河北省秦皇岛市靖安镇中学高三数学理联考试题含解析

河北省秦皇岛市靖安镇中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为(

)A． B． C． D．3参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．2.已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为A. B.C. D.参考答案：D分析】画出图象及直线，借助图象分析。【详解】如图，当直线位于B点及其上方且位于A点及其下方，或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是。故选D。【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。

3.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，则A∩（?UB）=（）A．{1，2，3，5} B．{2，4} C．{1，3} D．{2，5}参考答案：C【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，4}，∴?UB={1，3，5}，则A∩（?UB）={1，3}．故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．4.已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若与垂直，则||等于(

) A．1 B．2 C． D．4参考答案：C考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：利用向量垂直的充要条件：数量积为0得到﹣1+n2=0，所以n=±1，得到=（1，±1），利用向量模的坐标公式进而求出||的值．解答： 解：因为向量=（1，n），=（﹣1，n），并且与垂直，所以?=0所以﹣1+n2=0，解得n=±1，所以==（1，±1）所以||=故选C．点评：本题考查向量垂直的充要条件以及向量的求模的计算公式，此题属于基础题．5.已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A．1个

B．2个

C．3个

D．无穷个参考答案：C6.4月30日，庆祝东北育才学校建校70周年活动中，分别由东北育才学校校长、教师代表、学生代表、清华大学校长和北京大学校长各1人做主题演讲，其中演讲顺序要求两位大学校长不相邻，则不同的安排方法为(

)A.24种 B.48种 C.72种 D.96种参考答案：C【分析】采用插空法即可求得结果.【详解】采用插空法可得安排方法有：种本题正确选项：【点睛】本题考查排列问题中的相离问题的求解，常用方法为插空法，属于基础题.

7.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（色括两个端点）有n(n>l，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】归纳推理．M1

【答案解析】A

解析：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n﹣3，即an=3n﹣3，令Sn=+++…+=++…+=1+…+﹣=，∴+++…+=．故选C．【思路点拨】根据图象的规律可得出通项公式an，根据数列{}的特点可用列项法求其前n项和的公式，而则+++…+=是前2012项的和，代入前n项和公式即可得到答案．8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：D9.已知定义在（0，）上的函数f（x），f′（x）为其导函数，且f（x）＜f′（x）?tanx恒成立，则（）A．f（）＞f（） B．f（）＜f（） C．f（）＞f（） D．f（1）＜2f（）?sin1参考答案：B【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】把给出的等式变形得到f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0，由此联想构造辅助函数g（x）=，由其导函数的符号得到其在（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），整理后即可得到答案．【解答】解：解：因为x∈（0，），所以sinx＞0，cosx＞0，由f（x）＜f′（x）tanx，得f（x）cosx＜f′（x）sinx，即f′（x）sinx﹣f（x）cosx＞0．令g（x）=，x∈（0，），则g′（x）=＞0．所以函数g（x）=在x∈（0，）上为增函数，则g（）＜g（）＜g（1）＜g（），即，对照选项，A．应为＞，C．应为＜f（），D．应为f（1）2f（）sin1，B正确．故选B．10.某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数，则＝_______________.参考答案：略5.已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是

.参考答案：13.数列{an}通项为an=ncos（+）（n∈N*），Sn为其前n项的和，则S2012=．参考答案：503（1+）略14.（极坐标与参数方程选做题）若点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于______．参考答案：4

【知识点】椭圆的参数方程；抛物线的简单性质．H5H7解析：抛物线为，为到准线的距离，即距离为．故答案为4.【思路点拨】欲求，根据抛物线的定义，即求到准线x=﹣1的距离，从而求得|PF|即可．15.已知球O为正四面体ABCD的内切球，E为棱BD的中点，，则平面ACE截球O所得截面圆的面积为

．参考答案：∵球O为正四面体ABCD的内切球，AB=2，所以正四面体的体积为.设正四面体的内切球半径为r,则故内切球半径r=，平面ACE截球O所得截面经过球心，故平面ACE截球O所得截面圆半径与球半径相等，故S=πr2=，

16.已知函数，若存在实数满足，，且，则_____________。参考答案：13【分析】作出函数的图象，将、、、转化为直线与曲线的四个交点的横坐标，利用进行去绝对值得出的值，由曲线的对称轴得出的值，再将两个数值相加可得出答案。【详解】作出函数的图象如下图所示：由于，则、、、可视为直线与曲线有四个交点时，四个公共点的横坐标。由图象可知，，由于，则，，所以，，即，得，由图象知，曲线的图象关于直线对称，所以，，因此，，故答案为：。【点睛】本题考查函数的零点问题，考查零点的积与和的问题，在求零点积的时候，充分利用绝对值与对数的运算法则，采用去绝对值的办法和对数的运算性质求解；在求零点和的时候，需要考查相应函数的对称性，借助对称性来解题。17.已知两向量与满足=4，=2，且（+2）?（+）=12，则与的夹角为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据，进行数量积的运算，便可由求出的值，进而求出向量的夹角．【解答】解：根据条件：=；∴；又；∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查数量积的运算及计算公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆有且只有一个交点T.(1)求椭圆C的方程和点T的坐标；(2)设O为坐标原点，与OT平行的直线与椭圆C交于不同的两点A，B，直线与直线交于点P，试判断是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由.参考答案：（1）+=1，T（1，）；（2）见解析.【分析】（1）由椭圆的离心率为得到b2=a2，根据直线l：x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T得到△=0，解得a2=4，b2=3，即得椭圆的方程.（2）先计算出|PT|2=t2，|PA|==|﹣x1|，|PB|=|﹣x2|，再计算=为定值．【详解】（1）由椭圆的离心率e===，则b2=a2，则，消去x，整理得：y2﹣16y+16﹣a2=0，①由△=0，解得：a2=4，b2=3，所以椭圆的标准方程为：+=1；所以=，则T（1，），（2）设直线l′的方程为y=x+t，由，解得P的坐标为（1﹣，+），所以|PT|2=t2，设设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得x2+tx+﹣1=0，则x1+x2=﹣t，x1x2=，△=t2﹣4（﹣1）＞0，t2＜12，y1=x1+t，y2=x2+t，|PA|==|﹣x1|，同理|PB|=|﹣x2|，|PA|?|PB|=|（﹣x1）（﹣x2）|=|﹣（x1+x2）+x1x2|，|﹣（﹣t）+|=t2，所以==，所以=为定值．【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查转化思想，属于中档题．19.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若，求实数a的取值范围.参考答案：解：（1）可化为，所以，所以，所以所求不等式的解集为.（2）因为函数在上单调递增，，，.所以所以，所以，所以.即实数的取值范围是20.（本小题满分13分）已知函数．(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．参考答案：已知函数．(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．解：(Ⅰ)

3分∴的最小值为，最小正周期为.

………5分（Ⅱ）∵

，

即∵

，，∴，∴．

……7分∵

共线，∴．由正弦定理

，得

①9分∵，由余弦定理，得，解方程组①②，得．

略21.（本小题满分12分）设命题:实数满足,其中,命题:实数满足.(1)若且为真,求实数的取值范围;(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.参考答案：22.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），以为居民的月用水量不超过的部分按评价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民没人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（Ⅰ）求直方图中的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全是居民中月均用水量不低于3吨的人数