2021年全国统一高考数学试卷(文科)(乙卷)(解析版)

2021年全国统一高考数学试卷（文科）（乙卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（）A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}2．设iz＝4+3i，则z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i3．已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）4．函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和25．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18 B．10 C．6 D．46．cos2﹣cos2＝（）A． B． C． D．7．在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A． B． C． D．8．下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+ C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+9．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+110．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A． B． C． D．11．设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A． B． C． D．212．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．14．双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．（1）求，，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C（2，1），半径为1．（1）写出⊙C的一个参数方程；（2）过点F（4，1）作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．

参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（）A．{5} B．{1，2} C．{3，4} D．{1，2，3，4}解：∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，∴M∪N＝{1，2，3，4}，∴∁U（M∪N）＝{5}．故选：A．2．设iz＝4+3i，则z＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i解：由iz＝4+3i，得z＝．故选：C．3．已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）解：对于命题p：∃x∈R，sinx＜1，当x＝0时，sinx＝0＜1，故命题p为真命题，￢p为假命题；对于命题q：∀x∈R，e|x|≥1，因为|x|≥0，又函数y＝ex为单调递增函数，故e|x|≥e0＝1，故命题q为真命题，￢q为假命题，所以p∧q为真命题，￢p∧q为假命题，p∧￢q为假命题，￢（p∨q）为假命题，故选：A．4．函数f（x）＝sin+cos的最小正周期和最大值分别是（）A．3π和 B．3π和2 C．6π和 D．6π和2解：∵f（x）＝sin+cos＝sin（+），∴T＝＝6π．当sin（+）＝1时，函数f（x）取得最大值；∴函数f（x）的周期为6π，最大值．故选：C．5．若x，y满足约束条件则z＝3x+y的最小值为（）A．18 B．10 C．6 D．4解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，3），由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3×1+3＝6．故选：C．6．cos2﹣cos2＝（）A． B． C． D．解：法一、cos2﹣cos2＝＝＝．法二、cos2﹣cos2＝cos2﹣sin2＝cos＝．故选：D．7．在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）A． B． C． D．解：由于试验的全部结果构成的区域长度为﹣0＝，构成该事件的区域长度为﹣0＝，所以取到的数小于的概率P＝＝．故选：B．8．下列函数中最小值为4的是（）A．y＝x2+2x+4 B．y＝|sinx|+ C．y＝2x+22﹣x D．y＝lnx+解：对于A，y＝x2+2x+4＝（x+1）2+3≥3，所以函数的最小值为3，故选项A错误；对于B，因为0＜|sinx|≤1，所以y＝|sinx|+，当且仅当，即|sinx|＝2时取等号，因为|sinx|≤1，所以等号取不到，所以y＝|sinx|+＞4，故选项B错误；对于C，因为2x＞0，所以y＝2x+22﹣x＝，当且仅当2x＝2，即x＝1时取等号，所以函数的最小值为4，故选项C正确；对于D，因为当x＝时，，所以函数的最小值不是4，故选项D错误．故选：C．9．设函数f（x）＝，则下列函数中为奇函数的是（）A．f（x﹣1）﹣1 B．f（x﹣1）+1 C．f（x+1）﹣1 D．f（x+1）+1解：因为f（x）＝＝，所以函数f（x）的对称中心为（﹣1，﹣1），所以将函数f（x）向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数y＝f（x﹣1）+1，该函数的对称中心为（0，0），故函数y＝f（x﹣1）+1为奇函数．故选：B．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A． B． C． D．【解答】解∵AD1∥BC1，∴∠PBC1是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则PB1＝PC1＝＝，BC1＝＝2，BP＝＝，∴cos∠PBC1＝＝＝，∴∠PBC1＝，∴直线PB与AD1所成的角为．故选：D．11．设B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A． B． C． D．2解：B是椭圆C：+y2＝1的上顶点，所以B（0，1），点P在C上，设P（，sinθ），θ∈[0，2π），所以|PB|＝＝＝＝，当sinθ＝时，|PB|取得最大值，最大值为．故选：A．12．设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x﹣a）2（x﹣b）的极大值点，则（）A．a＜b B．a＞b C．ab＜a2 D．ab＞a2解：令f（x）＝0，解得x＝a或x＝b，即x＝a及x＝b是f（x）的两个零点，当a＞0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则0＜a＜b；当a＜0时，由三次函数的性质可知，要使x＝a是f（x）的极大值点，则函数f（x）的大致图象如下图所示，则b＜a＜0；综上，ab＞a2．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分。13．已知向量＝（2，5），＝（λ，4），若∥，则λ＝．解：因为＝（2，5），＝（λ，4），∥，所以8﹣5λ＝0，解得λ＝．故答案为：．14．双曲线﹣＝1的右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为．解：双曲线﹣＝1的右焦点（3，0），所以右焦点到直线x+2y﹣8＝0的距离为d＝＝．故答案为：．15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，则b＝2．解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2+c2＝3ac，∴acsinB＝⇒ac×＝⇒ac＝4⇒a2+c2＝12，又cosB＝⇒＝⇒b＝2，（负值舍）故答案为：2．16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为②⑤或③④（写出符合要求的一组答案即可）．解：观察正视图，推出正视图的长为2和高1，②③图形的高也为1，即可能为该三棱锥的侧视图，④⑤图形的长为2，即可能为该三棱锥的俯视图，当②为侧视图时，结合侧视图中的直线，可以确定该三棱锥的俯视图为⑤，当③为侧视图时，结合侧视图虚线，虚线所在的位置有立体图形的轮廓线，可以确定该三棱锥的俯视图为④．故答案为：②⑤或③④．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s12和s22．（1）求，，s12，s22；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果﹣≥2，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．解：（1）由题中的数据可得，（9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7）＝10，＝（10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5）＝10.3，s12＝[（9.8﹣10）2+（10.3﹣10）2+（10﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.9﹣10）2+（9.8﹣10）2+（10﹣10）2+（10.1﹣10）2+（10.2﹣10）2+（9.7﹣10）2]＝0.036；s22＝[（10.1﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.0﹣10.3）2+（10.1﹣10.3）2+（10.3﹣10.3）2+（10.6﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2+（10.4﹣10.3）2+（10.5﹣10.3）2]＝0.04；（2），，因为，所以﹣＞2，故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴PD⊥AM，又∵PB⊥AM，PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD．∴AM⊥平面PBD．∵AM⊂平面PAM，∴平面PAM⊥平面PBD；（2）解：由PD⊥底面ABCD，∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形；∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F．作EF⊥CD交于E，连接MF，AF，AE，可得MF∥PB，EF∥DP，那么AM⊥MF．且EF＝．AE＝，AM＝，．那么△AMF是直角三角形，∵△DPB是直角三角形，∴根据勾股定理：BP＝，则MF＝；由△AMF是直角三角形，可得AM2+MF2＝AF2，解得a＝．底面ABCD的面积S＝，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝．19．设{an}是首项为1的等比数列，数列{bn}满足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和．证明：Tn＜．解：（1）∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2＝a1+9a3，∵{an}是首项为1的等比数列，设其公比为q，则6q＝1+9q2，∴q＝，∴an＝a1qn﹣1＝，∴bn＝＝n•．（2）证明：由（1）知an＝，bn＝n•，∴＝，，①∴，②①﹣②得，，∴，∴Tn﹣＝﹣＜0，∴Tn＜．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程；（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值．【解答】（1）解：由题意知，p＝2，∴y2＝4x．（2）由（1）知，抛物线C：y2＝4x，F（1，0），设点Q的坐标为（m，n），则＝（1﹣m，﹣n），∴P点坐标为（10m﹣9，10n），将点P代入C得100n2＝40m﹣36，整理得，∴，当n＝时取最大值．故答案为：．21．已知函数f（x）＝x3﹣x2+ax+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）求曲线y＝f（x）过坐标原点的切线与曲线y＝f（x）的公共点的坐标．解：（1）f′（x）＝3x2﹣2x+a，△＝4﹣12a，①当△≤0，即时，由于f′（x）的图象是开口向上的抛物线，故此时f′（x）≥0，则f（x）在R上单调递增；②当△＞0，即时，令f′（x）＝0，解得，令f′（x）＞0，解得x＜x1或x＞x2，令f′（x）＜0，解得x1＜x＜x2，∴f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）单调递增，在（x1，x2）单调递减；综上，当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）在单调递增，在单调递减．（2）设曲线y＝f（x）过坐标原点的切线为l，切点为，则切线方程为，将原点代入切线方程有，，解得x0＝1，∴