°，108°，36°，72°．【点睛】本题考查求圆心角度数，求出各个扇形所占的百分比是正确解答的关键．题型05圆心角的应用1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）如图是两个大小不同的量角器．小量角器由于长时间使用，某些刻度已经模糊不清．现将两个量角器的零刻度线放在同一直线上，使与C重合（如下图）．如果两个半圆的公共点P在大量角器上对应的度数为，那么在小量角器上对应的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意知，根据三角形外角的性质可得，根据等边对等角可得，进而可得．【详解】由题意知∴∵量角器为半圆∴∴∴故选D．【点睛】本题考查量角器的使用、三角形外角的性质、等腰三角形的性质、圆的性质等知识点，难度较小，解题的关键是读懂题意，得出小量角器上对应的度数为的度数．2．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）为培养学生动手实践能力，学校七年级生物兴趣小组在项目化学习“制作微型生态圈”过程中，设置了一个圆形展厅．如图，在其圆形边缘上的点P处安装了一台监视器，它的监控角度是50°，为了观察到展厅的每个位置，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器台．【答案】4【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是360度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．【详解】解：由题意可知，一台监视器所对应的弧的角度为：50°×2=100°，，∴至少需要4台．故答案为：4．【点睛】本题主要考查圆的圆周角和圆心角的性质，利用监控角度得到该弧所对的角是解题的关键．53（2022秋·北京西城·九年级校考阶段练习）下面是某同学设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程．已知：．求作：的内接正三角形．作法：如图，①作直径；②以为圆心，为半径作弧，与交于C、D两点（点在直线上方）；③连接，，．所以就是所求的三角形．根据该同学设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明：证明：在中，连接，，，____________，为等边三角形．．．同理，______________．（___________________________）（填推理的依据）．是等边三角形．【答案】(1)见解析(2)；；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解；（2）根据作法可得到为等边三角形，从而得到，进而得到，再根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，即可．【详解】（1）解：如图，就是所求的三角形；（2）证明：在中，连接，，，，为等边三角形．．．同理，．（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等）．是等边三角形．故答案为：；；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．A夯实基础1．（2023秋·九年级课时练习）图中是圆心角的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角．【详解】解：A为圆周角，不符合题意；B是圆心角，符合题意；C不是圆心角，不符合题意；D不是圆心角，不符合题意；故选：B【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）中的一段劣弧的度数为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．【详解】解：中的一段劣弧的度数为，，故选：B．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：在同圆或等圆中，如果厂内人个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么对应的其余两对也分别相等．3．（2023秋·九年级课时练习）在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的有（）①的度数的度数；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦长等于所对的弦长．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据弧、弦、角的关系即可判断．【详解】解：①∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴的度数的度数．①正确；②在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等．②正确；③∵的长度等于的长度，且在同圆或等圆中，∴和是等弧．③正确；④在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．④正确；故选：D【点睛】本题考查弧、弦、角的关系．熟记相关结论是解题关键．4．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在中，，则在①；②；③；④中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【详解】解：在⊙O中，，，故①正确；为公共弧，，故④正确；，故②正确；，故③正确；综上分析可知，正确的有4个．故选：D．【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是上的点，如果，，那么．【答案】【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．【详解】解：∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．6．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是的中点，若，则的度数为．【答案】/40度【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出的度数，进而可得的度数．【详解】解：∵C是的中点，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等7．（2023春·九年级课时练习）如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，（1）如果∠AOB＝∠COD，那么，=，∠AOC∠BOD；（2）如果AB＝CD，那么=，；（3）如果=，那么，，．【答案】（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB＝CD，∠AOB＝∠COD，=【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．【详解】（1）∵∠AOB=∠COD，∴AB=CD，，∠AOC=∠BOD；（2）∵AB=CD，∴，∠AOB=∠COD；（3）∵，∴AB=CD，∠AOB=∠COD，．故答案为：（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB=CD，∠AOB=∠COD，=．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是⊙上的四点，且点是的中点，交于点，，，那么．【答案】60°【分析】根据圆周角与圆心角的关系即可求解.【详解】解：连接．∵，∴，∴，∵，，∴，故答案为60°．【点睛】此题主要考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟知圆周角定理的性质.9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：如图，等边三角形的三个顶点都在上求证：．【答案】见解析【分析】连接，，，根据弧、弦、圆心角的关系证明即可．【详解】证明：连接，，．，．【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握定理是解题的关键．10．（2023春·九年级课时练习）如图，在中，、是两条弦，，，垂足分别为、．如果，那么与的大小有什么关系？为什么？如果，那么与的大小有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？与呢？【答案】(1)OE=OF,理由详见解析;(2)详见解析.【分析】（1）求出∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE=OF．（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．【详解】解：，理由是：∵，，，，∴，，，∵，∴，∵在和中，∴，∴．解：弧弧，，，理由是：∵，，∴，∵在和中，∴，∴，由垂径定理得：，，∴，∴弧弧，．【点睛】考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用．B能力提升1．（2023秋·山东聊城·九年级校考开学考试）下列四个命题中，真命题是（

）A．相等的圆心角所对的两条弦相等B．圆既是中心对称图形也是轴对称图形C．平分弦的直径一定垂直于这条弦D．等弧就是长度相等的弧【答案】B【分析】根据弧、弦，圆心角的关系，轴对称图形的定义以及垂径定理进行逐一判断即可．【详解】解：A、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的两条弦相等，原命题是假命题，不符合题意；B、圆既是中心对称图形也是轴对称图形，原命题是真命题，符合题意；C、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，原命题是假命题，不符合题意；D、等弧是同圆或等圆中圆心角相等的弧，原命题是假命题，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了弧、弦，圆心角的关系，轴对称图形的定义以及垂径定理，判断命题真假，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023秋·九年级课时练习）在中，如果，那么弦与弦之间的关系是（）A． B． C． D．无法确定【答案】C【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．【详解】解：取的中点，连接，，则，，，，，．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．3．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据垂径定理的推论得到，，再利用勾股定理求出，进而得到，再证明，则．【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B，C，D均在以点O为圆心的圆O上，连接，及顺次连接O，B，C，D得到四边形，若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接，证明是等边三角形，再利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【详解】解：连接，∵，，∴，∴为等边三角形，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了等比三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角和圆心角的关系，解题的关键是证明是等边三角形．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，是的直径，为半圆上靠近点的三等分点，于点，则的度数为．【答案】/30度【分析】连接，先根据弧和圆心角的关系求得，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质可求解．【详解】解：连接，∵为半圆上靠近点的三等分点，∴，又，∴是等边三角形，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了弧和圆心角的关系、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，求得是解答的关键．6．（2023秋·九年级课时练习）如图，已知为的直径，为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，则圆心角．【答案】60【分析】根据弧和圆心角的关系得到，再根据平角定义求解即可．【详解】解：∵所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，∴，∵为的直径，∴，∴，故答案为：60．【点睛】本题考查弧和圆心角的关系，得到是解答的关键．7．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图，

是的直径，弦，若，则的度数是．【答案】/30度【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数．【详解】连接，，．，，，∴的度数是．故答案为：【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E．若，则度数为．【答案】50【分析】根据求出，根据三角形的外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出．【详解】解：连接．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：50．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆的知识，能求出∠ODE的度数是解此题的关键．9．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．【答案】弧的度数为【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．【详解】解：如图，连接．∵，∴．∵，∴，∴，即弧的度数为．【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．10．（2023春·山东淄博·六年级统考期中）如图，圆心角．(1)判断和的数量关系，并说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)，见解析(2)【分析】（1）根据条件和，即可求解；（2）根据第（1）问的结论和即可求解．【详解】（1）解：；∵，，，∴（2）解：∵，，，，∴，∴；【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键．C综合素养1．（2023春·山东泰安·九年级校考阶段练习）如图，是的直径，，，是的弦，且，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接、，根据弧、弦、圆的关系可得，从而可得和是等边三角形，即，即可求解．【详解】解：连接、，∵，∴，∵，∴和是等边三角形，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．【详解】解：如下图，连接，∵是劣弧的中点，即，∴，∵，∴，∵，∴，即．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．3．（2023秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的个数有（）①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得答案．【详解】解：①当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧，所以平分弦的直径，平分这条弦所对的弧说法错误，故不符合题意；②在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意；③等弧所对的圆心角相等，说法正确，故符合题意；④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意；⑤圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意；⑥由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键．4．（2023秋·九年级课时练习）如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【详解】解：∵在中，∴，∵，∴，故选：B．【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．5．（2023秋·九年级课时练习）如图所示，是半径为3的上的两点．若是的中点，则四边形的周长为．【答案】12【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长．【详解】解：连接，∵C是的中点，∴，∵，∴，∵，∴和都是等边三角形，∴，∴四边形的周长等于为．故答案为：．【点睛】本题考查的是等弧所对的圆心角相等；等边三角形的判定和性质，熟练的运用等弧所对的圆心角相等是解本题的关键．6．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径的三等分点，点D是弧的三等分点，若直径，则的长为．【答案】【分析】过D作于E，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：过D作于E，则，∵点C是直径的三等分点（AC＜CB），直径，∴，∴，∵点D是弧的三等分点（弧＜弧），∴，∴，∴,,∴,∴,故答案为：．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理，能求出和半径的长度是解此题的关键．7．（2023·山东·九年级专题练习）如图，将一个量角器与一把无刻度直