河南省三门峡市陕县实验中学高三数学理联考试卷含解析

河南省三门峡市陕县实验中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合,则A∩B＝A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设集合A＝B＝，从A到B的映射在映射下，B中的元素为（4，2）对应的A中元素为（

）A．（4，2）

B．（1，3）

C．（6,2）

D．（3,1）参考答案：D3.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1，则半径r的取值是(

)A．(4，6)

B．［4，6)

C．(4，6］

D．［4，6］参考答案：A4.已知函数，则下列结论正确的是（

）A.此函数的图象关于直线对称

B.此函数的最大值为1C.此函数在区间上是增函数

D.此函数的最小正周期为

参考答案：C5.函数的定义域是A.

B.

C.

D.参考答案：A6.已知向量,向量则的最大值，最小值分别是（

）

A． B．

C．16，0

D．4，0参考答案：答案：D7.定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有(

) A．d=1 B．d=2 C．d=3 D．d=4参考答案：A考点：进行简单的合情推理．专题：新定义．分析：先化简f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＜（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，3]时，求出f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集的长度．解答： 解：f（x）=[x]?{x}=[x]?（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1f（x）＜g（x）?[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈?；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈?；当x∈[2，3]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，3]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤3时的解集为[2，3]，故d=1．故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题8.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：B9.已知集合，，则等于A. B.C. D参考答案：A【知识点】集合运算.

A1

解析：，所以=,故选A.【思路点拨】分别求出集合A、B,在求.10.设M（，）为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是

A．（0，2）

B．[0，2]

C．（2，+∞）

D．[2，+∞）参考答案：C本题考查了抛物线的定义以及转化与数形结合的数学思想，难度中等。圆与准线相交，所以圆心到准线的距离小于半径即，所以，故选C。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：12.已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右端点分别为A、B两点，点C（0，b），若线段AC的垂直平分线过点B，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用平面几何的性质可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由线段AC的垂直平分线过点B，结合对称性可得△ABC为等边三角形，则b=?2a，即b=a，c===a，则e==，故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用平面几何的性质，以及双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．13.已知，且是大于2的整数，则的值为

.参考答案：3614.．已知函数f(x)=4解集为空集，则满足条件的实数a的值为

.

参考答案：略15.已知A（﹣1，4），B（3，﹣2），以AB为直径的圆的标准方程为．参考答案：（x﹣1）2+（y﹣1）2=13【考点】J1：圆的标准方程．【分析】因为线段AB为所求圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点即为所求圆的圆心坐标，再利用两点间的距离公式求出圆心C与点A之间的距离即为所求圆的半径，根据求出的圆心坐标与半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心为C，∵A（﹣1，4），B（3，﹣2），∴圆心C的坐标为（1，1）；∴|AC|==，即圆的半径r=，则以线段AB为直径的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=13．【点评】此题考查了中点坐标公式，两点间的距离公式以及圆的标准方程，解答本题的关键是灵活运用已知条件确定圆心坐标及圆的半径．同时要求学生会根据圆心与半径写出圆的标准方程．16.已知点O是边长为1的等边三角形ABC的中心，则（+）?（+）=．参考答案：﹣【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2，+=2．求得∠AOD=∠AOE=，再根据OD=OE=，利用两个向量的数量积的定义求得（+）?（+）的值．【解答】解：取边长为1的等边三角形ABC的边AB的中点为D，边AC的中点为E，则由题意可得=2，+=2．而由等边三角形的性质可得，OA=2OD，OD⊥AB，∴∠AOD=，同理可得，∠AOE=．再根据OD=OE=?=，可得（+）?（+）=2??2=4=4×××cos=﹣，故答案为：﹣．17.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为

参考答案：答案：20三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2），，求的取值范围.参考答案：（1）当时，，①当时，，令即，解得，②当时，，显然成立，所以，③当时，，令即，解得，综上所述，不等式的解集为．（2）因为，因为，有成立，所以只需，化简可得，解得，所以的取值范围为．19.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线的顶点，直线与椭圆交于，两点，且点的坐标为，点是椭圆上异于点,的任意一点，点满足，，且，，三点不共线.（1）求椭圆的方程；（2）求点的轨迹方程；（3）求面积的最大值及此时点的坐标.参考答案：（1）；（2），除去四个点，，，；（3），点的坐标为或.试题分析：（1）由双曲线的顶点得椭圆的焦点，由椭圆的定义得的值，利用即可得椭圆的方程；（2）设点，先写出，，，的坐标，再根据已知条件可得，，代入，化简，即可得点的轨迹方程；（3）先计算的面积，利用基本不等式即可得的面积的最大值.试题解析：（1）解法1：∵双曲线的顶点为,,…………1分∴椭圆两焦点分别为,.设椭圆方程为，∵椭圆过点，∴，得.

………2分∴.

………3分∴椭圆的方程为.

………4分解法2:∵双曲线的顶点为,,

…1分∴椭圆两焦点分别为,.设椭圆方程为，∵椭圆过点，∴.

①

………2分∵,

②

………3分由①②解得,.∴椭圆的方程为.

………4分（2）解法1：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，∴，，，.由,得，……5分即.

①同理,由,得.

②

……………6分①②得.

③

………7分由于点在椭圆上,则，得,代入③式得.

当时，有，

当，则点或,此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程.

………8分当点与点重合时，即点，由②得，解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.………9分解法2：设点，点，由及椭圆关于原点对称可得，∵，，∴，.∴，①

……5分.②

……6分

①②得.

(*)

………7分∵点在椭圆上,

∴，得,代入(*)式得，即,

化简得.

若点或,此时点对应的坐标分别为或，其坐标也满足方程.

………8分当点与点重合时，即点，由②得，解方程组得点的坐标为或.同理,当点与点重合时，可得点的坐标为或.∴点的轨迹方程为,除去四个点,,,.…………9分(3)解法１：点到直线的距离为.△的面积为………10分

.

………11分而（当且仅当时等号成立）∴.……12分当且仅当时,等号成立.由解得或

………13分∴△的面积最大值为,此时,点的坐标为或.…14分解法２：由于，故当点到直线的距离最大时，△的面积最大．………10分设与直线平行的直线为，由消去，得，由，解得．………11分若，则，；若，则，．…12分故当点的坐标为或时，△的面积最大，其值为．………14分考点：1、椭圆的方程；2、双曲线的方程；3、直线与圆锥曲线；4、基本不等式；5、三角形的面积；6、动点的轨迹方程.20.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（m为参数），直线l交曲线C1于A，B两点；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin（θ﹣），点P（ρ，）在曲线C2上．（1）求曲线C1的普通方程及点P的直角坐标；（2）若直线l的倾斜角为且经过点P，求|PA|+|PB|的值．参考答案：【分析】（1）消去参数，求曲线C1的普通方程，求出P的极坐标，即可求出点P的直角坐标；（2）若直线l的倾斜角为且经过点P，写出参数方程代入x2﹣y2=4，整理可得t2+8t+12=0，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程是（m为参数），消去m可得x2﹣y2=4，，ρ=2，∴点P的直角坐标为（1，）；（2）直线l的倾斜角为且经过点P，参数方程为，代入x2﹣y2=4，整理可得t2+8t+12=0，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=﹣8，t1t2=12，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=821.已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）对，都有，求实数a的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）分类讨论去绝对值分别求得不等式组的解，取并集即可.（2）根据（1）中去绝对值后的f（x）的解析式，分别分离参数求得相应的最值，解出a的范围取交集即可．【详解】（1）