2020-2021学年长春市二道区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年长春市二道区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1.下列是一元二次方程的是（）

A.-5x+2=lB.2x2-y+l=0C.x2+2x=0D.产一妥=°

2.下列计算正确的是（）

A.V16=+4B.V6+V3=2C.J（—3）2=-3D.（—V2）2=2

3.在探究“抛物线y=/—2x—3与x轴交于4、B两点（4在B的左边），过点4且与％轴成45。角的

直线，，与抛物线交于点c”的图形性质时，小慧在得出“在第一象限存在一点G，第四象限存

在一点满足条件”这一正确结论后，还由此得出下列结论：①△4C1C2的外接圆圆心在C1C2的

中点处；②G的横坐标为4,C2的纵坐标为—3；③过点G、作X轴的垂线，垂足分别为。1、D2,

则△G/BsAC2D2B，则其中正确的为（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

4.下列事件是随机事件的是（）

A.任意画一个平行四边形，它是中心对称图形

B.方程/一2x-1=。必有实数根

C.掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14

D.李老师购买了1张彩票，正好中奖

5.为测量如图所示上山坡道的倾斜度，小明测得图中所示的数据（单位：k4

米），则该坡道倾斜角a的正切值是（）

-!

4

B

-

3

C

3

-

5

D

4

-

5

6.两个相似三角形的面积比是9：16,则这两个三角形的相似比是（）

A.9：16B.3：4C.9：4D.3：16

7.如图，在矩形4BCD中，AB=6,BC=8,过对角线交点。作EF_LAC交A岂D

AD于点E,交BC于点凡则0E的长是（）

A.1

C.2

DT

8.二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）

按某种规律组成的一个大正方形，现有25x25格式的正方形如图1,角上是三个7x7的4型大

黑白相间正方形，中间右下一个5x5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正

方形白色块数y与黑色块数支正好满足如图2所示的函数图象，则该25x25格式的二维码共有多

少块黑色的C型小正方形（）

A.153B.218C.100D.216

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9,若式子与有意义，则x的取值范围是.

10.己知m为一元二次方程-8x+1=0的解，则巾2-6m+16

m2+l

11.如图，在44BC中，LA=30°,48=45°,AC=2痘,则工.。=

12.在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球

试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有一个.

DC

13.如图，已知零件的外径为25mm,现用一个交叉卡钳（两条尺长4c和8。相等,

0C=0D）量零件的内孔直径4B.若。C：0A=1：2,量得CD=10mm,则

零件的厚度%=mm.

P

14.如图，四边形4BCD是正方形，AP/W是等边三角形，贝此4PB

R

三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）

15.五一期间，小红到美丽的世界地质公园湖光岩参加社会实践活动，在景点P处测得景点B位于南

偏东45。方向；然后沿北偏东60。方向走100米到达景点4此时测得景点B正好位于景点4的正南

方向，求景点4与B之间的距离.（结果精确到0.1米）

四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）

16.计算：|四一2|-（&+1）。+2（：0$45。+（3-2；

17.用公式法和配方法解方程：3x2-6x+1=0

公式法:

配方法:

18.为了了解全校3000名同学对学校设置的体操、篮球，足球、跑步、舞蹈等课外活动目的喜爱情

况，在全校范围内随机抽取了若干名同学，对他们喜爱的项目(每人选一项进行了问卷调查，将

数据进行了统计，并绘制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图(均不完整)，请回答下列问

题

20

15

10

5

0

(1)在这次问卷调查中，一共抽查了名同学

(2)补全条形统计图

(3)估计该校3000名同学中喜爱足球活动的人数

(4)在体操社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加

体操大赛.用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率

19.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间.据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租

出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费

用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

(1)当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出商铺间.

(2)在10万元的基础上，若每间商铺的年租金上涨x万元，该公司的年收益为y万元，写出y与x之间

的关系式.

(3)为了使该公司的年收益不少于275万元，应如何控制每间商铺的年租金？(收益=租金-各种费用)

20.如图，在△ABC中，已知MB=BC=AC=4cm,超_L踞于D,点P、Q分别从B、C两点同

时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为lcm/s,点Q沿CA,4B向终点B运动，速度为2cm/s,

设它们运动的时间为t(s),

(1)求t为何值时，,理1.竣；

(2)当财3：63：骂时，求证：4。平分△PQC的面积;

(3)当多、:育T鬟时，求△PQD面积的最大值.

21.如图1,抛物线y=ax2+c(a*0)与x轴交于点4和点0),与y轴交于点C(0,2),点P(2,t)是

该抛物线上一点.

(1)求此抛物线的解析式及t的值；

(2)若点。是y轴上一点，线段P。绕点。逆时针旋转90。后，点P的对应点P'恰好也落在此抛物线上，

求点。的坐标；

(3)如图2,直线I：y=kx+b交该抛物线于M、N两点，且满足MCJ.NC,设点P到直线，的距离是d,

求d的最大值.

22.如图1,OA=2,OB=4,以4点为顶点、力B为腰在第三象限作等腰Rt△4BC.

(1)求C点的坐标；

(2)如图1,在平面内是否存在一点H,使得以4、C、B、”为顶点的四边形为平行四边形？若存在,

请直接写出“点坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图1点是第四象限内的一点，在y轴上是否存在一点F,使得|FM-FC|的绝对值最大?

若存在，请求出F点坐标；若不存在，请说明理由

23.几何探究

在AHBC中，AB=AC,。是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以4。为一边在4。的右侧作△4DE,

AD=AE,/.DAE=^BAC,连接CE.

(1)如图1,当点。在线段BC上时，求证：BD=CE.

(2)如图2,若点。在线段CB的延长线上，乙BCE=a,484。=夕.则*£之间有怎样的数量关系？写

出你的理由.

(3)如图3,当点。在线段BC上，Z.BAC=90°,BC=4,求工℃£最大值.

24.如图，二次函数丫=。％2+bx+c(a#0)的图象与％轴交于4(3,0),B(-l,0)两点，与y轴相交于

点C(0,-4).

(1)求该二次函数的解析；

(2)若点P、Q同时从4点出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿力B、4C边运动，其中一点到达端点

时，另一点也随之停止运动.

①当点P运动到B点时，在x轴上是否存在点E,使得以4、E、Q为顶点的三角形为等腰三角形？若

存在，请求出E点的坐标；若不存在，请说明理由.

②当P、Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点4恰好落在抛物线上。点处，请直接写出t的值及。点

的坐标.

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：4、含有一个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

8、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故此选项符合题意；

。、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意.

故选：C.

根据一元二次方程的定义逐一判断即可.

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方

面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整

式方程”.

2.答案：D

解析：解：A、V16=4,故原题计算错误；

B、V6-V3=V2,故原题计算错误；

C、7(33)2=3,故原题计算错误；

D、(一企)2=2,故原题计算正确；

故选：D.

根据必=|a|，(VS)2=a(a>0),二次根式的除法法则：居=够(aNO,b>0)进行计算即可.

此题主要考查了二次根式的性质和除法，关键是掌握计算公式.

3.答案：A

解析：解：•.•抛物线丫=/一2%-3与％轴交于4、B两点(A在B的左边)，

•••4(-1,0),

设直线，的解析式为y=x+b,

・•・-1+b=0,

解得：b=l,

・,・直线2的解析式为y=%+1,

(y=x+1解得或忧。

由｛y=X2-2X-3

・・•A(T0),

Ci(4,5),

由忆亡2二解喉MJ：7

AC2=3V2,C1C2=2V17,ACi=5V2,

vACl+ACl=G戏，

・•.△AC1C2的是以CiG为斜边的直角三角形，

4GC2的外接圆圆心在GC2的中点处，故①②正确;

•••需力箸，故③错误.

tSD]DU2

故选：A.

求出点做一1,0),求出直线/的解析式，利用方程组求出C1，C2的坐标，①可判断AACiCz是以C1C2为

斜边的直角三角形；②由求出的点G，Cz的坐标可判断；③根据对应边不成比例可判断结论.

本题考查相似三角形的判定、抛物线与x轴的交点、解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用方

程组求两个函数图象的交点坐标，属于中考常考题型.

4.答案：D

解析：解：任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件；

方程/一2x-1=。必有实数根是必然事件；

掷两次骰子，骰子向上的一面的点数之积为14是不可能事件；

李老师购买了1张彩票，正好中奖是随机事件，

故选：D.

根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，

可能发生也可能不发生的事件.

5.答案：A

解析：试题分析：根据正切的定义，即所对的直角边与邻边的比值，即可求解.

AC=3,BC=4.

贝!Itana=—=

BC4

故选：A.

6.答案：B

解析：试题分析：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以这两个三角形的相似比是3：4.

••,两个相似三角形的面积比为9：16,

•••它们对应的相似比是3：4.

故选8.

7.答案：B

解析：

本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得

出方程是解题的关键.

连接CE,由矩形的性质得出乙40c=90。，CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC,由线段垂直平

分线的性质得出4E=CE,设DE=x,贝!]CE=4E=8-x,在RtACOE中，由勾股定理得出方程，

解方程即可.

解：连接CE,如图所示，

•••四边形4BCD是矩形,

•••Z.ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC,

■■■EFLAC,

AE=CE,

设DE=x,贝UCE=4E=8—x,

在RtACOE中，由勾股定理得：xz+62=(8-x)2,

解得：x=：,

4

7

即DE=~

4

故选B.

8.答案：C

解析：解：设丁=。/+6%+。，

c=153(a—0.1

400a+20b+c=33,得,=-8,

900a+30b+c=31c=153

•••y=O.lx2—8x+153.

,:C型小正方形白色块数与黑色块数之和是：25x25-7x7x3-5x5=453,

:.x+(O.lx2—8%+153)=453,

解得，x1=100,x2=-30(舍去)，

即C型小正方形黑色块数为100,

故选：C.

根据函数图象中的数据可以求得二次函数的解析式，从而可以得到X与y的关系，再根据题意即可得

到关于久的方程，从而可以求得久的值，本题得以解决.

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

9.答案：x<5

解析：解：•••式子VT与有意义，

5—x>0,

解得：%<5,

则x的取值范围是：x<5,

故答案为：%<5.

直接利用二次根式的定义进而得出答案.

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式定义是解题关键.

10.答案：15

解析：解：••,m为一元二次方程X2-8刀+1=0的解，

，m2—8m+1=0,

.・・m2=8m—1,

1616

・••m2—6m+8m—1-6m4-

m2+18m—1+1

2

=2mH-------1

m

27n2+2

=--------------1

m

—2+2

--------------------1

m

=16-1

=15.

利用一元二次方程根的定义得到血2=8TH-1,则机2一6m+U化为8m-1-6m+所

mz+l8?n-l+l

以原式=2机+巳-1,然后通分后再进行降次，最后约分即可.

m

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.

11.答案：过也

2

解析：解：如图，过点C作。D于点C.

•••在直角△ACD中，44=30。，AC=2V3.\

AD—AC-cos30°-2>/3X—=3,CD=|/1C=V3.

22

•••在直角ABCO中，Z.B=45°,CD=V3，

BD=CD=V3>

.-.AB=AD+BD=3+y/3

••SXABC=|/ie-CD=1x(3+V3)xV3=手.

故答案是：3.

2

如图，过点C作CO_L4B于点D.通过解直角AACO求得CO、4。的长度，通过解直角△BCD求得BD的

长度；则易求4B=4D+BD；然后由三角形面积公式进行解答.

本题考查了解直角三角形.对于此类题目，不是直角三角形，要利用三角函数必须构筑直角三角形，

知道三个元素(至少有一个是边)，就能求出其余的边和角.进而求面积，在转化时，尽量不要破坏

所给条件.

12.答案:20

解析：解：设白球个数为：X个，

•••摸到红色球的频率稳定在0.2左右，

二口袋中得到红色球的概率为0.2=

・•・--5--=1

5+x5

解得：x=20,

即白球的个数为20个，

故答案为：20.

由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可.

此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.

13.答案：2.5

解析：解：•.•两条尺长4c和BD相等，OC=OD

:.OA=OB

vOC：OA=1：2

・•・OD：OB=OC：OA=1：2

•・•乙COD=LAOB

・•.△COD

・・・CD：AB=OC：OA=1：2

vCD=10mm

・•・AB=20mm

:.2x+20=25

:.x=2.5mm.

要求零件的厚度，由题可知只需求出力B即可.因为CD和4B平行，可得△AOBs/kC。。，可以根据相

似三角形对应边成比例即可解答.

本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求

出零件的内孔直径4B即可求得x的值.

14.答案:15。

解析：解：•••四边形Z8CD是正方形，是等边三角形，

•••4BAP=乙BAD+^PAB=90°+60°=150°.

vPA=AD,AB=ADf

:.PA=AB,

:.Z,APB=(180°-150°)+2=15°.

故答案为：15°.

根据题意知△力BP是等腰三角形，且4B4P=90。+60。=150。.根据三角形内角和定理及等腰三角形

性质求底角/即可.

此题考查了正方形的性质和等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握正方形和等边三角形的

性质，利用特殊角的度数解决问题.

北

15.答案：解：由题意可知：作PC14B于C,弋A

乙4cp=4BCP=90°,乙4PC=30。，乙BPC=45°.：

在Rt△4cplt

vZ.ACP=90°,Z.APC=30°,

•••AC=-AP=50,PC=V3AC=50A/3.

在中，

•••乙BCP=90°,4BPC=45°,

BC=PC=50V3.

•••AB=AC+BC=50+50V3«50+50X1.732«136.6(米).

答：景点4与B之间的距离大约为136.6米.

解析：由已知作PC1AB于C,可得AABP中乙4=602B=45。且P4=100m,要求48的长，可以

先求出4C和BC的长.

本题考查了解直角三角形的应用，对于解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解

直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

16.答案：解：原式=2一1+2x¥+4

=5.

解析：按照从左到右的顺序，先算绝对值，再算零指数累、特殊角三角函数值、负整数指数累，最

后进行加减运算.

本题主要考查实数的运算，需要熟练掌握绝对值的运算、零指数累、负整数指数塞以及特殊角的三

角函数值.

17.答案：解：3%2-6%+1=0中，a=3,b=—6,c=1,

△=b2-4ac=(-6)2—4x3x1=24,

巡

6+2>/6V6，A

Xi1=---6----=1H——3x24=1----3-;

(2)移项，得3——6%=—1,

二次项系数化为1,得/一2%=一!

配方,得(工_1)2号.

开方，得一d

1I61遍

=1+丁x2=1-y

解析：根据公式法：X=i土心-4",可得方程的解;

2a

根据配方法，可得方程的解.

本题考查了解一元二次方程，公式法要用一般形式，再利用根的判别式.

18.答案：50

解析：解：(1)・.•喜欢跑步的有5名同学，占10%,

二在这次问卷调查中，一共抽查了学生数：5+10%=50(名);

故答案为：50；

(2)喜欢足球人数：50-5-20-5-3=17(A)；

(3)该校3000名同学中有人喜爱足球活动的有：3000xg=1020(名);

(4)画树状图得：

开始

甲乙丙丁

/1\/N/N/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

・••共有12等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况,

・••恰好选中甲、乙两位同学的概率为：=

INo

(1)由喜欢跑步的有5名同学，占10%,即可求得总人数；

(2)由(1)可求得喜欢足球的人数，继而补全条形统计图；

(3)利用样本估计总体的方法，求得答案；

(4)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

19.答案：解：(1)24

(2)y=(x-1)x[30-(x-10)+0.5]-[(x-10)+0.5]x0.5,

=-2x2+51x—40；

(3)275=-2x2+51X-40,

解得=10.5,x2=15

答：每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.

解析:

解:(1)租出间数为：30-(130000—100000)+5000=30-6=24间；

故答案为：24

(2)见答案;

(3)见答案.

(1)根据租出间数=30-增加了多少个5000元，计算即可；

(2)根据年收益=租出去的商铺的收益-未租出的商铺的费用计算即可；

(3)把(2)得到的关系式中的函数值等于275计算即可.

本题考查了二次函数的应用；解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等

量关系，列出方程，再求解.本题中的等量关系题目中已经给出，相对降低了难度.

20.答案：(1)当t=?(Q在4C上)时，.形1.盘；

售

(2)证明见解析；

(3)当t=1时，△PQD面积般的最大值为苴£；海了.

愚…

解析：试题分析：(1)若使PQ14C,则根据路程=速度x时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直

角三角形的性质列方程求解；

(2)根据三角形的面积公式，要证明4。平分△PQD的面积，只需证明。是PQ的中点.根据题意可以

证明BP=CN,则PD=DN,再根据平行线等分线段定理即可证明；

(3)△PQ。面积与t的函数关系式，再求最大值即可.

试题解析：（1）当Q在AB上时，显然不存在,形1.，窗;

当Q在AC上时，BP=t,CQ=2x,PC=4-t

vAB=BC=AC=4cm,

:.Z.C=60°

若，抽1.丝，则NQPC=30。

・・・PC=2QC,

・•・4—t=2X23

4

t=一,

售

当t=-（Q在AC上）时，.?g±.理；

售

（2）过点Q作QE1BC于点E,

•••Z.ODP=90°=乙QEP,4OPD=4QPD

•••△ODP-AQEP

•••当醺•〈盒时，BP=t,PD=,

又CQ=2t,CE=t,PE=BC-BP-CE=4-t-t=4-2t

APD=-PE,

•',•治蹦警=1留癖量J

.••4。平分△「(2/)的面积；

⑶当阴:6.“：罢时，设^PQD面积为.哪®游,

,:PD=，QE=晶

.•.解=±第一糜..扬=

&2

二当t=1时，△PQD面积”的最大值为、土雪减产.

考点：等边三角形的性质.

21.答案：解：⑴•・,抛物线y=ax?+c过点8(或,0)与点C(0,2),

邛:+:°解得：F=;1,

(0+c=21c=2

二抛物线解析式为y=-x2+2,

•.•点P(2,t)是该抛物线上一点，

t=-4+2=-2；

(2)过点P作PE1y轴于点E,过点P'作P'F1y轴于点F,

•••4PED=乙DFP'=90°,

•••P(2,-2),

:.PE=2,OE=2,

设。(0,d),

①若d>-2,即点。在点P上方，则点P'在y轴右侧，如图1,

•••PD绕点。逆时针旋转90。得到P'D,

•••Z.PDP'=90°,PD=P'D,

■.乙FDP'+乙PDE=4FDP'+乙DP'F=90°,

4PDE=乙DP'F,

NDFP'=乙PED

在△DFP'与△PED中,,乙DP'F=LPDE，

.DP'=PD

DFP'^hPED(AAS),

DF=PE=2,FP'=DE=d+2,

P'(d+2,d+2),

•.•点P'也在抛物线上，

—(d+2产+2=d+2,

解得：dj=-4(舍去)，d2=-1,

•••£>(0,-1),

②若d<—2,即点。在点P下方,则点P'在y轴左侧，如图2,

图2

•••DE=-2—d,

同理可证：△OFP'三APE。，

•••DF=PE=2,FP'=DE=-2-d,

•••P'(d+2,d+2),

—(—d—2尸+2=d+2,

解得:di=-4,d2=-1(舍去),

・・・。(0,-4),

综上所述，点。的坐标为(0,-1)或(0,-4)；

(3)设点M、N的坐标分别为：01，%)、(%2、72)»直线，与y轴交于点R，

联立y=-x2+2,y=fcx+b并整理得：

%24-/ex+(h—2)=0,

+%2=—%xix2=b—2,

yi=kxr+b,y2=kx2+b,

故点C作％轴的平行线GH,分别过点M、N作y轴的平行线交GH于点G、H,

MCA.NC,:•乙GCM+乙HCN=9。。,乙HCN+乙CNH=90。,

・・・乙CNH=4GCM,

tanZ.CNH=tanzGCM,即：焉=答，

即：言号

-xrx2=4-2yl-2y2+丫。2，其中与+x2=-k,xtx2=b-2,%=kxr4-b,y2~k尤2+b,

整理得：b2-3b+2=0,整理得：b=l或2(舍去2),

故：6=1,

则点R(0,l),而点尸(2,-2),

过点P作PK11交于点K,

则d=PK=RPcosZ.RPK,

当NRPK=0。时，d取得最大值为：PR=,22+(1+2产=g

解析：(1)已知抛物线上的点B、C坐标，用待定系数法即求得解析式；把P的横坐标代入解析式，即

求得纵坐标t的值；

(2)按点P'在y轴左侧或右侧画出两种情况的图形，分别作点P、P'与y轴的垂线段PE、P'F,易证△

DFPOPED,由全等三角形对应边相等，可用含d的式子表示P'尸与FD,进而用d表示点P'的坐标，

即可求解；

(3)tan4CNH=tan/GCM,即：黑=吟，即：-x^=4-2yj-2y2+yiy2>整理得：

nINUC人1

/—3力+2=0,解得：b=1,即可求解.

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形全等、解直角三角形等，其中（3）,用韦

达定理处理复杂数据，是本题本题解题的难点.

22.答案：解：(1)如图1,过C作CMlx轴于M点,

•••/.MAC+/.OAB=90°,/.OAB+Z.OBA=90°,

则NM4C=4OBA,

在40B4中，

2CMA=4AOB=90°

2LMAC=N0B4,

.AC=AB

••.△MAC三△084(44S),

•••CM=OA=2,MA=OB=4,

：.OM=OA+AM=2+4=6,

.••点C的坐标为(-6,-2)

(2)答：如图2,存在三个H点，

•••4(-2,0),5(0,-4),。(一6,-2),

••・根据8到4的平移规律可得C到乩的平移规律,

则匕(一8,2),

同理得42（-4,—6）、〃3（4,—2）

（3）答：存在，尸（0,一》，

如图3,作点”（1,一1）关于y轴的对点

连接CFi、M&,由于|FM-FC|WCM,

当C、M'、尸三点共线时取等号，

连接CM',与y轴交于点F即为所求，

设CM的解析式为：y=kxb,

把C（-6,-2）、-1）代入得,｛二屋箕二2

1

5

解得：r

b=-4

5

14

・•・y=-X——

当x=0时，y=

4

•••”0,一耳).

解析：(1)证明△MAC三A0B4(44S),根据三角形全等时对应边相等可得C的坐标；

(2)根据平移规律可得三个H点的坐标；

(3)如图3,作点关于y轴的对点(一1,一1),连接CB、MFr,由于尸M-FC|WCM,当C、

M'、F三点共线时取等号，连接CM',与y轴交于点尸即为所求，根据直线解析式，令％=0可得与y轴

的交点户的坐标.

本题考查四边形综合题、轴对称的最短路径问题、等腰直角三角形的性质和判定、三角形全等的性

质和判定等知识，第3问有难度，确定点F的位置是关键，学会用平移的规律确定点的坐标，属于中

考压轴题.

23.答案：⑴证明：v^BAC=^DAE,

^BAC-乙DAC=乙DAE-"AC,即=ACAE,

在△4B0和△ACE中，

AB=AC

Z.BAD=/.CAE1

AD=AE

三△4CE(S4S),

BD=CE；

(2)解：a=p.

理由如下：同(1)的方法可得，△4Bnwz\ACE(SAS),

•••Z.ACE=Z.ABD,

乙BCE=a,

•••/.ACE=乙4cB+乙BCE=乙4cB+a,

在△ABC中，AB=AC,Z.BAC=p,

：./.ACB=/.ABC=|(180。一夕)=90。一|4，

4ABD=180°-/.ABC=90°+],

Z.ACE=Z.ACB+a=90°--/?+a,

,:/.ACE=乙ABD=90°+-S,

2L

90°-1/?+a=90。+/

图3

・・・a=8：

(3)解：如图3,过点4作4"于H,

-AB=AC,Z,BAC=90°,

・・・(ABC=45°,

BH=AH=HC=-BC=2

29

同(1)的方法可得，△ABD三△ACE(SAS),

SMEC=S^ABD>

SMEC+S—DC=SAMD+S^ADC,即S四边幽DCE=SMBC=]X4X2=4,

SADCE=S四边形ADCE~SAADE,

当S&4DE最小时，SA℃E最大，

当40J.8C时,AD最小，最小值是2,

11•SA.DE最小值是aX2x2=2,

"S4DCE最大=4-2=2。

解析：⑴利用S4S定理证明A/IBD三△4CE,根据全等三角形的对应边相等证明；

(2)根据全等三角形的性质得到N4CE=^4BD,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到

乙4cB=^ABC=90°-斜，根据三角形的外角性质列式计算即可；

(3)作4"1BC,根据等腰直角三角形的性质求出4H,证明△48。三△4CE,得到S-EC=S-BO，根

据垂线段最短解答即可.

本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、垂线段最短、等腰直角三角形的性质，

掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键.

24.答案：解：⑴•••二次函数y=<n：2+b%+c的图象与％轴交于4(3,0),5(-1,0),

C(0,-4).

'9a+3b+c=0

a—b+c=0，

.c——4

4

a=-