2022年湖南省湘潭市鹏山中学高二数学文摸底试卷含解析

2022年湖南省湘潭市鹏山中学高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（

）A．D1O∥平面A1BC1

B．D1O⊥平面AMCC．异面直线BC1与AC所成的角等于60°

D．二面角M－AC－B等于45°参考答案：D2.对任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e参考答案：A【考点】函数恒成立问题；利用导数求参数的范围．【分析】通过参数分离，利用基本不等式放缩可知问题转化为2lna≤在x＞0时恒成立，记g（x）=，二次求导并结合单调性可知当x=4时g（x）取得最小值g（4）=1，进而计算即得结论．【解答】解：设f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6，不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（当且仅当ey﹣4=e﹣（y﹣4），即y=0时，取等号），由不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2ex﹣4，即有2lna≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）ex﹣4，（x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，∵x＞0，ex﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵h（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根为4，∴当x＞4时g（x）递增，当0＜x＜4时g（x）递减，∴当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna?1，lna?，∴0＜a?，（当x=2，y=0时，a取得最大值），故选A．【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键，考查计算能力，属于中档题．3.设，则变形到需增添项数为(

)A．项

B．项

C．2项

D．1项参考答案：B4.已知≥0，≤0，≥0，则的最小值是（

）A.9

B.4

C.3

D.2参考答案：A5.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（d）的立方成正比”，此即V=kd3，与此类似，我们可以得到：（1）正四面体（所有棱长都相等的四面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方体的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面体（所有棱长都相等的八面体）的体积（V）与它的棱长（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1： D．：6：4参考答案：A【考点】F3：类比推理．【分析】求出正四面体、正方体、正八面体的体积，类比推力即可得出．【解答】解：由题意，正四面体的体积V==a3；正方体的体积V=a3；正八面体的体积V=2×=a3，∴m：n：t=1：6：4，故选A．【点评】本题考查了正四面体、正方体、正八面体的体积计算公式、类比推力，属于中档题．6.复数的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案： 7.设，是双曲线的左右焦点，为左顶点，点为双曲线右支上一点，，，，为坐标原点，则（

）A． B． C．15 D．参考答案：D由题得，，，所以双曲线的方程为，所以点的坐标为或，所以．故答案为D．8.正三棱锥中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=，点M是AB的中点，一只蚂蚁沿锥体侧面由点M运动到点C，最短路线长是（

） A. B. C. D.参考答案：D9.已知函数y=x+1+lnx在点A（1，2）处的切线l，若l与二次函数y=ax2+（a+2）x+1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12 B．8 C．0 D．4参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+1+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+1+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2，即y=2x．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣4a=0，解得a=4．故选：D．10.函数的递增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将“函数y=2x+5的图像是一条直线”用三段论表示为：大前提：

小前提：

结论：

参考答案：大前提：一次函数的图像是直线小前提：函数y=2x+5是一次函数

结论：函数y=2x+5的图像是一条直线略12.圆与圆的位置关系是_____________.

参考答案：相交略13.已知且，则实数的值等于_________参考答案：略14.参考答案：略15.如图，在棱长为1的正方体中，，截面，截面，则截面和截面面积之和

参考答案：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD′=PF

∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD′，

∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四边形，∴PQ∥AB，

∵在正方体中，AD′⊥A′D，AD′⊥AB，

∴PH⊥PF，PH⊥PQ，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，PF＝AP，PH＝PA′，∴截面PQEF和截面PQGH面积之和是(故答案为

16.若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线上，则这个三角形的面积为

。参考答案：略17.中，角的对边分别为，若，则锐角的大小为_____________参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；（2）求函数f（x）的单调区间．参考答案：【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）首先求出函数的定义域，把a=1代入函数解析式后，求出函数的导函数，由导函数等于0求出函数的极值点，结合定义域可得函数在定义域内取得最值的情况，从而求出函数的最值．（2）把原函数求导后，对参数a进行分类，根据a的不同取值得到导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数的单调区间．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）当a=1时，f（x）=x2﹣x﹣ln（x﹣1），，当x∈时，f′（x）＜0，所以f（x）在为减函数．当x∈时，f′（x）＞0，所以f（x）在为增函数，则当x=时，f（x）有极小值，也就是最小值．所以函数f（x）的最小值为=．（2），若a≤0时，则，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增区间为（1，+∞）．若a＞0，则，故当，f′（x）=≤0，当时，f（x）=≥0，所以a＞0时f（x）的减区间为，f（x）的增区间为．19.（本小题满分16分）已知函数

(为实常数)．

（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；（2）当时，讨论方程根的个数．（3）若，且对任意的，都有，求实数a的取值范围．参考答案：解：（1），当时，．当时，，又，故，当时，取等号

-------4分（2）易知，故，方程根的个数等价于时，方程根的个数。设=，当时，，函数递减，当时，，函数递增。又，，作出与直线的图像，由图像知：当时，即时，方程有2个相异的根；当

或时，方程有1个根；当时，方程有0个根；

-------10分

（3）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不妨设，则等价于即，故原题等价于函数在时是减函数，恒成立，即在时恒成立。在时是减函数

-------16分（其他解法酌情给分）略20.(本小题共12分)如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，(Ⅰ)设直线的斜率分别为，求证：为定（Ⅱ）求线段的长的最小值；（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或（Ⅰ），令，则由题设可知，∴直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，所以，（），从而有.（Ⅱ）由题设可以得到直线的方程为，直线的方程为，由，

由，直线与直线的交点，直线与直线的交点.

又，等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.（Ⅲ）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有，又，所以以为直径的圆的方程为，令解得，以为直径的圆是否经过定点和.21.无论为任何实数，直线与双曲线恒有公共点。

（1）求双曲线的离心率的取值范围；

（2）若直线经过双曲线的右焦点与双曲线交于两点，并且满足,求双曲线的方程。参考答案：

22.（本小题满分12分）已知一条曲线在轴右侧，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是1．（1）求曲线的方程；（2）（文科做）已知点是曲线上一个动点，点是直线上一个动点，求的最小值．（理科做）是否存在正数，对于过点且与曲