山东省临沂市益民实验中学高三数学理月考试题含解析

山东省临沂市益民实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数则函数的零点个数为A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.设a=（1﹣2x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A．240 B．﹣240 C．﹣60 D．60参考答案：D【考点】二项式系数的性质．【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：a=（1﹣2x）dx=（x﹣x2）|=2﹣22=﹣2，则二项式（x2﹣）6展开式的通项公式C6r2r﹣6（﹣2）rx12﹣3r，令12﹣3r=0，解的r=4，则展开式中常数项为C6424﹣6（﹣2）4=60，故选：D．3.椭圆的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），由PF2∥AB，得﹣，化为b=2c，即可求解．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆方程，可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，∴e=．故选：D4.把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（是自然对数的底数），则(

)A.

B.

C.

D.参考答案：【知识点】函数单调性的性质．B3C

解析：设t=f（x）﹣ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故选：C．【思路点拨】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．6.由下列条件解，其中有两解的是（

）

A.

B.

C.

D.

参考答案：C在C中，，且，所以有两解.选C.7.sin(－1020°)等于（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由正弦函数的周期性化简可得。【详解】由题，故选C。【点睛】本题考查正弦函数的周期，此类大角度问题根据周期化为小角度再求值。8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.函数f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，且sinα=，则f（α）=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=﹣2cos2ωx，再根据周期性求得ω，可得f（x）=﹣2cos2x，再根据sinα=，利用二倍角的余弦公式求得f（α）=﹣2cos2α的值解答： 解：∵f（x）=4sin（ωx﹣）sin（ωx+）=4sin（ωx﹣）cos（﹣ωx+）=4sin（ωx﹣）cos（ωx﹣）=2sin（2ωx﹣）=﹣2cos2ωx，且函数f（x）的最小正周期为=π，求得ω=1，故f（x）=﹣2cos2x．又sinα=，则f（α）=﹣2cos2α=﹣2（1﹣2sin2α）=4sin2α﹣2=﹣，故选：B．点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，属于中档题．10.设R，向量且，则(

)A.

B.

C.

D.10参考答案：C;.则,所以.故C正确.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且，则的最小值

参考答案：【知识点】基本不等式.L4

【答案解析】解析：由基本不等式可知：，故答案为.【思路点拨】直接利用基本不等式即可.12.已知函数的图象经过点A，则不等式的解集为

参考答案：13.若，（表示虚数单位），且为纯虚数，则实数

.参考答案：略14.(极坐标与参数方程)已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是(为参数).设直线与轴的交点是是曲线上一动点，则的最大值为_____________.参考答案：15.若实数x、y满足不等式组，则x+y的最大值为_____________．参考答案：9略16.已知圆C：x2+y2-6x-4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为

.参考答案：

17.已知实数满足约束条件则的最大值为

．参考答案：作出不等式表示的平面区域（如图示：阴影部分）：其中，即表示可行域上的动点与定点连线的斜率，最大值为∴的最大值为故答案为：点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

如图，已知菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60o，AC∩BD＝O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝3，得到三棱锥B-ACD．（Ⅰ）若点M是棱BC的中点，求证：OM//平面ABD；（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值；（Ⅲ）设点N是线段BD上一个动点，试确定点N的位置，使得CN＝，并证明你的结论．参考答案：（Ⅰ）因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．

又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM//AB．………1分

因为平面ABD，平面ABD，所以OM//平面ABD．

……………3分

（Ⅱ）由题意，OB＝OD＝3．因为，所以∠BOD＝90o，OB⊥OD．……4分又因为菱形ABCD，所以OB⊥AC，OD⊥AC．建立空间直角坐标系O—xyz，如图所示．A(，0，0)，D(0，3，0)，B(0，0，3)所以，．…………6分设平面ABD的法向量为，则有，即令，则，，所以．………7分因为AC⊥OB，AC⊥OD，所以AC⊥平面BOD．平面BOD的法向量与AC平行．所以平面BOD的法向量为．

……8分，因为二面角A-BD-O是锐角，所以二面角A-BD-O的余弦值为．

……9分（Ⅲ）因为N是线段BD上一个动点，设，

则，所以，…10分

则

由，得，即，……11分

解得或．所以点N的坐标为（0，2，1）或（0，1，2）．…………12分

（也可以答点N是线段BD的三等分点，或）略19.（本小题满分13分）已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程的两根，数列{bn}的前n项的和为Sn，且Sn=

(n∈N*),Cn=·。（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）求证：cn+1≤cn；（3）求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：20.已知数列{an}前n项的和为Sn且,.（1）求证：数列是等差数列；

（2）证明：当时,.参考答案：（1）当时，，，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）可知，，当时，从而21.（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为.点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．（1）求圆的方程及曲线的轨迹方程；（2）若直线和分别交曲线于点、和、，求四边形的周长；（3）已知曲线为椭圆，写出椭圆的对称轴、顶点坐标、范围和焦点坐标．

参考答案：（1）由题意圆的半径，故圆的方程为.

………………2分由得，，即，得（）为曲线的方程.（未写范围不扣分）…4分（2）由解得：或，所以，A（，），C（－，－）同理，可求得B（1,1），D（－1,－1）所以，四边形ABCD的周长为：（3）曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，下面证明：设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，同理曲线关于直线和原点对称.可以求得和直线的交点坐标为和直线的交点坐标为，，，，.在上取点.

曲线为椭圆：其焦点坐标为.22.已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．