数字信号处理课件胡广书第2章

Z变换的定义；Z变换的收敛域；Z变换的性质；逆Z变换；离散系统的转移函数；离散系统的结构第2章 Z变换及离散系统分析复频域：

时域：x(t)

x(t)e

stdtX

(s)

2

f2.1

Z变换的定义Laplace

变换s

j

s平面

j

0

0

x(t)e

j

tdtX

(

j

)

Fourier

变换频域：s平面

j0

仅在虚轴上取所以，傅里叶变换是值的拉普拉斯变换。ss

j

因为所以s

j

对离散信号，可否做拉普拉斯变换x(n)

x(t)

(t

nTs

)n

x(nTs

)

(t

nTs

)nx(n)e

dt

st

[

x(n)]

ssn

x(nT

)

(t

nT

)e

stdt

ssx(nT

)e

snT

X

(esTs

)

n

z

esTsL令z

re

j

e(

j

)Ts

e

Ts

e

j

Ts

n

nX

(

z)

x(n)z则：s得到：

Ts

与z对应连续信号对应离散信号拉普拉斯变换z

变换re

j

e

Tsr

e

Ts

e

j

Ts离散信号的z

变换j

j

nz

re

j

|

e

j

r

1

Ts

2

f

fsX

(e

)

x(n)en

离散时间序列的傅里叶变换，DTFTz平面Re[z]Im[z]0z

平面Re[z]0Im[z]r

10

2

0

2

2

4

:0

2

fs

:

Ts

2

f

fsz

平面Re[z]Im[z]r

0s平面

02

fs

2

fs

4

fs0

s

s

2

sj

4

fs00000f

fs

fs

2fs

2fs

s

s

2

s

2

s

2

2

f

1

0.50.51kN2

kN

1

n

n

X

(

z)

x(n)z

n

[

x(n)r

n

]e

j

nr

1z

re

j

|

:

X

(e

j

)

x(n)e

j

nX

(

z)

n

:级数收敛2.2

Z变换的收敛域幂级数条件：除x(n)外，还取决于r

的取值Note:的模，所以ROC

具有“圆”，或“环”的形状r

是zx(n)

anu(n)例1：1

n

0if

az

1

1,thenn

0that

is

z

a

ROCX

(

z)

X

(

z)

an

z

n

(az

1

)na11

az

1zX

(

z)

z

a例2：x(n)

anu(

n

1)0u(

n

1)

{

1

n

1,

,

其他ROC

:1

z

1

1

a

1z z

aa

1z

1,

z

a

1

X

(

z)

an

z

n

1

(a

1z)nn

n

0ROC:

z

ax(n)

anu(n)注意：zX

(

z)

z

ax(n)

anu(

n

1)zX

(

z)

z

az

az

ax(n)

:

n

N1

N

21.N1

0,

N2

0,

N2

N1|

z

|

0右边有限长序列1211N2z

N1z

N2

n

N1ROC：X

(z)

x(n)z

n

x(N

)

x(N

)z

02.N1

0,

N2

0x(n)

:

n

N1

N

2ROC: 0

|

z

|

双边有限长序列z

0,

z

3.

x(n)

:

n

N1

|

z

|

R14.x(n)

:

n

N1|

z

|

R25.R1

|

z

|

R2ROC:右边无限长序列ROCx(n)

：

:

n左边无限长序列ROC:双边无限长序列思考：什么信号的z变换的收敛域是整个z平面？1.线性:2.3 Z变换的性质2rnx(n)

e

j

n

e

j

n

x1

(n)

x2

(n)

X1

(z)

X

2

(z)如何求

x(n)

rn

cos

n

X

(z)

X

(z)

x(n)z

n

n

2.移位:（1）双边Z变换x(n

k

)

z

k

X

(

z)x(n

k

)

zk

X

(z)x(n

1)

z

1

X

(

z)z

1

表示单位延迟（2）单边Z变换

n

0X

(z)

x(n)z

n

1

kn

k

x(n)z

n

x(n

k

)

zX

(z)

x(n)zk

1

k

nn

0

x(n

k

)

zX

(z)

x(n)仍为双边序列（3）x(n)

为因果序列,

则x(n)zk

1

k

nn

0

x(n

k

)

zX

(z)

X

(z)

X

(z)因果序列的双边Z变换和其单边Z

变换相同

1

k

n

k

x(n

k

)

zX

(z)

x(n)z

n

z

k

X

(z)

3.

k

y(n)

x(n)

h(n)

x(k

)h(n

k

)

Y

(

z)

X

(

z)

H

(

z)k

n

Y

(

z)

y(n)z

n

[

x(k

)h(n

k

)]z

nn

n

k

x(k

)

h(n

k

)z

n

x(k

)z

k

h(n

k

)z

(

n

k

)k n

X

(

z)

H

(

z)

cx(n)z

z

dz

m

1

n

m

1c

n

0X

(z)z dz

cx(n)x(n)

zm

n

1dzrm

n

1e

j

(

m

n

1)

dz

m

ne

j

(

m

n

)

d

x(n)r

j

n

0

n

n

z

re

j

dz

rje

j

d

2.4

逆Z变换X

(

z)

x(n)z

nn

0

d

ej

(

m

n

)

{02

m

nm

ncX

(

z)z

dz1j2

n

1x(n)

cn

m

1m

ne

j

(

m

n

)

d

X

(z)z dz

x(n)r

j

Z逆变换的基本公式1.长除法01nX

(z)

B(z)

x

x

z

1

x

z

nA(z)2.部分分式法C1C2ABA(z)X

(z)

B(z)

z

a z

b

(z

c)

(z

c)2x(n)

Res[

X

(z)

zn

1

]3.

留数法x(n)

y(n)h(n)1.

y(n)

x(n)

h(n)

x(k

)h(n

k

)k

2.N

My(n)

ak

y(n

k

)

br

x(n

r)k

1

r

03.2.5离散系统的转移函数

H

(z)

Y

(z)

X

(z)

H

(z)

h(n)z

n

n

04.5.Mrkb

zB(

z)A(

z)

rk

1H

(

z)

r

0

N1

a

z

k以上

6个关系是离散时间系统中的基本关系，它们从不同的角度描述了系统的性质，它们彼此之间可以互相转换。

n

0z

ej

H

(e

j

)

h(n)e

j

n

H

(

z)

|6.MN

M

NB(

z)

b

b

z

1

b

z

20

1

2A(

z)

1

a

z

1

a

z

21

2ak

,

k

1,

,

N

,br

,

r

0,

,

M

,

N

M

b

z

a

z上述表达式贯穿全书！H

(z)

B(z)

A(z)NM

(

z

pk

)k

1

(

z

zr

)H

(

z)

G

r

1

kzr

,

r

1,p

,

k

1,

,

M

;

Zeros

,

N

;

Poles使分子多项式=0

的zrH

(z)的Zeros(零点)使分母多项式=0

的pkH

(z)的Poles(极点)MMrrNNb

zB(z)A(z)

r

kH

(z)

r

0

G

r

1

(z

z

)1

ak

zk

1

(z

pk

)k

1为了保证系统分子、分母多项式的系数始终为实数，所以，如果系统有复数的极、零点，那么这些复数的极、零点一定共轭出现。即：rzr

a

jbz

a

jbkpk

c

jdp

c

jd系统分析的任务：统，可能是h(n)H

(z)给定一个系H

(e

j

)N

My(n)

ak

y(n

k

)

br

x(n

r)k

1

r

0判断（或分析）线性？移不变？稳定？因果？幅频：低通？高通？带通？…相频：线性相位？最小相位？

1.稳定性:判别条件1：

h(n)

n

0h(n)

l1稳定性:判别条件2

：|

pk

|

1,

k

1,

,

N极零分析的应用所有极点都必需在单位圆内！N

k

c

zH

(z)

k

1

z

pk

证明：nknk

N

h(n)

ck

pn

0

n

0

k

1N

ck

pk

1

n

0Nnkk

1h(n)

ck

pMrNk|

H

(ej

k

1)

|

g

r

1

|

e

j

z

|

|

e

j

p

|2.幅频特性：e

j

0rzr|

e

j

z

|MNH

(z)

G

r

1

(z

zr

)

(z

pk

)k

1MrNkk

1H

(e

j

)

ge

j

(

N

M)

r

1

(e

j

z

)

(e

j

p

)MrNj

|

H

(e

j

)

|

g

r

1

|

e

j

z

|

|

e

pk

|k

1观察：1.当

时，

pk

|最小；0e

j

kpk|

e

j

p

|

约接近于单位圆，|

e

j

2.

极点|

e

j

pk

|越小；pk如何影响幅频3.注意，向量|

e

j

pk

|

在分母上。低通滤波器高通滤波器带通滤波器带阻滤波器

2

c

c02

H

(e

j

)

2

c

c02

2

c2

c1

0

c2

c12

2

c2

c1

0

c2

c12

3.相频：NkMr

r

1

k

1arg[e

p

]j

arg[H

(e

j

)]

arg[e

j

z

]

RH

(e

j

)H

(e

j

)arg[H

(e

j

)]

arctan

I

例：

H

(

z)

z|

H

(e

j

)

|

1

(

)

0

2

相位的卷绕(wrapping)解卷绕则4.极--零点对系统幅频的影响：|

H

(e

j

)

|

若在某一个

处,在单位圆上有一零点,则|

H

(e

j

)

|

0若在某一个

处,

在接近单位圆有一极点,低通滤波器在z

1

处一定没有零点，在 其附近应有一个极点；同理，高通滤波器在

z

1

处一定没有零点，在其附近应有一个极点；带通、带阻滤波器的极－零位置有何特点在处的极、零点不影响幅频,只影响相频。z

01

.1836+.7344z-1+1.1016z-2+.7374z-3+.1836z-4100

1-3.0544z-1+3.8291z-2-2.2925z-3+.55075z-4H(z)

例：给定系统求：频率响应单位抽样响应极－零图-1.5-1-0.500.5110.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1RealPartImaginaryPart极－零图0.10.20.30.40.5001.510.50.10.20.30.40.5-1000-2-4-6-8频率响应05101520253035400.250.20.150.10.050-0.05-0.1单位抽样响应滤波的基本概念目的：去除噪声，或不需要的成分；原理：信号通过线性系统输入－输出的关系。x(n)

y(n)h(n)y(n)

x(n)

y(n)Y

(z)

X

(z)H

(z)Y

(e

j

)

X

(e

j

)H

(e

j

)X

(e

j

)H

(e

j

)Y

(e

j

)

c

c

线性滤波的原理

11

z

1H0

(z)

a1

pz1

z

1H1

(z)

b1

pz

1

1(1

z

1

)(1

z

1

)H2

(z)

c(1

re

j

z

1

)(1

re

j

z

)例：给定三个系统，分析其幅频相应0102000.10.2-11-1010Real

P

artImaginaryPart00.5100.5101020-0.500.51-11-1010Real

P

artImaginaryPart00.5100.5101020-0.200.2-11-1010Real

P

artImaginaryPart00.5100.511.5h(n)极零图H

(e

j

)极－零分析是数字信号处理的基本功，对不太复杂的系统，应能从系统的极－零分布图大致判断出该系统的幅频特性。N

Mk

1

r

0y(n)

ak

y(n

k

)

br

x(n

r)个延迟器。2.5系统的结构及信号流图观察：实现本系统，需要一个加法器，N

M个乘法器，N

MMrkb

zY

(z)X

(z)

rk

1H

(z)

r

0

N1

a

z

k若将上图作一改造，可大量节约延迟器NX

(

z)a

z

kW

(

z)

1

kk

1a

zb

zNM

r

kk

1

k

r1

Y

(

z)

r

0

X

(

z)Mrb

z

rr

0Y

(

z)

W

(

z)

NMw(n)

ak

w(n

k

)

x(n)k

1y(n)

br

w(n

r)r

0则：及直接实现：

1

N

/

2

k

1kNk

1

k

kM

r

0

r

rH

(

z)a

zb

zH

(

z)

y(n)

(

((

x

h1

)

h2

)

hN

/

2

)x(n)

H1

(z)HN

/

2

(

z)

y(n)

级联实2N

1

21

z

1

z

2k

,1

k

,2现：Hk

(z)

1

ak

,1

z

ak

,2

z,

k

1,

,y(n)

x(n)

h1

(n)

x(n)

h2

(n)

x(n)

hN

/

2

(n)N/

2H

(z)

Hk

(z)k

1H1

(z)H2

(z)

HN

/

2(z)

x(n)

y(n)并联实现：在数字信号处理中，由于表示“数”的字长总是有限的，这就必然带来误差。对一个离散系统，这些误差包括如下几个方面：模拟信号抽样时的量化误差，相当于引人一个误差序列e(n)；e(n)在系统中传递，最后出现在输出端；系统的系数也要量化，量化就必然产生误差，该误 差一定会影响系统的性能；系统中加、减和乘法运算将产生舍入误差。