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文档简介

2023-2024学年上海市大学市北附属中学高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中,既是奇函数,又是上的单调函数的是()A. B.C. D.2.若双曲线:绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象,则的离心率等于()A. B. C.2或 D.2或3.若满足约束条件则的最大值为()A.10 B.8 C.5 D.34.双曲线的渐近线方程为()A. B.C. D.5.已知双曲线满足以下条件:①双曲线E的右焦点与抛物线的焦点F重合;②双曲线E与过点的幂函数的图象交于点Q,且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点.则双曲线的离心率是()A. B. C. D.6.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为()A.7 B.6 C.5 D.47.设函数,当时,,则()A. B. C.1 D.8.若为纯虚数,则z=()A. B.6i C. D.209.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.10.关于函数,有下述三个结论:①函数的一个周期为;②函数在上单调递增;③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.② C.②③ D.③11.已知函数的零点为m,若存在实数n使且,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.12.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列是等比数列,,则__________.14.的展开式中的常数项为______.15.点是曲线()图象上的一个定点,过点的切线方程为,则实数k的值为______.16.已知复数满足(为虚数单位),则复数的实部为____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若,求证:.(2)讨论函数的极值;(3)是否存在实数,使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若,设,证明:,,使.19.(12分)在锐角中,,,分别是角,,所对的边,的面积,且满足,则的取值范围是()A. B. C. D.20.(12分)某贫困地区几个丘陵的外围有两条相互垂直的直线型公路,以及铁路线上的一条应开凿的直线穿山隧道,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,以所在的直线分别为轴,轴,建立平面直角坐标系,如图所示,山区边界曲线为,设公路与曲线相切于点,的横坐标为.(1)当为何值时,公路的长度最短?求出最短长度;(2)当公路的长度最短时,设公路交轴,轴分别为,两点,并测得四边形中,,,千米,千米,求应开凿的隧道的长度.21.(12分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知:,:,:.(1)求与的极坐标方程(2)若与交于点A,与交于点B,,求的最大值.22.(10分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

对选项逐个验证即得答案.【详解】对于,,是偶函数,故选项错误;对于,,定义域为,在上不是单调函数,故选项错误;对于,当时,;当时,;又时,.综上,对,都有,是奇函数.又时,是开口向上的抛物线,对称轴,在上单调递增,是奇函数,在上是单调递增函数,故选项正确;对于,在上单调递增,在上单调递增,但,在上不是单调函数,故选项错误.故选:.【点睛】本题考查函数的基本性质,属于基础题.2、C【解析】

由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为,所以或,由离心率公式即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为,又双曲线的焦点既可在轴,又可在轴上,所以或,或.故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的概念,考查了分类讨论的数学思想.3、D【解析】

画出可行域,将化为,通过平移即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值.【详解】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数为直线方程的斜截式,.由图可知当直线过时,直线在轴上的截距最大,有最大值为3.故选:D.【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为的形式,在可行域内通过平移找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.4、A【解析】

将双曲线方程化为标准方程为,其渐近线方程为,化简整理即得渐近线方程.【详解】双曲线得,则其渐近线方程为,整理得.故选:A【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的简单性质的应用.5、B【解析】

由已知可求出焦点坐标为,可求得幂函数为,设出切点通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切点坐标,然后求解双曲线的离心率.【详解】依题意可得,抛物线的焦点为,F关于原点的对称点;,,所以,,设,则,解得,∴,可得,又,,可解得,故双曲线的离心率是.故选B.【点睛】本题考查双曲线的性质,已知抛物线方程求焦点坐标,求幂函数解析式,直线的斜率公式及导数的几何意义,考查了学生分析问题和解决问题的能力,难度一般.6、C【解析】

由二项式系数性质,的展开式中所有二项式系数和为计算.【详解】的二项展开式中二项式系数和为,.故选:C.【点睛】本题考查二项式系数的性质,掌握二项式系数性质是解题关键.7、A【解析】

由降幂公式,两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,然后由正弦函数性质求得参数值.【详解】,时,,,∴,由题意,∴.故选:A.【点睛】本题考查二倍角公式,考查两角和的正弦公式,考查正弦函数性质,掌握正弦函数性质是解题关键.8、C【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念,可得结果.【详解】∵为纯虚数,∴且得,此时故选:C.【点睛】本题考查复数的概念与运算,属基础题.9、A【解析】

由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.【详解】由三视图还原原几何体如图,该几何体为组合体,上半部分为半球,下半部分为圆柱,半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.则几何体的体积为.故选:.【点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积,关键是由三视图还原原几何体,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10、C【解析】

①用周期函数的定义验证.②当时,,,再利用单调性判断.③根据平移变换,函数的值域等价于函数的值域,而,当时,再求值域.【详解】因为,故①错误;当时,,所以,所以在上单调递增,故②正确;函数的值域等价于函数的值域,易知,故当时,,故③正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的性质,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于中档题.11、D【解析】

易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,∴,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,∴.故选D.【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.12、D【解析】

由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据等比数列通项公式,首先求得,然后求得.【详解】设的公比为,由,得,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算,属于基础题.14、160【解析】

先求的展开式中通项,令的指数为3即可求解结论.【详解】解:因为的展开式的通项公式为:;令,可得;的展开式中的常数项为:.故答案为:160.【点睛】本题考查二项式系数的性质,关键是熟记二项展开式的通项,属于基础题.15、1【解析】

求出导函数,由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标,再由切线方程得纵坐标后可求得.【详解】设,由题意,∴,,,即,∴,.故答案为:1.【点睛】本题考查导数的几何意义,函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.16、【解析】

利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】,所以复数的实部为2.故答案为:2【点睛】本题考查复数的除法运算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2)见解析;(3)存在,1.【解析】

(1),求出单调区间,进而求出,即可证明结论;(2)对(或)是否恒成立分类讨论,若恒成立,没有极值点,若不恒成立,求出的解,即可求出结论;(3)令,可证恒成立,而,由(2)得,在为减函数,在上单调递减,在都存在,不满足,当时,设,且,只需求出在单调递增时的取值范围即可.【详解】(1),,,当时,,当时,,∴,故.(2)由题知,,,①当时,,所以在上单调递减,没有极值;②当时,,得,当时,;当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.故在处取得极小值,无极大值.(3)不妨令,设在恒成立,在单调递增,,在恒成立,所以,当时,,由(2)知,当时,在上单调递减,恒成立;所以不等式在上恒成立,只能.当时,,由(1)知在上单调递减,所以,不满足题意.当时,设,因为,所以,,即,所以在上单调递增,又,所以时,恒成立,即恒成立,故存在,使得不等式在上恒成立,此时的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用,涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明,考查分类讨论思想,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.18、(1)见解析;(2)证明见解析.【解析】

(1),分,,,四种情况讨论即可;(2)问题转化为,利用导数找到与即可证明.【详解】(1).①当时,恒成立,当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数.②当时,,.当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.③当时,,则在上是减函数.④当时,,当时,;当时,;当时,,所以,在上是减函数,在上是增函数,在上是减函数.(2)由题意,得.由(1)知,当,时,,.令,,故在上是减函数,有,所以,从而.,,则,令,显然在上是增函数,且,,所以存在使,且在上是减函数,在上是增函数,,所以,所以,命题成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式的问题,考查学生逻辑推理能力,是一道较难的题.19、A【解析】

由正弦定理化简得,解得,进而得到,利用正切的倍角公式求得,根据三角形的面积公式,求得,进而化简,即可求解.【详解】由题意,在锐角中,满足,由正弦定理可得,即,可得,所以,即,所以,所以,则,所以,可得,又由的面积,所以,则.故选:A.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用,以及三角形的面积公式和正切的倍角公式的综合应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.20、(1)当时,公路的长度最短为千米;(2)(千米).【解析】

(1)设切点的坐标为,利用导数的几何意义求出切线的方程为,根据两点间距离得出,构造函数,利用导数求出单调性,从而得出极值和最值,即可得出结果;(2)在中,由余弦定理得出,利用正弦定理,求出,最后根据勾股定理即可求出的长度.【详解】(1)由题可知,设点的坐标为,又,则直线的方程为,由此得直线与坐标轴交点为:,则,故,设,则.令,解得=10.当时,是减函数;当时,是增函数.所以当时,函数有极小值,

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