2024年银川市唐徕中学高一数学4月份考试卷附答案解析

2024年银川市唐徕中学高一数学4月份考试卷（考试时间：120分钟，满分：150分）2024.04一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（

）A．1 B． C．2 D．2．已知是两个单位向量，则以下四个结论中正确的是（

）A． B． C． D．3．已知是平面内两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（

）A． B．4 C． D．04．如图，在梯形中，，设，则（

）A． B． C． D．5．一物体在力的作用下，由移动到.已知，则对该物体所做的功为（

）A． B．26 C．8 D．186．若对于向量，是一个单位向量，，与的夹角为，，则（

）A．2 B．1 C．0 D．7．在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若的面积为S，且，，则外接圆的半径为（

）A． B．1 C． D．8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列各组向量中，可以作为基底的有（

）A．， B．，C．， D．，10．已知复数满足（为虚数单位），下列说法正确的有（

）A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．C． D．11．已知，则（

）A． B．若与的夹角为C．若，则的坐标可以是 D．在方向上的投影向量的坐标为12．在中，已知，若为内（含边界）一动点，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．的面积的取值范围是 D．的面积的最大值是三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．若向量，，满足，，，则.14．如图，风景秀美的宝湖公园有一颗高大的银杏树，某研究小组为测量树的高度，在地面上选取了两点，从两点测得树尖的仰角分别为和，且两点间的距离为，则这颗银杏树的高度为.

15．在中，的对边分别为，已知，若有唯一解，则实数的取值范围为.16．如图，在边长为3的等边三角形中，交于点点满足，过点的直线交于点，交于点，则的最大值为.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在平面直角坐标系中，点为原点，.(1)求的坐标以及的值；(2)若，且，求实数的值.18．已知不共线的两个向量，并且.(1)若是的中点，用表示；(2)如果，求夹角.19．设复数，为虚数单位.(1)若，求；(2)若是纯虚数，求.20．如图所示，某海域的东西方向上分别有两个观测塔，它们相距海里，现观测塔发现有一艘轮船在点发出求救信号，经观测得知点位于点北偏东同时观测塔也发现了求救信号，经观测点位于点北偏西，这时位于点南偏西且与相距30海里的点有一救援船，其航行速度为30海里/小时.(1)求点到点的距离；(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点大约需要多少分钟.21．在中，角所对的边分别为，向量，且.(1)求角；(2)若，求的面积；(3)若为锐角三角形，求的取值范围.22．在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点．(1)若，求x－y的值；(2)求的取值范围；(3)若为线段的中点，直线与相交于点M，求·．1．C【分析】根据复数运算规则、复数的定义解决问题.【详解】由，得，所以复数的虚部为2.故选：C.2．D【分析】根据给定条件，结合向量数量积、共线向量举例说明判断AB；利用单位向量的定义判断CD.【详解】对于A，令，显然不共线，A错误；对于B，令，显然，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D3．B【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.【详解】因为三点共线，所以，共线，又是平面内两个不共线向量，所以可设，因为，，所以，所以，所以，故选：B.4．A【分析】根据向量基本定理和线性运算计算即可.【详解】因为，，则，故选：A.5．A【分析】根据数量积公式，即可求解.【详解】由题意可知，，，所以，所以对该物体所做的功为.故选：A6．D【分析】根据数量积的定义及运算律求解即可.【详解】因为是一个单位向量，，与的夹角为，所以，所以.故选：D7．C【分析】根据三角形的面积公式、余弦定理以及正弦定理求得正确答案.【详解】依题意，，即，，，，所以，则为锐角，所以，所以外接圆的半径为.故选：C8．C【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，从而可求，或，进而可得为直角，或，即可判断三角形的形状.【详解】，由正弦定理可得：，可得：，，可得：，，可得：，，或，为直角，或，的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：C9．BC【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.【详解】由于零向量与任意非零向量都共线，所以，共线，不可以作为基底，A错误；由于，所以，不共线，可以作为基底，B正确；由于，所以，不共线，可以作为基底，C正确；由于，所以，共线，不可以作为基底，D错误.故选：BC10．AC【分析】根据复数运算化简复数，根据几何意义判断A，根据共轭复数概念判断B，根据复数模的运算判断C，根据的周期性计算判断D.【详解】因为，所以，所以对应点在第四象限，故A正确；，故B错误；，故C正确；，故D错误.故选：AC11．ABD【分析】根据给定条件，利用垂直关系的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算，结合夹角公式、投影向量的意义逐项判断.【详解】依题意，，解得，，对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，当时，，则与不垂直，C错误；对于D，在方向上的投影向量，D正确.故选：ABD12．BCD【分析】由题意知在以为直径的圆上，A中由余弦定理在中求；B中若，在中由正弦定理可得，即可求；C中结合二倍角正弦函数及正弦函数的性质，利用三角形面积求解即可；D中结合图形知在圆与的交点上时的面积最大，即可求解.【详解】

由题意知：如上图示，在以为直径的圆上，因为，所以，所以，.对于A：时，，，易知，故在中，，则，错误；对于B：，若，则，，所以在中，，即，可得，所以，正确；对于C：因为，又，所以，所以，即的面积的取值范围是，正确；对于D：由图知，当在圆与的交点时，

，即的面积的最大值是，正确.故选：BCD13．【分析】根据已知条件对平方化简计算，然后再开方即可.【详解】因为，，，所以，所以.故答案为：14．【分析】在中，利用余弦定理求出，再利用直角三角形的边角关系求解即得.【详解】在中，，，由正弦定理得，则，在中，，因此，所以这颗银杏树的高度为.故答案为：15．或【分析】转化为有唯一解，再计算即可.【详解】因为，由题意可知，若有唯一解，则有唯一解，所以或，即实数的取值范围为或.故答案为：或.16．【分析】设，在和中，利用正弦定理得，，从而利用两角和差正弦公式化简得，最后利用正弦函数的性质求得最大值.【详解】在边长为3的等边三角形中，，所以为的中心，且，，设，则，在中，由正弦定理得即，所以，同理在中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，即的最大值为.故答案为：.17．(1)，.(2)【分析】（1）先利用向量坐标运算求得坐标，再利用向量模长的坐标运算求解即可.（2）利用向量数量积的坐标运算求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以.（2）由（1）知，又，所以，因为，所以，所以.18．(1)(2)【分析】（1）直接运用计算即可；（2）根据平面向量数量积的运算律对进行平方，展开即可得，再根据计算可得.【详解】（1）因为，E是BC的中点，所以；（2）由得，即又，所以，所以，因为，所以，即与的夹角为.19．(1)(2)【分析】（1）代入的值，再去计算即可.（2）先将进行化简，因为是纯虚数，说明实部为0，且虚部不为0，从而求出，再求出模.【详解】（1）当时，，.（2），因为其为纯虚数，则，解得，则，.20．(1)20海里(2)分钟【分析】（1）利用正弦定理解三角形计算即可；（2）利用余弦定理解三角形计算即可.【详解】（1）由题意知：，，，所以，在中，由正弦定理可得：，即，所以（海里）；（2）在中，，，，由余弦定理可得：，所以海里，所以需要的时间为（分钟）.21．(1)(2)(3)【分析】（1）根据向量平行得到，利用正弦定理化简得到答案；（2）利用余弦定理计算得到，再计算面积即可；（3）设，，代入结合两角和与差的余弦公式即可求解.【详解】（1）因为向量，且，所以，由正弦定理可知：，又，所以，所以，则，又，所以；（2）因为，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面积为；（3）由（1）得，设，因为，则，则，因为，所以，所以.22．(1)(2)(3)【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果；（2）设，