2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-1 .2 空间向量基本定理

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理

基础过关练

题组一空间向量基本定理及相关概念的理解

1.（多选）（2022福建三明尤溪第五中学月考）给出下列命题，其中正确的有（）

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

B.若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线

C.基底｛a,b,c）中的基向量与基底｛e,f,g）中的基向量对应相等

D.已知｛a,b,c｝是空间的一个基底,若m=a+c,则｛a,b,m｝也是空间的一个基底

2.（2021山东济宁检测）已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点，且向量

a=OA+OB+OC,向量\）^OA+OB-OC,则不能与a,b共同构成空间向量的一个基底

的向量是（）

A.OXB.05

C.OCD.以上都不能

3.（2022吉林白城一中段考）已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,则能使向

量而尢MB,而成为空间的一个基底的关系是（）

AM途+海+冲

B.MA=MB+MC

C.OM=OA+OB+OC

D.MJ=2MB-MC

4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛a,b,c｝是空间的一个基底，给出下列向量

组:①｛a,b,x｝;（2）｛x,y,z｝;（3）｛b,c,z｝;@｛x,y,a+b+c｝,则其中可以作为空间的基

底的向量组有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

题组二空间向量基本定理的应用一一用空间的基底表示空间向量

5.（2020安徽淮北一中期中）已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点，点P

在线段MN上，且MP=2PN,设向量市=~OB=b,OC=c,则赤=（）

111

A.-a+-b+-c

666

111

B.-a+-b+-c

ill

C.-a+-b+-c

ODD

ill

D.-a+-b+-c

366

6.已知a=ei+ez+e3,b=©i+e2—63,c=ei—62+03,d=ei+2e2+3e3,d=aa+Bb+

入c,则a,B,入的值分别为.

7.（2020江苏扬州邦江中学期中）如图，在正方体ABCD-ABCD中，已知

A^=b,^£>1=0,0为底面ABCD的中心，G为△DC0的重心，则

前二.

8.（2022湖北武汉育才高级中学月考）如图,在空间四边形ABCD中,AC和BD为对

角线,G为4ABC的重心，延长AG交BC于M,E是BD上一点,BE=3ED,以｛同,AC,AD]

为基底表示靛,则就=.

D

题组三利用空间向量基本定理解决立体几何问题

9.化学中，将构成粒子（原子、离子、分子等）在空间按一定规律呈周期性重复排

列构成的固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等

同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的

立方体晶胞（其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子均在顶点位置,0原子位于棱的

中点），则图中原子连线BF与BiE所成角的余弦值为.

10.（2022河北石家庄冀明中学月考）在正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AB的

中点，设同=a,AC=b,AD=c,用a,b,c表示向量两,则两二,异面直线DM

与CN所成角的余弦值为.

11.（2021山东师大附中月考）如图,四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD是正方

形,AAi=3,AB=2,且NGCB=NCiCD=60。,设而=a,CB=b,

(1)试用a,b,c表示&C;

⑵已知0为体对角线A】C的中点,求CO的长.

12.（2022黑龙江绥化肇东四中期中）如图，在直三棱柱ABC-AiBC

中，NABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EBk1,D,F,G分另ij为C3,BC,AC的

中点,EF与BN相交于点H.

⑴求证:BiDJ_平面ABD;

⑵求证:平面EFG〃平面ABD.

答案全解全析

基础过关练

1.BD空间中共面的三个向量不能作为基底，故A错误；

两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,说明a,b与任何

一个向量都共面,故a〃b,故B正确；

空间向量的基底不唯一，只要是不共线的三个向量都可以作为基底,故C错误；

{a,b,c)是空间的一个基底,即a,b,c不共面，由m=a+c知m,a,c共面,故b与m,a

不共面,则{a,b,m)是空间的一个基底,故D正确.

故选BD.

2.C0C=|(OA+OB+OC)(OA+OB-OC)(a-b),a,b

J诧不能与a,b共同构成空间向量的一个基底.

易知刀,灰均能与a,b共同构成空间向量的一个基底.故选C.

3.C只有不共面的向量才可以构成空间的一个基底.对于A,由

。访=xUl+y赤+z沆(x+y+z=l),知M,A,B,C四点共面，故苏，砒，流共面;对于

B,D,由共面向量定理知加,MB,流共面.故选C.

4.C借助长方体进行判断,如图，可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共

面,x,y,a+b+c不共面，故选C.

方法归纳

判断给出的某一个向量组中的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是

否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们

进行判断.

5.C连接ON,OP=-ON+-'OM=-X-(OB+OC)+-X-OA=-OA+-OB+

33323263

-OC=-a+-b+-c.故选C.

3633

6.答案

解析由题意知ei+2e2+3e3=a(ei+e2+e3)+(ei+e2-e3)+入(e[e2+e3)=

(a+B+入)ei+(a+B-入)e?+(a-B+人)e?,

5

a+/?+2=1,a=5，

a+0-入=2,B=T,

«邛+4=3,A=

2

7.答案=a+4+Sc

326

解析连接0G,贝函项+一(AB+AD)+|(OD^+OC^)=|(AB+AD)+

-[-(BA+BC)+W+-(AB+AD)+CQ]^AB+-AD+-^07=--^A+

32121263131

1----->q----->2

iXiBi+-XiDi=--a+-b+-c.

211611326

8.答案--AC+-AD

1234

解析连接AE.因为G为AABC的重心,所以庶上前.因为BE=3ED,所以BE=-BD.

34

所\^GE=AE-AG=AB+lRD-|AM=AB+|(AD-AB)-|X

-(AB+AC)=~—AB--AC+-AD.

21234

9.答案|

解析设立方体的棱长为a.取｛不瓦，不为,不｝为空间向量的一个基底，其中

<4/；,41。；〉=90°,〈4/；,不>=90。,<不,为。；>=90。,

--->))1〉〉1—>'1>>>>j>1>

BF=AF-AB=^AD-也-&九B±E=B1B+BE=A1A+^At%.

设BF与BiE所成角为6,贝Ucos0=|cos<BF,O>I二霄饕

1%小」二噢,ABF与BiE所成角的余弦值为去

拒k+百瓦2x后衣2十不2-a55

10.答案|a+|b-c;i

解析连接AM,贝1」说与1+俞=-前+](AB+AC)=|a+|b-c,

---»--->--->1--->--->1

CN=AN-AC=-AB-AC=-a-b.

22

设正四面体的棱长为1.

易知a|=|b|=|c|=1,a•b=a,c=b,c=|.

设异面直线DM与CN所成角为0,则

111

1(白+»(衿州|12-剑2—a・Z?-a・c+b•c

cos9=|cos<DM,CN>\--42

V3V33-6,

—2X—244

11.解析⑴不二而+布+反=一汨+近-丽=-抽-丽-M-c-b-a.

(2)由题意知|a|=2,|b|=2,|c|=3,

a•b=0,a•c=2X3X-=3,b•c=2X3X-=3.

22

VCO=1cl7=|(a+b+c),

A\C0\=R(a+b+c)2

=J[(a2+b2+c2+2a•b+2a•c+2b•c)

=/x/+22+32+0+2x3+2x3)等.

12.证明(1)易得BID=BICI+CID=BICI+：BIB,BD=BC+CD=B1C1-

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