2024高考数学讲义：函数

2024高考数学讲义：函数

目录

1.函数及其表示................................................................1

2.函数的单调性与最值........................................................13

3.函数的奇偶性及周期性......................................................24

4.二次函数与塞函数..........................................................37

5.指数函数..................................................................48

6.对数函数...................................................................60

7.函数的图象................................................................72

8.函数与方程................................................................85

9.函数模型及其应用..........................................................96

1.函数及其表示

课程标准考向预测

1.通过丰富实例，进一步体会函数

是描述变量之间的依赖关系的重要数学

模型，在此基础上学习用集合与对应的

考情分析：以基本初等函数为载

语言来刻画函数，体会对应关系在刻画

体，考查函数的表示法、定义域，分段

函数概念中的作用；了解构成函数的要

函数以及函数与其他知识的综合仍是高

素,会求一些简单函数的定义域和值域.

考的热点，题型既有选择、填空题，又

2.在实际情境中，会根据不同的需

有解答题，难度中等偏上.

要选择恰当的方法（如图象法、列表法、

学科素养：数学抽象、数学运算.

解析法）表示函数.

3.通过具体实例，了解简单的分段

函数，并能简单应用.

❷❽分步落实

V学生用书P22

I整知识I........................................................>»

第1页共106页

1.函数的定义

函数

前提条件集合A,8是两个非空的数集

对应按照某种确定的对应关系/,使对于集合A中的任意一个数

关系尤，在集合B中都有唯一确定的数/U)和它对应

名称称/：A—B为从集合A到集合3的一个函数

记法y=*x),

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y=/U),xGA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义

域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值

域.显然，值域是集合8的子集.

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数

相等，这是判断两函数相等的依据.

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法.

［注意］函数图象的特征：与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用

这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.

3.分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关

系，这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是

一个函数.

［注意］分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段

定义域的并集，值域是各段值域的并集.

?常用结论

(1)直线无是常数)与函数y=/(x)的图象有0个或1个交点.

(2)判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.

I练基础I..............................................................»>

第2页共106页

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)

(1)函数y=/(x)的图象与直线尤=1有两个交点.()

(2)定义域相同，值域也相同的两个函数一定是相等函数.()

(3)二次函数y=f—1的值域可以表示为｛y|y=f—1,x《R｝,即为｛y|y孑

-1).()

(4)分段函数是由两个或几个函数组成的.()

答案：⑴X⑵X(3)V(4JX

10g3X,X>0厂

2.已知函数於尸，则欢一小))=()

z

1Kx,xW0

A.-2B.2C.-1D.1

D区一小)=3,则胆一小))=/[3)=log33=l,故选D.]

3.(多选)(2020.海南海口第四中学期中)下列各组函数表示同一函数的是

()

A..*x)=l,g(x)=x°

B.火x)=N?,g(x)=|x|

c.火x)=x+l,g(x)=±7

x,x20,

D.兀r)=|x|,g(x)="

〔一x，x<0

BD[对于A项，y(x)=l的定义域为R,g(x)=x°的定义域为｛x|九WO｝,两

个函数的定义域不同，所以它们是不同函数；对于B项，段)=正=国的定义

域为R,g(x)=|x|的定义域为R,且两个函数的对应关系相同，所以它们是同一

f一1

函数；对于C项，,/(x)=x+l的定义域为R,g(x)=一的定义域为｛x|xWl｝,

41

两个函数的定义域不同，所以它们是不同函数；对于D项，X-V)=W=

x,x20,\x,x20,

g(x)=1两个函数的对应关系与定义域都相同，所以它

~x,x<0,1—x,x<0,

们是同一函数.故选BD.]

4.函数yuor2—6x+7a(aW0)的值域为［―2,+°°),则a的值为()

A.-1B.-C.1D.2

第3页共106页

C［由函数了=加一6x+7o（aW0）的值域为［—2,+8）知公>（）,且当工=一

5，即x=（时，y=aX（\）2—6X1+7.=—2,即7屋+2a—9=0,所以a=

9

1或。=一］（舍去）.］

5.已知5X）=MX+3，若|-2）=0,则a的值为.

解析：因为人x）=-x+3+［二，

所以/（一2）=<-2+3+_；+.=0,

解得«=1.

答案：1

6.如果jg）=亡；，则式》）=•

解析：由/J）=~T~，知xWO且xWL

J\xj1-X

令;=t,得x=：QWO且r#l）,

1

，加）=~4==（学0且左1）,

=

•A,-__11(xWO且xWl).

答案：(XWO且X#1)

v学生用书P23

求函数的定义域

［题组练透］

1.函数/）=,1-4/+ln（3x—l）的定义域为（）

A.成，1）B.（；,3］

第4页共106页

,-----11-4f0,]

B[要使函数/+1II(3L1)有意义，则有J.，八=Q

13x—1>0。

cxW3.故选B.]

2.如果函数_/U）=ln（—2%+〃）的定义域为（-8,1）,那么实数。的值为

()

A.-2B.-1

C.1D.2

D[因为一2x+a>0,所以x号，又因为函数定义域为（一8,1）,所以搭=

1,所以a=2.]

3.函数y=TZT7+的定义域为

[2-kl^O,fxW±2,

解析：由2I、八得，I4所以函数的定义域为{RxW—1

[x2—1NO,—1或九N1.

或xN1且xW±2}.

答案：{x|x<-1或xNl且xW±2}

4.已知函数y=/（x）的定义域为[-8,1],则函数g（x）=/）的定义

域是.

9

解析：由题意得一8W2x+1W1,解得一/WxWO,由x+2W0,解得xW

-2,故函数的定义域是U(-2,0].

9

答案-

-2-2U(-2,01

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）

有意义为准则，列出不等式或不等式组求解（如题1）；对于实际问题，定义域应

第5页共106页

使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

求函数的解析式

(1)已知二次函数./U)满足y(2x+l)=4/-6x+5,求./U)的解析式；

(2)已知，求yu)的解析式；

(3)已知7U)满足纨x)+/g)=3x-l,求ZU)的解析式.

t—1

解析：⑴法一：(换元法)令2x+l=*/WR),则x=-^—,所以刖=

4(三12-6X—+5=户-5/+9QWR),所以,危：)=*2—5X+9(XWR).

法二：(配凑法)因为/(2r+l)=4/-6x+5=(2x+l)2-l(k+4=(2x+l)2-

5(2x+1)+9,所以人均二%2—5x+9.

法三：(待定系数法)因为/U)是二次函数，所以设40=加+法+以4/0),

则/(2x+l)=a(2x+1)2+/>(2X+1)+,=4加+(4。+2/?)X+“+/?+，.因为,/(2x+l)

{4a=4,(a=\,

4a+2b=-6,解得{匕=-5,

a+b+c=5,lc=9.

所以兀c)=f—5x+9.

2

(2)由于4+5)=V+E=(x+3-2,

所以—2,%22或冗<—2,

故外)的解析式是人幻=/一2(x22或1〈一2).

(3)已知=3x—1①，

第6页共106页

以《代替①中的MxWO),得

2/Q+Ax)=|-1②，

3

①X2—②，得3/U)=6x—;—1,

故火x)=2x—:—|(xWO).

［注意］由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求

函数的解析式时，如果定义域不是R,一定要注明函数的定义域.

一.—___I______________~――____

-—I=}.

1.（多选）（2020•台州期中）已知函数/U）是一次函数，满足用（x））=9x+8,则

7U)的解析式可能为()

A./x)=3x+2B.7U)=3x—2

C./U)=-3x+4D./(x)=-3x+4

AD［设yu)=丘+伙上工0),

因为欧%))=9尤+8,

所以心》））=依比+与+b=3x+妨+b=9x+8

点=9,k=3,k=一3,

所以，解得或'

Jcb+b=8,b=2,/>=—4.

第7页共106页

所以火x)=3x+2或4¥)=—3x—4.

故选AD.]

2.已知人1—cosx)=sin2%,则於)=.

解析：人1—cosx)=sin2%=1—cos?x.令1—cosx=K[0,2],则cosx=

1—3所以>f)=l—(1-—=2f一己r£[0,2].

答案：2x—x2,X£[0,2]

分段函数

角度一分段函数的求值问题

x+',x>2,

(1)(2020.山东蒲泽市模拟)已知函数/)=jx—2则顺1))

、/+2,xW2,

=()

A.—2B.2

C.4D.11

—1(x^2)

(2)(2020.湖北省部分重点中学联考)设函数若加”)

Jogw(0<x<2).

=3,则式|—m)=.

解析：(1)因为/(1)=12+2=3,所以顺1))=/[3)=3+占=4.故选C.

(2)当〃[22时，w2—1=3,所以〃?=2或〃z=—2(舍)；

当0</w<2时，log2机=3,所以机=8(舍).

所以〃2=2.所以J(|—)=log21=-1.

答案：⑴C(2)-1

用归纳升华

分段函数的求值问题的解题思路

(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解

析式求值，当出现胆a))的形式时，应从内到外依次求值.

(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求

出相应自变量的值，切记要代入检验.

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角度二分段函数的方程、不等式问题

（2020•广东六校联盟第二次联考）已知函数/）={'，若於

x>0

-4）次2x—3）,则实数x的取值范围是（）

A.（―1,+°°）B.（一8,—1）

C.（-1,4）D.（一8,1）

"]+《xW0

C[函数；在（一8,0]上是减函数，在（0,+8）上函数

x>0

fx—4Vo

值保持不变，若/（x—4）次2x—3）,则彳或x—4<2x—3W0,解得“£（一

.2x—3三0

1,4）,故选C.]

恸归纳升华

已知函数值（或函数值范围）求自变量的值（或取值范围）

（1）先根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值（或取

值范围）是否符合相应段的自变量的取值范围，然后将各段的结果求并集即可;

（2）如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解.

变式训练

元+1,xNO,

1.设函数段尸」八则欢—1))=()

A.|B.啦+1

C.1D.3

D[由题意知五一1)=2,因此胆一l))=/[2)=2+l=3.故选D.]

yfx,0<x<l,1

2.设危)=j若%)=尬+1),则4])=()

A.2B.4

C.6D.8

C[法一：当0<«<l时，a+l>l.

所以4a)=犯，/(a+l)=2(a+l—1)=2A.

由_f(a)=f(a+1)得"\/^=1ci,

第9页共106页

所以.

此时式[)=A4)=2X(4-1)=6.

当a》l时，«+1>1,

所以/(a)=2(a—l),J(a+l)=2(a+l-l)=2A.

由犬。)=犬。+1)得2(。-1)=2”，无解.

综上，,若)=6.故选C.

法二：因为当0a<1时，危)=#，为增函数.

当时，«r)=2(x—1),为增函数.

又为a)=f(a+l),所以3=2(a+l—l),

所以a=；.

所以©)=14)=6.]

'/2+尤,%20,

3.已知函数°:’若以穴①一穴一。)]>0,则实数a的取值范

、3x9x<0,

围为()

A.(1,+°°)B.(2,+°°)

C.(一8,-1)U(1,+°o)D.(—8,-2)u(2,+°o)

D[当a〉0时，不等式a[/(a)—大—a)]>0可化为/十^—3a〉0,解得a>2.当

a<0时，不等式ci\f^a)—fi—a)]>0可化为一a2—2a<0,解得a<—2.综上所述，a

的取值范围为(-8,-2)U(2,+8).]

微专题系列4[交汇创新]

新定义下的函数问题

所谓''新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或

尚未介绍的一类函数.函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的

概念、新的运算法则、或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种

“新定义”去解决相关的问题.

第10页共106页

(多选X2020•广东深圳3月模拟)在平面直角坐标系中.横坐标、纵坐

标均为整数的点称为整点，若函数/U)的图象恰好经过以〃GN*)个整点，则称

函数/U)为〃阶整点函数.给出下列函数，其中是一阶整点函数的是()

A../(x)=sin2xB.g(x)=j?

C.//(x)=(g尸D.O(x)=lnx

AD［对于函数>U)=sin2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以

它是一阶整点函数；对于函数g(x)=x\它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,

1),…，所以它不是一阶整点函数；对于函数/?(》)=《尸，它的图象(图略)经过

整点(0,1),(-1,3),所以它不是一阶整点函数，排除C,对于矶x)=lnx,

它的图象(图略)经过整点(1,0),所以它是一阶整点函数.］

变式训练

1.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数

为“同族函数”，则函数解析式为丫=_?+1,值域为｛1,3｝的同族函数有()

A.1个B.2个

C.3个D.4个

C［由f+l=l得x=0,由f+l=3得x=/,所以函数的定义域可以

是｛0,72｝,｛0,—巾｝,｛0,也，一加｝,故值域为｛1,3｝的同族函数共有

3个.］

2.若函数./U)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：

(1)▼尤GR,都有人一划+危:)=0；

l(XI)-/(X2)

(2)Vxi,X2£R,且X1WX2,都有2-------------<0.

7XI—X2

①/(x)=sinx；②Ax)=—2/；③/(x)=l—x.

以上三个函数中，“优美函数”的个数是()

A.0B.1C.2D.3

B［由条件(1),得7U)是奇函数，由条件(2),得/U)是R上的减函数.

对于①，/U)=sinx在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，的=

—2?既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，4x)=1—

第11页共106页

X不是奇函数，故不是“优美函数”.故选B.］

［友情提示］每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入''课时作业（六）”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活

页形式分册装订！

第12页共106页

2.函数的单调性与最值

课程标准考向预测

考情分析：以基本初等函数为载

体，考查函数的单调性、单调区间及函

1.借助函数图象，会用符号语言表

数最值的确定与应用，其中函数单调性

达函数的单调，最大值、最小值.

及应用仍是高考考查的热点，题型多以

2.理解函数单调性，最大值、最小

选择题为主，属中档题.

值的作用和实际意义.

学科素养：逻辑推理、数学抽象、

数学运算.

❷等分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关

V学生用书P25

I整知识I................................................

1.函数的单调性

(1)增函数和减函数

分类增函数减函数

一般地，设函数次幻的定义域为/,区间。G/,如果

要求XI,X2

对于任意XI,X2GD,且X142

要求式XI)与

都有面)<"2)都有-1)>心2)

义於2)

函数凡r)在区间D上是函数7U)在区间。上

结论

增函数是减函数

/a।■

1■W

图象描述

自左向右看图象是

自左向右看图象是

上升的

下降的

(2)单调区间的定义

第13页共106页

如果函数v=/U）在区间。上是增函数或减函数,那么就说函数y=/U）在这

一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数y=/U）的单调区间.

［注意］有多个单调区间应分开写，不能用符号“U”联结，也不能用“或”

联结，只能用“逗号”或“和”联结.

2.函数的最值

前提设函数y=/（x）的定义域为/,如果存在MdR

①对于任意的X，都有①对于任意的xe/,都有

代（）WM

条件

②存在xo£/,使得②存在XoW/,使得

1）=M,x（））=M

结论M是ZU）的最大值M是/U）的最小值

?常用结论

1.函数单调性的两个等价结论

设Dxi,X2e0（XI#X2）,则

f（X］）—f（X2）

（1）-----瓦W---->0（或（XLX2）［/U1）—./（X2）］>0）OAX）在D上单调递增.

f（1］）—f（X2）

（2y-------一—<0（或（XL元2）［/（K）—AX2）］<O）Q/（X）在。上单调递减•

X\X2

2.函数最值的两个结论

（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.

当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.

（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值（或最小值）.

I练基础I.....................................》

1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“义”）

（1）函数的单调递减区间是（一8,o）u（O,+oo）.（）

（2）具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调

性.（）

（3）若定义在R上的函数/U）有人-1）勺（3）,则函数/U）在R上为增函

第14页共106页

数・()

(4)函数y=/(x)在［1,+8)上是增函数，则函数的单调递增区间是［1,+

°°).()

(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在

定义域上是增函数.()

(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.()

答案：⑴X(2)X⑶*(4)X(5)X(6)V

2.(必修1P39习题B组T3改编)下列函数中，在区间(0,+8)内单调递减

的是()

1

A.y=~—xB.y=x^9—x

C.y=\nx-xD.丁=^

A［对于选项A,在(0,+8)内是减函数，了=%在(0,+8)内是增函

数，则y=:—%在(0,十8)内是减函数；B,c选项中的函数在(0,十8)上均

不单调；选项D中，y=e*在(0,+8)上是增函数.］

3.函数y=(2m—l)x+。在R上是减函数，则()

A.机>；B.机

-11

C.m>~2D.m<—/

B［要使y=(2m—l)x+b在R上是减函数，则2m—1<0,即机弓.］

4.设定义在［-1,7］上的函数y=/(x)的图象如图所示，则函数y=/(x)的增

区间为.

解析：由图可知函数的单调递增区间为［—1,1］和［5,7］.

答案：［-1,1］,［5,7］

2

5.(必修1P31例4改编)函数在［2，3］上的最大值是

第15页共106页

解析：该函数在［2,3］上单调递减，故当x=2时，函数取得最大值，最大

值为2.

答案：2

6❷分类突破微点拨、多维练，研透命题点

V学生用书P26

确定函数的单调性（区间）讲练型

（1）试讨论函数/）=意（aWO）在（-1,1）上的单调性;

（2）求函数«r）=—f+2|x|+l的单调区间.

解析：⑴设一1<X1<X2<1,

=a（l+占），

於D—/2）=。（1+占）—小+时）

_____a（X2—xi）

（Xl-1）（X2-1）’

由于一1<即42<1,

所以X2—Xl>0,Xl_1<O,X2~1<O,

故当4>0时，加1）一共12）>0,即/Ul）»>2）,函数/（X）在（一1,1）上递减;

当。<0时，犬笛）一父龙2）<0,即人》）勺（犬2）,函数在（一1,1）上递增.

—x2+2x+1,x2O,

W）=|—°,

一（x—1）2+2,%N0,

—<

.—（x+1）2+2,x<0.

画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为（一8,—1］和［0,1］,单调递

减区间为［―1,0］和［1,+8）.

口归纳升华

第16页共106页

1.定义法证明或判断函数单调性的步骤

2.确定函数的单调区间的方法

(1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义来求.

(2)图象法：如果贝x)是以图象形式给出的，或者/力的图象易作出，可由

图象的升、降写出它的单调区间(如本例(2)).

(3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数的单调区间.

_______I________~――__

-—1,

1.下列函数中，在区间(0,+8)上为减函数的是()

A.y=yjx+\B.y=x2—1

C.y=(1尸D.y=log2X

C［函数y=dx+l在区间［—1,+8)上为增函数；函数ynx2—1在区间

(0,+8)上为增函数；函数y=(g厂在区间(0,+8)上为减函数；函数y=Iog2_x

在区间(0,+8)上为增函数.综上所述，选C.］

2.(变条件)若将本例(2)中函数变为«r)=|-?+2x+l|,如何求解？

解析：函数〉=|一/+"+1|的图象如图所示.由图象可知，函数＞=|一

V+2尤+1|的单调递增区间为(1—啦，1)和(1+啦，+8)；单调递减区间为(一

8,1-72)和(1,1+V2).

函数单调性的应用多维型

角度一比较函数值的大小

第17页共106页

(2020.重庆模拟)已知函数_/U)的图象关于直线x=l对称，当X2>X1>1

时，［/(x2)—/(xi)］(x2—xi)<0恒成立，设a=/(—；),b=j\2),c=/e),则a,

b,c的大小关系为()

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>hD.b>a>c

D［因为yu)的图象关于x=i对称，所以.大一;)=犬|),又由已知可得

於)在(1,+8)上单调递减，所以丸2)次|)次e),即丸2)次—3)次e).］

恸归纳升华

利用函数的单调性比较大小的方法

比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数

性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题通

常选用数形结合的方法进行求解.

角度二求函数的最值

(1)函数式©=3-'+log2(x+2)在区间［-1,2］上的最大值为.

(2)(2020.深圳模拟)函数的最大值为.

解析：(1)由于y=3*在R上单调递增，y=log2(x+2)在［―1,2］上单调

递增，所以兀0在［-1,2］上单调递增，故_/U)在［-1，2］上的最大值为丸2)=

11.

(2)令I\/—+4=t,则t22,

%.•.产普=-4，

设〃(/)=/+:,则力⑺在［2,+8)上为增函数，

51

--2

2y5=7（x=0时取等号）.

-

2

2

-

5

答案：(1)11(2)|

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归纳升华利用函数单调性求最值应先确定函数的单调性，再由单调性求

最值.(可结合本节微专题理解)

[注意](1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域.

(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作

为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值.

角度三解函数不等式问题

定义在[-2,2]上的函数式X)满足(X1-X2)[AX1)—_AX2)]>O，X|WX2,且犬/

-d)>fila-T),则实数。的取值范围为()

A.[-1,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[-1,1)

C[函数/U)满足⑶-X2)[/UD-/U2)]>0,X1#X2,.•.函数在[-2,2]上单调

递增，

(—2W/—&W2,j-lWaW2,

.乂一2W2a—2W2,0<tz<2,

V2a—2<a1—a,la<l或a>2.

，0Wa<l,故选C.]

,归纳升华

利用函数的单调性求解或证明不等式的方法

若7U)在定义域上(或某一区间上)是增(减)函数，则人幻)勺1X2)0

X1<X2(X1>X2),在解决“与抽象函数有关的不等式”问题时，可通过"脱去”函

数符号'尸化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行.需

要说明的是，若不等式一边没有'了’，而是常数，则应将常数转化为函数值.如

若已知0=/1),加一1)<0,则火》一1)勺(1).

角度四求参数的取值范围或值

(3。-1)x+4a,x<l,

若/U)=《是定义在R上的减函数，则。的

—ax,x^l

取值范围为.

解析：由题意知，

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3a—1<0,畤,

1

<(367-1)X1+4〃2一访解得<>-

4\8

U>0,

4>O

所以D.

答案：ID

归纳升华

利用单调性求参数的方法

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区

间，与已知单调区间比较求参数；

(2)需注意若函数在区间［a,切上是单调的，则该函数在此区间的任意子集

上也是单调的.

变式训练

21,x<l9

i.若函数yu)=<,则函数/U)的值域是()

logu>xNl,

A.(—8,2)B.(—8,2］

C.［0,+8)D.(—8,0)U(0,2)

A［当x<l时，0<2'<2；

当时，«r)=—log比W—log21=0.

综上yu)<2,即函数的值域为(一8,2).］

2.若函数_/U)=|2尤+a|的单调递增区间是［3,+8),则。的值为()

A.-2B.2C.-6D.6

C［作y=|2x+a|的图象(图略)，由图象易知函数/U)=|2x+〃|的单调增区间

是L卷，+°°),令一？=3,得a=­6.］

3.已知函数加)=一小|,x£(—1,1),则不等式用一㈤勺(加一1)的解集为

fx2,-1<XW0,

解析：由已知得危)=彳9八।

［一力，0<x<l,

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则於）在（一1,1）上单调递减,

-1<1—m<\,

—l<m2—1<1,解得0<m<l.

{机2—1<1—m,

・・・所求解集为（0,1）.

答案：（0，1）

微专题系列5［思想方法］

求函数最值的常用方法

一、单调性法

函数兀V）=—：+伙。>0）在；，2上的值域为3，2,则a=

,b=.

解析：•••危）=一：+仇”>0）在售，21上是增函数，

•,-fi,X）min=fQ）=2，X-X）max=/{2）=2.

（-2a+h=^,

即J解得4=1,

［一升/?=2,—

答案：1|

上1利用函数的单调性求解函数的值域是最基本的方法，解题的关

键是准确确定函数的单调性.

二、不等式法

主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方

法.常用的不等式有以下几种：

伏a,h为实数）；

。+bI—

2^yjab（a20,b20）；

（a+6\2c^+b2

abf^^~2~）W-y—（a,人为实数）.

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已知函数|尤)=—肃*，则/(X)的最大值为

解析：设f=sinx+2,则fC[l,3],则sin2x=(f—2产，则g(f)=

=4一(/+9=0,当且仅当,即f=2时取等号.

答案：0

9名师点怦在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意‘‘一正"''二

定，，“三相等”，特别是“三相等”能否取到，是我们易忽略的地方，容易产生

失误.

三、换元法

换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式

去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问

题，从而求出原函数的最值.如可用三角代换解决形如/+〃=1及部分根式函

数形式的最值问题.

(1)函数兀Q=尤+2/彳的最大值为;

(2)求函数y=x-=4—J的值域.

解析：⑴设解1-%=/(/设0),所以x=l-P.所以y=/(x)=x+2qi-x

ul—F+Zfu—e+Zf+ln—a—1)2+2.所以当Z=1即X=0时，ymax=/U)max=

2.

(2)由4—fNO,得一2WxW2,

设x=2cosn]),

贝！Jy=2cos^4—4COS2<9=2COS2sin0

=2^2cos，

因it为sie+a7Te[兀不T5兀J>

所以COS(。+£)E—1,乎],

所以yd[—2也，2].

答案：(1)2(2»0一2/，2]

在使用换元法时注意换元后新元的范围(即定义域)，特别是三角

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换元后新函数的周期性对值域的影响.

四、数形结合法

数形结合法，是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象

求函数最值的一种常用方法.

a,a'b,

对a,记max{a,b}=]函数/(x)=max(|x+1|,|x—

[b,a<b,

2|}(x£R)的最小值是.

解析：令|x+l闫%—2|,

得(x+l)22(x—2)2,解得尤2T.

fk+1|,龙

所以yu)=J]

1|尤—2],x<^.

其图象如图所示：

由图象易知，当时，函数有最小值，所以/(x)min

=/8=|%|=2-

3

答案：5

❷名师点评找出函数的解析式，并作出对应图象是解题的关键.

「友情提示]每道习题都是一个高考点，每项训练都是对能力的检验，认真

对待它们吧！进入''课时作业(七)”，去收获希望，体验成功！本栏目内容以活

页形式分册装订!

第23页共106页

3.函数的奇偶性及周期性

课程标准考向预测

1.结合具体函数，了解函数奇偶性

考情分析：以理解函数的奇偶性、

的含义.

会用函数的奇偶性为主，其中与函数的

2.会运用函数图象理解和研究函数

单调性、周期性交汇的问题仍是高考考

的奇偶性.

查的热点.题型以选择、填空题为主，

3.结合三角函数，了解周期性的含

难度中等偏上.

义和几何意义、会应用简单函数的周期

学科素养：数学抽象、逻辑推理.

性.

❷等分步落实

精梳理、巧诊断，过好双基关

V学生用书P28

I整知识I........................................................»>

1.