第16讲 锐角三角函数及相关概念（6大考点）（原卷版）

第16讲锐角三角函数及相关概念（6大考点）考点考点考向一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.考点考点精讲一．锐角三角函数的定义（共6小题）1．（2022•常州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，则cosB的值是（）A． B． C． D．22．（2022•广陵区二模）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sin∠APB等于（）A． B． C． D．13．（2022•天宁区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，则cosB等于（）A． B． C． D．4．（2021秋•海门市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA的值为（）A． B． C． D．5．（2022•淮安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．6．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad60°的值为A．B．1C．D．2（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是．（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．二．锐角三角函数的增减性（共1小题）7．（2021春•鼓楼区校级月考）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A． B． C． D．1三．同角三角函数的关系（共3小题）8．（2022春•泰兴市校级月考）已知∠A是锐角，且cosA＝，则tanA＝．9．（2022•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA等于（）A． B． C． D．10．（2022•东海县一模）已知，则tanα＝．四．互余两角三角函数的关系（共3小题）11．（2022•淮安区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则tanB的值为（）A． B． C． D．12．（2022•鼓楼区校级开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知sinA＝，则cosB的值为（）A． B． C． D．13．（2022•钟楼区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinB的值为（）A． B． C． D．五．特殊角的三角函数值（共7小题）14．（2022•常州二模）60°角的正切值为（）A． B． C． D．15．（2022•亭湖区校级开学）已知sinα＝，那么锐角α的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°16．（2022•常州模拟）若cosθ＝，则锐角θ的度数是．17．（2021秋•姜堰区期末）若2cos（α﹣15）°＝，则α＝°．18．（2022•宜兴市校级二模）计算：（1）（）﹣1+sin30°﹣（1﹣π）0．19．（2022•锡山区校级二模）（1）计算：+（﹣2022）0﹣4sin60°；20．（2022•淮安区模拟）（1）已知2sin（A+13°）＝1．求锐角A的度数．（2）已知3tanα﹣＝0．求锐角α的度数．六．解直角三角形（共8小题）21．（2022•高新区校级三模）如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（）A．5 B． C．3 D．22．（2022•淮阴区模拟）如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．23．（2022•海陵区二模）已知△ABC为钝角三角形，其中∠A＞90°，有下列条件：①AB＝10；②AC＝；③tan∠B＝；④tan∠C＝；（1）你认为从中至少选择个条件，可以求出BC边的长；（2）你选择的条件是（直接填写序号），并写出求BC的解答过程．24．（2022•泗洪县二模）（1）如图甲，已知：在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝4，求AB；（2）如图乙，已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝15°，AC＝1，求AB．25．（2022•扬州模拟）在△ABC中，∠C＝90°．（1）已知c＝8，∠A＝60°，求∠B，a，b；（2）已知a＝3，∠A＝45°，求∠B，b，c．26．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．27．（2022•锡山区校级二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，tan∠ABC＝，点N是边AC的中点，点M是射线BC上的一动点（不与B，C重合），连接MN，将△CMN沿MN翻折得△EMN，连接BE，CE，当线段BE的长取最大值时，sin∠NCE的值为（）A． B． C． D．28．（2022•淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝°．（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．巩固巩固提升一、单选题1．（2021·江苏泰兴·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝8，AB＝10，那么∠A的正弦值为（）A． B． C． D．2．（2021·江苏溧阳·一模）如图，，点是边上一动点．连接，以为斜边，在的右上方作直角三角形，其中，，当点在的三边上运动一周时，点运动的路径长为（）A．4 B．6 C． D．3．（2021·江苏工业园区·二模）如图是墙壁上在l1，l2两条平行线间边长为a的正方形瓷砖，该瓷砖与平行线的较大夹角为a，则两条平行线间的距离为（）A．asinα B．asinα+acosαC．2acosα D．asinα﹣acosα4．（2021·江苏·九年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=26，tanA＝，则AC的长为（）A．25 B．13 C．24 D．12二、填空题5．（2019·江苏东台·九年级月考）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上则tanA的值为______．6．（2021·江苏姑苏·一模）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为___．7．（2021·江苏滨湖·一模）在△ABC中，，，，则△ABC的面积是____．8．（2021·江苏金坛·一模）如图，在中，为边的中点，连接．若，则_______．9．（2021·江苏省锡山高级中学实验学校九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为___．10．（2021·江苏阜宁·九年级期末）中，，，则__．11．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图，中，的垂直平分线分别交于两点，连接，如果，那么______．12．（2021·江苏泰兴·九年级期末）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC＝，则BC的长为________．13．（2021·江苏·镇江市外国语学校九年级月考）已知，且，则的值为___．三、解答题14．（2021·江苏·无锡市天一实验学校九年级期中）计算：（1）（2）15．（2021·江苏姑苏·九年级期中）计算：|﹣1|+sin45°﹣+tan260°．16．（2021·江苏·苏州市立达中学校九年级期中）计算：3sin30°•cos60°﹣tan230°．17．（2021·江苏惠山·九年级期中）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan18°30′≈0.33，结果精确到0.1m）18．（2021·江苏·常州外国语学校九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．（1）请以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A1B1C1，请在图中y轴右侧画出△A1B1C1；（2）点P（a，b）为△ABC内一点，请直接写出点P位似变换后的对应点P'的坐标为；（3）△ABC的外接圆圆心坐标为，△ABC的外接圆半径为；（4）请直接写出∠C1A1B1的正切值为．19．（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）如图1所示，上海中心大厦是上海市的一座超高层地标式摩天大楼，是我国最高的建筑，建筑主体共计119层．某数学小组欲测此上海中心大厦的楼高，设计出如图2所示的测量方案．具体方案如下：小组成员在地面A处通过激光测距，测得仰角，光路长，光路被写字楼楼顶的一面玻璃（视为点B）反射，反射的激光束沿光路恰好可以到达上海中心大厦楼顶（视为点C）．已知写字楼与上海中心大厦的直线距离为（写字楼与上海中心大厦位于同一平面），图2中的虚线为法线．（所有结果保留整数，参考数据：，，）．（1）求写字楼的高度．（2）求上海中心大厦的楼高．20．（2021·江苏·苏州市相城区望亭中学九年级月考）如图将绕斜边中点O旋转一定的角度得到，已知，则______．21．（2021·江苏兴化·二模）如图，一次函数的图像与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴相交于点，的外接圆的圆心为点．（1）求点的坐标，并求的大小；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．22．（2021·江苏·苏州市振华中学校九年级月考）如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了t秒．（1）当t＝2秒时，则点N的坐标；（直接写出答案）（2）当△APM的面积为时，求t的值；（3）是否存在t的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．23．（2021·江苏宜兴·九年级月考）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形?请说明理由．24．（2021·江苏东台·九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试