2020-2021学年广西梧州市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年广西梧州市高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合A={%|log2%>0},B=（x\x<2},则（）

A.Ar\B=0B.AUB=RC.BQAD.AQB

2.已知函数f（x）=cos4%+sin2%,下列结论中错误的是（）

A.f（x）是偶函数B.函/（x）最小值为:

C.三是函f（x）的一个周期D.函f（x）在（0《）内是减函数

3.下列直线中，与直线2x-y+3=0平行的是（）

A.2%4-y—4=0B.x—2y4-4=0C.%4-2y—4=0D.2%—y+4=0

4.对于函数0,如果存在区间0,同时满足下列条件：

①回在区内是单调的；②当定义域是回时，叵］的值域也是S，则称S是该函数的

“和谐区间”.若函数s存在“和谐区间”，则□的取值范围是（）

A.0B.0C.0D.0

5.函数f（x）=log2x-3sinx的零点个数为（）

A.4B.3C.2D.1

6.直线《：鸳黑40。的倾斜角是（）

A.40°B,50°C.130°D.140°

7.已知函数f（x）=W，给出下面三个结论：

①函数f（x）在区间（-5,0）上单调递增，在区间（0尚）上单调递减；

②函数/（x）没有最大值，而有最小值；

③函数/（x）在区间（0,兀）上不存在零点，也不存在极值点.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

8.下列关系式中，成立的是（）.

9.已知圆G：(x-a)2+(y+2)2=4与圆G：(%+b)2+(y+2)2=1相外切，则ab的最大值为()

A.渔B.1C.7D.2V3

224

,01_"S晟a,域“

10.己知法加时=用/如期，版粉叫M：魏声!爱港沸喷刷瓦若步舂中在然=咻处连续,

01®明，@靖,网会毗

则醐的值为()

II1I]

A.-B.-C.-D.2

蠲@2

11.一个几何体的三视图如图所示，俯视图是正方形，则这个几何体的体积是

()

A.1

B.2

C.3

D.4

12.三棱锥。一ABC中，底面是等腰直角三角形ABC,LA=90°,BC=正,

DA^AC,DALAB,E,F分别为DA,BC的中点，且直线。尸与平面力BC

所成角的正切值为企，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为()

4O

-V1一O

A.5D.5

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

'做>觌福京:建弱J

13.己知函数庚崎；=d丁，则/。*期=_•

I辔,W蒯等

14.过点(2,-1),且倾斜角比直线y=：x-等的倾斜角大45。的直线方程为.

15.点P在直线4乂+3丫+20=0上，PA,PB与圆％2+y2=4相切于4B两点，则四边形P40B面

积的最小值为.

16.已知函数/■(>)=匕%2"，j；.若f(a)=2,则a=.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.设全集U=R,A=[x\^<2x<8],B={x\y=V2^}.

(I)求4nB；

(11)若(？=&氏2-2(<1+3)+(1(0+6)<0},(CiM)UC=R,求实数a的取值范围.

18.已知zn为常数，函数/(x)=A焉为奇函数.

(1)求根的值；

(11)若机>0,试判断f(x)的单调性(不需证明)；

(HI)当僧>0时，若存在xe[-2,2],使得/(e'+x-k)+f(2)W0能成立，求实数k的最大值.

19.已知正方体ABC。—4B1GD1的棱长为1.

(1)在空间中与点4距离为:的所有点构成曲面S,曲面S将正方体

ABCD-AiBiGA分为两部分，若设这两部分的体积分别为匕，

彩(其中匕>%)，求的含值；

(2)在正方体表面上与点4的距离为|旧的点形成一条空间曲线，求这

条曲线的长度.

20.已知圆C：x2+y2-4x-4y-8=0,直线/过定点P(0,l),0为坐标原点.

(1)若圆C截直线，的弦长为46，求直线，的方程；

(2)若直线，的斜率为k,直线/与圆C的两个交点为4B,且万晨丽>-7,求斜率k的取值范围.

21.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，/.ABC=60°,E,尸分别为DC,AB的中点，将△ZX4E沿

4E折起，使得/DEC=120°.

(I)求证：平面DCFJ•平面DCE；

(口)求点B到平面DCF的距离.

22.已知函数/(久)=—%3+3%2+以

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若/(x)在区间［1,3］上的最大值为10,求它在该区间上的最小值.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：•.,集合4={x|log2%>0}={x|x>1}，B={x\x<2),

•••n6={x|l<x<2},

AUB=R.

故选：B.

分别求出集合A和B,再求出4nB和AUB,由此能求出结果.

本题考查并集、交集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运

用.

2.答案：D

解析：解：对于4，函数/(x)=cos。+siMx,其定义域为R,

对任意的xGR,有/(-x)=cos4(—x)+sin2(-x)=cos4x+sin2x=/(x),

所以〃x)是偶函数，故A正确；

对于B,/(X)=cos4x—cos2x+1=(cos2x—i)2+支

当cosx=争寸f(%)取得最小值*，故B正确；

对于C,/(%)=(cos2x-1)2+~

,l+cos2x17.3

—一/X+z

COS22X,3

l+cos4x.3

=-^+z

COS4X,7

它的最小正周期为r=与=》故c正确；

对于。，f(x)=：cos4x+：,当x€(0,g)时，4xC(0,2兀)，

88N

f(x)先单调递减后单调递增，故。错误.

故选：D.

根据奇偶性的定义，判断函数/(乃是偶函数；

化简函数f。)，求出它的最小值为京

化简/⑶，求出它的最小正周期为条

判断/⑶在Xe（0吟）上无单调性.

本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合性题

目.

3.答案：D

解析：解：由题可知2x-y+3=0的斜率k=2,根据直线平行，斜率存在时，斜率相等的条件可

知，

42%+、一4=0的斜率一2,不满足题意，

B：x—2y+4=0的斜率不满足题意，

C：x+2y—4=0的斜率—%不满足题意，

D：2x-y+4=0的斜率2,满足题意.

故选：D.

由题可知2x-y+3=0的斜率k=2,根据直线平行，斜率存在时，斜率相等的条件可进行判断.

本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础试题.

4.答案:A

解析：试题分析：由题意可得函数0在区间回上是单调的，所以

区1,则国，故加、n是方程回的两个同号的实数根，即方程0有两个同号的实数根，注意

到0，故只需因，解得国，结合国，可得冈。故选A。

考点：函数的单调性

点评：本题考查函数单调性的判断和一元二次方程的根的分布，属基础题.

5.答案：B

解析：解：函数/（无）=log2x-3s讥x的零点个数

等价于函数y=log?》和y=3sinx的图象的公共点

个数，

在同一个坐标系中作出它们的图象可得它们有3个

公共点，

故选：B

原问题等价于函数y=log2%和y=3sinx的图象的公共点个数，作出它们的图象可得.

本题考查函数的零点的个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属基础题.

6.答案：B

解析：解：•••』=/

sm40cos40

HPcos40°x=sin400y+sin40°,

所以直线l的斜率为k=丝努=tan50°,

stn40°

故直线，的倾斜角为50。，

故选B.

由题意将直线I先化为一般方程坐标，然后再计算直线，的倾斜角.

此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进

行求解，这也是每年高考必考的热点问题.

7.答案：D

解析：解：•.•函数/(%)=詈表示(0,0)与(x,sinx)点连线的斜率,

.•.当xe(-],())时，函数/(x)单调递增,

当xe(0《)时，函数/(%)单调递减，故①正确；

当0时，/(x)-»1,而故/'(%)<1,即函数没有最大值，

当(0,0)与(x,s讥x)点连线与y=sin的图象相切时，/(x)有最小值，

故函数f(x)没有最大值，而有最小值，

故②正确；

当x6(0,兀)时，sinx0,故/(x)40,即函数/'(x)在区间(0,兀)上不存在零点，

而x6(0,兀)时，函数/(%)单调递减，也不存在极值，

故③正确：

故正确的结论的序号是①②③，

故选：。

由函数f(x)=等表示(0,0)与(x,s讥为点连线的斜率，结合正弦型函数的图象和性质，逐一分析三个

结论的真假，可得答案.

本题以命题的真假判断为载体，考查正弦函数的图象和性质，其中正确理解函数/Q)=詈表示(0,0)

与(x,sinx)点连线的斜率，是解答的关键.

8.答案：A

解析：试题分析：I二।=11』如期可;油雕倒卬/=1］瞬北］瞰・；:lh密=31，故选A

…"-E

考点：指数对数比较大小问题

9答案:C

解析：

【试题解析】

本题考查圆与圆之间的位置关系，基本不等式等知识，属于中档题.

根据圆与圆之间的位置关系，两圆外切则圆心距等于半径之和，得到|a+b|=3.利用基本不等式即

可求出ab的最大值.

解：由已知，

圆G：(工一。)2+。+2)2=4的圆心为。1(七一2),半径ri=2.

圆C2：(x+b)2+(y+2)2=1的圆心为。2(—6,—2),半径七=1.

•・•圆Ci：—a/+(y+2)2=4与圆C2：(%+b)2+(y+2)2=1相外切，

•••IGGI=丁1+72・

即|a+b|=3.

由基本不等式，得必4(竽)2=：.

24

故选：C.

10.答案：B

AM'IZf>A*AM.IR——l'vAHH挑"~~|1工

解析.试题分析.蒯鲍郁H=旗向a-------------=—AS-------------------.:=1m------――-

=1嗑，

痣=一g："陶=3

考点：函数连续性

点评：若函数例喻在出处有定义，且黑木施磷=里冷河通=.施嚼，则函数鲫喻在幅处连续

11.答案：B

解析：解：由三视图还原原几何体如图：

该几何体为一个四棱锥，其底面为对角线长为2的正方形,

故其底面积为&xV2=2.

其中241底面ABCD,且PC=g.

PA=J(713)2-22=3-

则力-ABCD=§X2X3=2.

故选：B.

由三视图可得原几何体是四棱锥，其底面ABC。为对角线长为2的正方形，且侧棱P41底面4BCD,

由已知求出底面积及高，则体积可求.

本题考查空间儿何体的三视图，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

12.答案：C

解析：解：如图，由。4_L4C,DALAB,得D4JL平面ABC,

又AF==圣直线。?与平面ABC所成角的正切值为企,

.-.DA=1.

以4为坐标原点，分别以48,AC,AD所在直线为x,y,z轴

建立空间直角坐标系，

则B(1,O,O),E(0,0,1).C(O,1,O),0(0,0,1).

BE-CD=(0,—1,1)，

Vio

cos<BE,CD>—

|B£|'|CD|io•

.♦.异面直线BE与CC所成角的余弦值为噜.

故选：C.

由已知可得，平面ABC,并求得4。=4B=4C=1,以4为坐标原点，分别以AB,AC,力。所在

直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，再由空间向量求解.

本题考查空间角的求法，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.

13.答案：

4!

解析：试题分析：£频3=1噫［=飞笺々=一&.舞:耀京=£1闻=鬻电=9.

考点：1.分段函数；2,指数与对数运算.

14.答案：y=2x—5

解析：解：设过点(2,-1)的直线的倾斜角为8,直线y=：工一等的倾斜角为十，贝|J：e-ef=

45°,tand1=

3

tanO--,,

・••tan(0—夕)=—i--=1,解得tern。=2,

l+-tan6

二所求直线方程为：y+1=2(x—2),即y=2x—5.

故答案为：y=2x-5.

根据条件可求出过点(2,-1)的直线的斜率，然后根据直线的点斜式方程即可写出所求直线的方程.

本题考查了两角差的正切公式，直线的点斜式方程，考查了计算能力，属于基础题.

15.答案：1

解析：解：根据题意，圆的方程为％2+y2=4,则圆心(0,0),半径r=2,

又由PA=PB,PA1OA,PB1OB,

则SpAOB=2sApa。=2x—xPA-AO=2PA,

在RtAPA。中，^PA2=PO2-r2=PO2-4,

则当P。最小时，PA最小，此时所求的面积也最小，

点P是直线4x+3y+20=0上的动点，则PO的最小值为d=擢^=4,

P4的最小值为Jc/2—4=2A/3»

故SPAOB=2PA>4V3,

故答案为：45/3.

由题意可得，PA=PB,PA1OA,PB1OB,分析可得=2xgxP4♦4。=2P4

转化为求PA最小值，由于PA2=p02-4,当p。最小时，P力最小，结合点到直线的距离公式可知当

P0J.1时，P。有最小值，由点到直线的距离公式可求答案.

本题考查直线与圆的位置关系，根据题意得出P。12时所求圆的面积最小是解本题的关键.

16.答案:4

解析：

由函数f(x)=g%2%::二,分类讨论可得满足条件的a值.

本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，函数求值，属于基础题.

解：r(x)=｛哭2%;2

当a<0时，/(a)=2。=2,

解得：a=1(舍去)；

当a>0时，f(a)=log2a=2,

解得：a=4(满足a>0)；

综上可得：a=4,

故答案为：4.

17.答案：解：(1)由［±2*<8,解得一2Wx<3,即4=［-2,3),

由2-%>0,解得x42,即B=(-8,2],

••AC\B=[—2,2],

(II)C={x\x2-2(a+3)+a(a+6)<0}=(a,a+6),

vCyA=(-oo,-2)U[3,+8),(CuA)UC=R,

MJ"，解得一3口<一2,

故Q的取值范围为［-3,-2).

解析：【试题解析】

(I)化简4,B根据交集的定义即可求出；

(口)化简。，根据补集的定义求出Q4再根据(QM)UC=R即可求出.

此题考查了交、并、补集的混合运算，集合间的包含关系，以及交集及其运算，熟练掌握各自的定

义是解本题的关键.

18.答案：解：(I)】•函数/(乃=霁众为奇函数，

••.对于其定义域内的任意x有/(一幻=一，。)，即

黑三=一三高,整理得：On?—1)(2工+1)=°恒成立.

m2=1,m=±1；

(H)若m>0,则?n=l,函数/(%)=^=-1+岛・

•••为增函数,

fM=淆7=系-1为减函数；

(HI)当m>0时，函数/(%)为减函数,

2X-1

又/(r)=高=通=一密=一3

~2X-

■■/(X)为奇函数.

由存在[-2,2],使得/(靖+工-卜)+/(2)W0能成立，得

存在xG[-2,2],使得/(峭+x-k)<-/(2)=/(-2)能成立.

即e*+x—k>—2,也就是k<ex+x+2能成立.

令g(x)=ex+x+2.

则g'(x)=ex+1>1.

•••g(x)=/+x+2在[-2,2]上为增函数.

g(X)max=e2+4.

・•・若存在xe[-2,2],使得/(/+万一/0+/(2)40能成立，则实数k的最大值为e?+4.

解析：(I)直接由f(一乃=一/Q)恒成立整理得到(m2-1)(2、+1)=0恒成立，由此求得m的值；

(11)当771>。时有m=1,代入原函数借助于指数函数的单调性判断/(x)的单调性；

(见)判断出函数f(x)的奇偶性，结合单调性把存在xe[-2,2],使得/(婚+x-/c)+/(2)<0能成立,

转化为存在xG[-2,2],使得k<ex+x+2能成立.利用导数求出函数g(x)=ex+x+2在[-2,2]上

的最大值得答案.

本题考查了函数恒成立问题，考查了函数的性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用导数求函

数的最值，解答此题(HI)的关键在于对题意的理解，是中档题.

19.答案：解：(1)根据彩对应的几何体为空间中与点4距离不大于[的所有点构造的几何体，

即一个:球，

8

该球的半径为：

•*,^2=-X-7TX(-)3=

N83162

“=1-毒，

皿匕_1一击_162-加

川吃一击—〃.

(2)由题意：以4球心，|百为半径的球面与正方体AG各侧面的截交线均为圆弧段.

球面与侧面AC、AB1、4久所截得的圆弧段，如下图所示:

DC

由=AB=1,则cos4EAB=遗，则=g进而/EAF=£,

32^6

故这三段弧可视作均以4为圆心，圆心角均为｝半径均为:百的圆弧，

63

从而相应圆弧段长为£x2遮=3兀；

639

球面与侧面G4、GB、GD所截得的圆弧段，

可视作分别以4、B、D为圆心，圆心角均为5，

半径均为J(|V3)2-I2=4的圆弧，

从而相应圆弧段长为£X色=更兀；

236

从而球面与整个正方体相相截所得的空间区间长为3x(勺兀+隹兀)=三行兀.

16976

解析：(1)根据彩对应的几何体为空间中与点a距离不大于!的所有点构造的几何体，即一个5球，求

出体积后，进而求出匕，可得看值；

(2)在正方体表面上与点a的距离为|旧的点形成的曲线是六段圆弧，分别求出其长度后，相加可得

答案.

本题考查的知识点是球的体积，弧长公式，正方体的几何特征，球的几何特征，要求有较强的空间

想像能力及运算能力，属于难题.

20.答案：解：(1)根据题意，设直线I与圆C的交点为4、B-,

圆C：x2+y2—4%—4y—8=0,即(％—2)2+(y—2)2=16.

则圆心为(2,2),半径r=4；

若圆C截直线I的弦长为4百，则圆心C到直线I的距离d=J16-哼)2=2，

若直线斜率k不存在，可得方程为：x=0,符号题意.

若直线斜率k存在，可设方程为：y—1=kx,即kx—y+l=0；

此时有d=—=2,解可得k=/

则直线的方程为y=+即3x+4y—4=0；

综合可得：直线，的方程为％=0或3x+4y—4=0.

(2)根据题意，可设直线方程为kx-y+l=0,

直线I与圆C的两个交点为4、B,设4(X]%),B(x2,y2),

则有"M,仁°，

(x4-y—4x—4y—8=0

整理可得：(1+fc2)%2—(2k+4)x-11=0,

则mil与।+不=诉2fc,+4与右=一五声11,

2

则为力=(kxi+l)(/cx2+1)=fc%ix2+k(X]+x2)+1=广;

又由雨•而>—7,则y,2+X]X2=一_黑产-三>—7,

变形可得：/c2-4/c+3<0,

解可得：1<k<3,

即k的取值范围为(1,3).

解析：(1)利用点斜式设出方程，根据直线被圆截得弦长公式即可求解.需对k是否存在进行讨论；

(2)利用设而不求的思想，设出儿B坐标,联立直线与圆的方程可得(1+k2)x2-(2k+4)x-11=0,

2

根据韦达定理可得+X2=霍I，Xxx2=一3篙，进而可得乃乃=(kx：i+l)(/cx2+1)=kxrx2+

Zc(xi+X2)+1，又由万5•函>一7,则丫1%+与小=当沪一部>一7,变形解可得k的取值

范围，即可得答案.

本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线和圆的位置关系以及弦长公式，属于综合题.

21.答案：证明：(I)由已知4EJ.DE,AE1CE,DEr\CE=E,

AE