2020-2021学年郑州市高二年级上册期末数学试卷(文科)(含解析)

2020-2021学年郑州市高二上学期期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.在等差数列5｝中，设％为其前n项和，已知肾=9,则兴等于（）

a3335

A—R.12.（-）-D三

■15■121125,7

2.已知向量五，石满足|方—b|=l，且b=（3,4）,贝II五|的取值范围是（）

A.[4,5]B.[5,6]C.[3,6]D.[4,6]

3.给出如下四个命题：其中不正确的命题的个数是（）

①若"p且q”为假命题，则p、q均为假命题；

②命题“若a>b,则2a>2b-r的否命题为“若a<b,则2a<2b-1"；

③X2+1>2"的否定是“亚<1,x2+l<2"；

④任意“xe[1,2],x2-a<0,'为真命题的一个充分不必要条件是a>4.

A.4B.3C.2D.1

4.已知点4（2,4）在抛物线y2=2px（p>0）上，直线2交抛物线于点B、C,且直线4B与2C都是圆N：

刀2+y2—4x+3=0的切线，则直线/的方程为（）

A.x+y+1=0B.x+2y+1=0

C.2x+y+1=0D.15%+15y+22=0

5.以下四个命题中正确的个数是（）

①命题“若/=1,则x=T'的否命题为“若/=1,则xW1”

②函数/（X）=工在其定义域上为减函数

X

③存在正实数a,占，使得lg（a+6）=lga+lg8

④在A工月b中，A<月是sinA<sin月的充分不必要条件

A.0B.1C.2D.3

6.曲线那=1微宾••:-小匕的点到直线鹭货-第普尚=娜的最短距离是（）

A.旨B.京后C.品厩D.0

7.已知AZBC的两边长分别为1和3,它们的夹角的余弦值为3则AABC的外接圆半径为（）

A.：OB.2C.3D.6

2

8.实系数一元二次方程/+ax+26=0的一个根在（0,1）上，另一个根在（1,2）上，则三的取值范

a-1

围是（）

A.[1,4]B.（1,4）C.[i,l]D.（；,1）

9.数列金」是公差不为零的等差数列，并且峋，密闪1s是等比数列题』的相邻三项，若版=公，

则应等于（）

A.除&…B.窝c.D.除卷尸

工任缶售

22

10.若椭圆a+力=19>8>0）的焦距长的一半为。，直线y=》与椭圆的一个交点的横坐标为恰

好为c,则椭圆的离心率是（）

11.已知函数f（%）=妨％一仇》在（1,+8）上为增函数，则k的取值范围是（）

A.（-00,-1）0（1,4-00）B.[l,+oo）

C.（-00,-1]D.（-00,-1]U[1,4-00）

12.已知"工1一与一yi+2=0,x2+2y2-4-2ln2=0,记M=（勺-冷/+81-、2）?，则（）

A.M的最小值为.B.当M最小时，x2=y

C.M的最小值为gD.当M最小时，

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

131

13.已知即=&）",把数列｛〃｝的各项排列成如下的三角形状，记aaa

Jd20304

九）表示第m行的第九个数，则4（10,12）=.加a6配a5a9

14.正数m,九满足2?n+7i=1,则工+冬的最小值为.

mn

15.在非等腰△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos2|+ccos2^=|c,2sin(A-B)+

bsinB=asinA,则44BC的周长为

16.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线C交于A,B两点，且直线，与

圆标一「》+3/2-5「2=0交于。，。两点，若|4B|=3|CD|,则直线(的斜率为.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知命题P：复数Zi=3-33复数Z2=~2^—+(m2-2m-12)i,(m6R),z1+z?是虚数；

命题Q：关于x的方程2/-4(m-l)x+m2+7=0的两根之差的绝对值小于2.若PAQ为真命

题，求实数m的取值范围.

18.在数列｛6｝中，的=1,an=2an_1+(n>2,neW*).

(1)若数列｛九｝满足上=可+W(nCN*),求证：数列｛4｝是等比数列；

oH7

(2)设”=正二+7记%=q・C2+C2・C3+••■+Cn-Cn+1,求使Sn>g的最小正整数n的值.

19.已知函数/(%)=sinx■(cosx+V3sinx).

(1)求函数/(X)的最小正周期和对称轴；

(2)若/(X。)〈遍，求沏的取值范围.

20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物

要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费

展

用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=--------(0<x<10),若不建隔

fe-H-S

热层，每年能源消耗费用为8万元.设/(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求k的值及/(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用/Q)达到最小，并求最小值.

21.已知椭圆E：条+，=19>匕>0)的左焦点与上顶点关于直线3/=-”对称，又点P(B，｝在E

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)若动直线I与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1,O)作直线，的垂线，垂足为Q，试证点Q总在定

圆上.

22.已知函数=/+b工+"+H的图象过点且在点M(-1八-1»处的

切线方程为6x-y+?=0,

(1)求函数/灯的解析式；

(2)求函数的单调区间；

参考答案及解析

1.答案：A

解析：解：/设。2=3«3=33

・•・d=%一=2t,%=Q2-d=-3

C4.4-3-2tc，Cr.542t

・•・S4=4•%H---=8t,S5=5alH---=15t,

.S4__8t__8

・・金―M-G

故选A.

先根据条件设。2=3a3=3t,求出公差d和首项由,进而求出S4和S5,进而求出兴

本题主要考查等差数列中求和公式的运用.解次题得关键是求出公差和首项.

2.答案：D

解析：试题分析：由题意可得|方|=5,再利用绝对值不等式可得1=I方-方I2I初一巧I①，且1=

|五一方|2|南一|五|②.由①求得国W6,由②求得|五|24,综合可得|五|的范围.

•••向量落区满足|五一石|=1，且另=(3,4)，|石|=5.

再利用绝对值不等式可得1=|a-K|>|a|-|b|©,

且1=|五一南之|石|一国②•

由①求得|五|W6,由②求得|五|24,综合可得44|五|W6,

则|引的取值范围为[4,6],

故选：D.

3.答案：B

解析：

本题考查命题真假的判断，否命题及命题的否定，复合命题的真假，考查充要条件，属于中档题.

由复合命题的真假分析知①错误；由否命题定义可知②正确：由全称命题的否定知③错误；由充要

条件分析知④错误.

解：pAq为假命题，p,q中至少有一个假命题，①错误；

命题“若Q>b则2a>2b-T的否命题为“若aWb,则2a<2b-1",②正确;

“Mr21,x2+l>2M的否定是“Ir21,x2+1<2,r,③错误；

2

任意“xG[1,2],x-a<0”为真命题，即a>/在/G[1,4]恒成立，所以a>4,

则任意“xe[1,2],/—aW0”为真命题的一个充要条件是a>4.④错误.

不正确的命题的个数为3,

故选艮

4.答案：D

解析：解：由点/(2,4)在抛物线丫2=2「％@>0)上，得p=4,

.•・抛物线方程为：y2=8x；

圆N：M+y2—4x+3=0可化为(x-2)2+y2=],可知圆N的圆心为点(2,0),半径r=l.

设过点4(2,4)且与圆N相切的直线的方程为y-4=-2),即kx-y+4-2k=0,

112k+4-2kl=1,-fc2=15,得k=

VF+T

不妨设直线4B的方程为y-4=V15(x-2),

2—

二g,c、，得VTKy2-8y+32-i6VTK=0,

y-4=V15(x-2)

oo

设BQ1，%),则以+4=屈，丫1=布-4,

o

同理，设C(X2，V2)，则刈=一息一4,因此%+%=-8,

Xi+%=?+%=%(%+8)=*右一4)(合+4)=—If,

直线，的斜率七=//=聂/=就；=一1,

88

直线，的方程为y—V1=~(x—Xi)r

即y=—x+xx+yx=—x—1|,

••・直线，的方程为15x+15y+22=0,

故选：D.

由点4(2,4)在抛物线、2=2「双2>0)上求得「，可得抛物线方程，化圆的方程为标准方程，求出圆心

坐标与半径，利用圆心到直线的距离等于半径求解k,可得直线方程，与抛物线方程联立，求得B与

C的纵坐标，再求出直线1的斜率，写出直线方程，整体代入得答案.

本题考查圆与抛物线的综合，考查直线与篇文章位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题.

5.答案：B

解析：

本题主要是考查四种命题真假的判定，函数单调性的判定，以及对数的运算，正弦定理的应用；解

答本题的关键熟记命题的否定的写法，函数调性的定义，对数的运算法则，正弦定理；本题的易错

点是不能熟练掌握了8=-的单调性.

X

解：①命题的否定为：“若3/1,则“工"，因此①错误；

②的单调减区间为(-8,0)和(0,+8),不能说在定义域上是减函数，因此②错误；

X

③存在=Ig(2+2)=lg4=21g2=lg2+lg2,因此③正确；

④在△4BC中/<B是sin4<sinB的充要条件，因此④错误.

故选民

6.答案：B

解析：试题分析：

对曲线、=111(2%-1)进行求导，令y'=2,解出这个点，再根据点到直线的距离进行求解；解：•••曲

线y=ln(2x-1),：.yf=--—,分析知直线2%-y+8=0与曲线y=ln(2x-1)相切的点到直线

姗一口

戮

2久—y+8=0的距离最短，y'团-----=2,解得％=1,把％=1代入y=ln(2%—1),・•・y=0,.,•点

&-1

(1,0)到直线2%-y+8=0的距离最短，Id=在要=鼠作故答案为2后，选8.

考点：导数的几何意义

点评：此题主要利用导数研究曲线上某点的切线方程，还考查点到直线的距离，此题是一道基础题；

7.答案：A

解析：解：设另一条边为％,则/=12+32-2X1X3X/

.・.x2—8,

:.x—2A/2.

设cos。=I，贝Us讥。=V1-cos20=-.

33

二再由正弦定理可得2R=就=整=3,

3

•••外接圆的半径R=|，

故选：A.

由条件利用余弦定理求得第三边x,再利用正弦定理求得外接圆的半径R的值.

本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了转化思想，属于基础题.

8.答案：D

解析：

本题给出含有参数a、b的一元二次方程满足的条件，求参数a、b满足的不等式组，并依此求关于a、

b式子的取值范围.着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区

域、直线的斜率公式等知识，属于中档题.

设/(x)=x2+ax+2b,根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f(0)>0、/⑴<0且/(2)>0.

由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E(a,b)为区域内的任意一点，可得三表示点E(a,b)与

点。(1,2)连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出三的取值范围；

a—1

解：设/'(x)=+ax+2b,

••・方程/+ax+2b=0的一个根在区间(0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，

f/(0)>0(b>0

二可得｛/(I)<0，即卜+2b+l<0,

「(2)>0]a+b+2>0

作出满足上述不等式组对应的点(a,b)所在的平面区域，

得到△ABC及其内部，即如图所示的阴影部分(不含边界).

其中做一3,1),B(-2,0),C(-l,0),

设点E(a,b)为区域内的任意一点，

则三表示点E(a,b)与点。(1,2)连线的斜率,

二三的取值范围是(右1),

故选。.

9.答案：B

解析：试题分析：设公差为域“解‘闽磁，又:%网和嗡是等比数列徽j的相邻三项，所以

喈=湎.啼口辆样嬲y=独丑4颂飙升遹颇口痛=现，因此等比数列瓢j公比为

,露=,蜘2=除$'4=警$内

考点：等差数列与等比数列综合

io.答案:c

解析：解：由已知可得：椭圆5+《=19>6>0)焦点在工轴上，椭圆与直线y=x交于(c,c)点，

则W+g=l,即e2+==i,

azbLl-ez

整理得：e4-3e2+l=0,(l<e<l),解得e?=二e=旦，

22

故选：C.

由椭圆与直线y=x交于(c,c)点，代入椭圆的方程，利用椭圆的离心率及取值范围，即可求得椭圆的

离心率.

本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查椭圆a，b与c的关系，考查计算能力，属于中档题.

11.答案：D

解析：解：f(%)=fc2-p

・•・函数f(x)=k2x-仇x在区间(1,+8)单调递增，

/。)>0在区间(1,+8)上恒成立.

k2>

X

而y=：在区间(1,+8)上单调递减，

k2>1.

二人的取值范围是：(一8,-1]U[1,+OO)

故选：D.

求出导函数/'(x),由于函数f(x)=lx一)x在区间(1,+8)单调递增，可得((%)>0在区间(1,+8)

上恒成立.解出即可.

本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于中档题.

12.答案：B

解析：解：设/(x)=lnx-x+2,g(x)=-^x+ln24-2,贝!夕出心)分别为函数/(%)，。⑶

2

上的点，则M=Qi-x2)+(yx-yz)?表示点4与点8距离的平方，

由/'(%)=：-1=?，易知/(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

且％时，/(%)-—8,%r+8时，，/(%)-»-00,f(X)max=/(I)=1,

函数g(x)为一条直线，作出函数/(%)与直线工+2y-4-2ln2=0的图象如下，

设与直线为+2y-4-2ln2=0平行且与函数f(乃相切的直线为％+2y+c=0,切点为(Q,b),

则蜉=一号解得。=2,则b=m2,即切点为(2,m2),

切点(2」n2)到直线x+2y-4-2ln2=0的距离为产需㈣=奈，则点4与点B距离的平方的最

小值为g，即M的最小值为,

且满足今野,(-2)=-1,即-%+m2+2F2解得X=9.

故选：B.

设A(xi，yi),BQ：2，y2)分别为函数/"(x)=Inx-x+2,g(x)=-^x+ln2+2上的点，则M表示点4与

点B距离的平方，作出函数/Xx)与g(x)的图象，观察图象可知，当与直线x+2y-4-2加2=0平行

且与函数/'(x)相切的切线的切点即为M取得最小值时的点4过点4作直线x+2y-4-2仇2=0的

垂线，垂足即为点B,由此即可得解.

本题考查函数与导数的综合运用，涉及了导数的几何意义，两点间的距离公式，两直线垂直的关系

等基础知识点，培养了学生的转化思想及数形结合思想，属于中档题.

13.答案：《)93

解析：解：将三角形状中各个数从上到下，从左到右依次展开，排成一列，得到的,。2,。3,a4...

设第m行的第n个数A(m,n)是数列｛斯｝中的第k项，

由于第一行有1个数，第二行有3个数，第三行有5个数，…，第(m-1)行有(2m-3)个数.

其中1,3,5,...(2m-3),成等差数列，首项为1,公差为2.

贝U：k=1+3+5+…+(2m—3)+n=3)*(爪_+n=(优一1)2+n

A(10,12)中，m=10,n=12,

k=l+3+5+i17+12=1^x9+12=92+12=93.

由通项公式册=G)n得：

4(10,12)=©93.

故答案为：(|)93.

本题是数列题，已知数列的通项公式，根据条件给出的几何图形中的规律，求出某个数在数列中的

项数，从而求出该项.

本题考查了归纳推理和数列通项公式的应用，重点是用数列的通项公式求数列的某一项，难点是项

数的研究，要善于发现项数的规律.

14.答案：8

解析：解：•.•正数九满足2/n+几=1,

4mn

>44-2

nm

=8.

当且仅当如=巴，即m=兀=：时，工+2取最小值8.

nm42mn

故答案为：8.

由正数m,n满足2m+n=l,知工+2=(工+2)(2m+n)=4+%+224+2/处」，由此能求

mnmnnm7717n

出三+2的最小值.

mn

本题考查基本不等式的性质和应用，是基础题.解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用.

15.答案：6

解析：根据正弦定理将边化角，得出a,b,c的关系，根据正余弦定理化简2sin(Z-B)+bsinB=

as讥4得出c的值，从而得出结论.本题考查了正余弦定理解三角形，根据正余弦定理进行边角互化

是解决本题的关键，属于中档题.

解：acos2-+ccos2-=-c,

222

sinAcos2-+sinCcos2-=-sinC,

222

NN.A1+COSC,.》1+C0S43.八

即---Fsine---=-sinCf

・•・sinA+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3sinCf

即si兀4+sinB=2sinC,故而Q+b=2c,

v2sin(A-B)+bsinB=asinA,

IsinAcosB—2cosAsinB+bsinB=asinA,

・•・2acosB-2bcosA4-Z?2=a2,

根据余弦定理可得-2b-+b2=a2,

2a•2ac2bc

整理可得：空出=a2—〃，

c

・・・△ABC不是等腰三角形，即水一庐工。,

・•・c=2,

・•・a+b+c=6.

故答案为：6.

16.答案：土当

解析：

设/斜率为匕根据弦长公式计算|4B|,根据|CD|=2P和网=3|CD|列方程计算k.

本题考查抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数

的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

解：圆/-px+y2-12=o的圆心为Fg,o),半径为p,...|CD|=2p,

设直线，的斜率为k,则直线，的方程为：y=kx-^,

代入y2=2px可得：k2x2—(k2p+2p)x+=0,

设4(如％)，8(%2，、2)，则+%2=P+居，

•••\AB\=X]+尤2+P=型泮2，

.•・^^=6p,解得k=±g.

比“2

故答案为：土日.

17.答案：解：由题意知，Zi+与=m.4mTo+(/_2_12)i+3_3i=m_771_4+(/―27n—

1/m+2'7n7m+2'

15)i,

若命题P为真，Z1+Z2是虚数，则有m?-27n-15Ho且m。一2

・•.m的取值范围为m。5且mH-3且租W-2(mER)；

若命题Q为真,则有片=叱-y：89：7)j0

2

(%—X2I<2=>(%1+%2)-4%1%2<4

而％1+不=2(m—=m24-7,

..有[小：一?血一；2[=2—或5sm<2+g,

由复合命题真值表得，若PAQ为真命题，则命题p、q都是真命题，

••・实数m的取值范围为(2-U(5,2+V1T).

解析：根据复数的代数形式求得命题p为真时皿的范围；利用韦达定理求得命题q为真时m的范围，

再根据复合命题真值表得若PAQ为真命题，则命题p、q都是真命题，由此可求出答案.

本题借助考查复合命题的真假判定，考查了复数的代数形式及一元二次方程根与系数的关系，解题

的关键是求得简单命题为真时的条件.

18.答案：(1)证明：•••bn=an+W(neN*),

•••斯=b-W，代入与=2an-i+^=2ax+；-W(n>2,nGN*).

11

'即+M=2(2厮-1+在

化为bn=2bn_1.

瓦=%+：=I，

•••{%}是以|为首项，2为公比的等比数列.

(2)由(1)得心=|乂2九t,

Qn=-xi——,

n2n+1

・_2n_4

n,

•,0(n+l)an+l3(n+l)

441611、

C-n*C-na.-]=-----------X-----------=—(z-------------------),

n71+13(n+1)3(n+2)9、n+ln+27

16111111

.•.Sn=C1-C2+C2-C3+-+Cn-C„+1=y[(---)+(---)+-+(---)]

由Sn>g,化为看,套>+'解得"14，

.・・满足条件的最小正整数n等于15.

11nJ-2

解析：(1)由bn=an+痣7(>eN*),变形。„=%-而;，代入即=2即-1+而5S22,neN*).可

得既=2%-i.即可证明；

(2)由(1)得%=|*251,可得即=|*2'-1—京，cn=^,可得0•0+1="(+一+)，利

用“裂项求和”可得Sn,进而解出即可.

本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、不等式的性质，考查了

推理能力与计算能力，属于中档题.

19.答案：解：(1)因为/Q)=sinxcosx+V^siMx=］讥2%+4(1—cos2x)

1V3V3nV3

=-sin2x———cos2x+—=sin(2x——)+—

所以f(x)的最小正周期7=y=7T.

由2%冶=)兀+与)€2得”=,+34€2,

故/(X)的对称轴为X=§+y,fcez.

(2)因为/(沏)W百,所以sin(2x()-：+8,即sin(2&-5)W当，

所以一多兀+2kn<2XQ——<—+2/CTT,kE.Z,

即——+k,7iWXQW与+ku,kGZ,

故&的取值范围为［-］+々兀(+々扪，kEZ.

解析：(1)结合二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x*)+g,再根据正弦函数

的周期性和对称性即可得解；

由题知，结合正弦函数的图象解不等式即可.

(2)sin(2x0-5<^,

本题考查三角函数与三角恒等变换的综合应用，涉及正弦函数的图象与性质、二倍角公式和辅助角

公式，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

20.答案：(1)/(%)=20x-------+6%=—二+6x(0Wx〈10)(2)5c7n厚，70万元

觊:*争乐开裳

解析：(1)设隔热层厚度xcm,由题意，建筑物每年的能源消耗费用为C(x)=_"(0<x<10),

再由C(0)=8,得k=40,

4®

•••C(x)=-------(0<%<10),又：隔热层建造费用为6x(万兀),

笔赛.卡任

CC彻,»

•1•f(x)=20x---------F6x=------+6x(0<%<10).

警界相公

(2)/(%)=+6x=---------+(6x4-10)-10,

•••0<x<10,6%+10>0,/(X)>2照锻沿考。既-10=70.

当且仅当lO必ii上=6%+10即x=5时，取“=”号.

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故隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元.

21.答案：(1)解：由题意，左焦点(-c,0)与上顶点(0,b)关于直线旷=-%对称，可知b=c,

将代入椭圆方程，可得总+a=1，

又&2=炉+°2,解得a2=2,b2=1,

故椭圆的标准方程为［+

Ey2=1;

(2)证明：①当切线/的斜率存在且不为0时，设，的方程为y=kx+m,

y=kx+m

{二+丫2=i，可得(21+l)x2+4kMx+2m2-2=0,

因为直线2和椭圆E有且仅有一个交点，即方程有两个相等的根，

则4=16k2m2—4(2/+l)(2m2—2)=0,化简并整理可得m?=2/c2+1,

因为直线MQ与2垂直