人教版专 题 3.6对数与对数函数

专题3.6对数与对数函数

【题型目录】

题型一对数的运算

题型二换底公式的应用

题型三对数函数的概念

题型四对数函数的图象问题

题型五对数型函数过定点问题

题型六对数函数的定义域和值域问题

题型七利用对数的单调性解不等式或比较大小

题型八由对数函数的单调性求参数

题型九对数函数的最值问题

题型十对数函数的实际应用

题型十一反函数

【典型例题】

题型一对数的运算

例1.（2023,山东淄博・统考二模）设p>0,g>0,满足log4P=bg64=bg9（2p+4）,

则八.

q

Q

例2.（2023•天津•统考二模）已知2，=3,log25=y,则2x+y=（）

A.3B.5C.2log,3D.23

举一反三

练习1.（2021秋•高三课时练习）计算：log43xE|=

练习2.计算:

Ig8+lgl25-lg2-lg5

igVioxigo.i

(2)(log62)2+(log63y+31og62x

练习3.（2021秋•高三课时练习）（多选）下列正确的是（）

A.3扣B.9^+lne=4

C.若log3（lgx）=l,则x=1000D.若log“插=c,则=

2

log2x+l,x>0

练习4.（2023春・湖北•高一校联考期中）已知/（》）=,Qj+]x<0,则/（/㈠））

的值为.

练习5.（2023•天津滨海新•天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知

5"=2&，4〃=",若成=|,贝！1〃的值为（）

A.>/5B.5C.575D.25

题型二换底公式的应用

例3.求下列各式的值.

OS25

(l)4)'+ln-+log15xlogM9+lg4+2lg5.

2e

⑵已知lg2=a,lg3=6,求logzlZ的值.

2

-2log430.5

例4.（2023・全国•高三专题练习）log,3-log,2-

举一反三

练习6.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）若12〃=3"=〃?，且则

ab

练习7.（2022秋•新疆喀什•高三校考阶段练习）若2"=3〃=36,则当殳=

练习8.（2023秋•福建厦门•高三统考期末）已知Ig2=a,lg3=b,则电12=（）

练习9.（2022秋・江西景德镇•高三景德镇一中校考期末）（多选）已知a>0,b>0,

且满足b"=9,a+log3b=3,则方的可能取值为（）

A.B.3C.2D.9

39

练习10.（2022秋•山东青岛•高三校考期中）若。=1暇3/呜4.•…log刈82019,则〃

的范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.(10,11)D.(11,12)

题型三对数函数的概念

例5.（2022秋.高三课时练习）（多选）下列函数为对数函数的是（）

A..f（x）=log（“i）x（m>1,且加力2）B./（司=炮/

C./（x）=lnxD./（x）=lnx+e

例6.（2023秋•辽宁•高三辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过

点尸（8,3）,则.

举一反三

练习11.（2022.高三课时练习）下列函数是对数函数的是（）

A.y=log2xB.y=ln（x+l）C.y=log.,eD.y=log*x

练习12.（2021・高三课时练习）给出下列函数：

（1）y=log/X；（2）y=log,x；（3）y=log“>x；（4）y=e-k>g“x；（5）y=log,x2；

（6）y=log2（x+l）.其中是对数函数的是.（将符合的序号全填上）

练习13.（2022.高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（）

A.y=logxa（x>0且*1）

B.y=log2X—1

C.y=lgx2

D.y=logsx

练习14.（2022.江苏盐城.江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数

产”司在（0,+功上单调递增，且/（»）=/（x）+/（y）”的一个函数

.f（x）=-

练习15.（2023.高三课时练习）若对数函数的图象过点（4,-2）,则此函数的表达

式为.

题型四对数函数的图象问题

例7.（2023秋・山东德州•高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然

成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们

把"数''与"形"，“式''与"图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数

〃x)=10g“(x+6)(4>0且"LbeR)的大致图象如图，贝|函数g(x)=a「*的大

例8.(2023•全国•高三专题练习)函数=］与g(x)=-l°g4x的大致图像是()

举一反三

练习16.（2023秋•内蒙古呼和浩特•高三铁路一中校考期末）（多选）如图是三个

B.0<b<i

C.2h<2c<2aD.c<b

练习17.（2022秋.江西鹰潭.高三贵溪市第一中学校考阶段练习）已知

与的

log2a+log,/?=0(a>0且awl,%>0且分Hl),则函数f(x)g(x)=logAX

图像可能是（）

练习18.（2021秋•陕西汉中•高三校联考期中）已知1印=-恸*0,则函数/（力=Q

与函数g（x）=log〃x的图像可能是（）

练习19.（2021秋.陕西汉中•高三校联考期中）函数k］怆（》+1）|的图像是（）

练习20.(2023・浙江绍兴•统考模拟预测)若函数”》)=1。氏|。+可的图象不过第四

象限，则实数。的取值范围为.

题型五对数型函数过定点问题

例9.(2023•全国•高三专题练习)函数〃x)=log--l)+2的图象恒过定点()

A.(2,2)B.(2,1)C.(3,2)D.(2,0)

例10.(2023•安徽安庆•校联考模拟预测)已知函数/(》)=1脸(6+彷(。＞0力＞0)恒

过定点(2,0),则2+1的最小值为().

ab

A.2&+1B.2V2C.3D.夜+2

举一反三

练习21.(2022秋.上海金山.高三上海市金山中学校考期末)已知a＞0且

若函数/(x)=优+c与g(x)=log„(x+1)+4的图象经过同一个定点，则c=.

练习22.(2022秋•高三单元测试)已知函数/(x)=ln(ar-a+l)+x“，则无论“取

何值，"X)图象恒过的定点坐标.

练习23.(2022秋•河南开封•高一校考阶段练习)函数y=log“(2x-3)+8的图象恒

过定点A,且点A在基函数/(x)的图象上，则/(3)=.

练习24.(2023春糊南•高三校联考期中)基函数y=y的图象过点则函

数/(X)=log,,(x+〃2)恒过定点.

练习25.(2022秋・青海西宁•高三西宁五中校考期末)已知函数y=log〃(x-2)+l,

(«>0,且4H1)恒过定点A(Xo，%),且满足〃/+伙=1,其中加，〃是正实数,

则上+L的最小值是()

mn

A.16B.6C.273D.石

题型六对数函数的定义域和值域问题

例11.(2023.湖北•校联考三模)函数/(x)=Jog2(l-x)的定义域是()

A.(-oo,DB.(0,内)C.(0,1)D.(-8,0]

例12.(2023•全国•高三专题练习)设/>，+l)=log“(4-x4)(a>l),则/(x)值域是

举一反三

练习26.(2023•全国•高三专题练习)已知集合4={川>=>/-2+2彳+15}，

B={x|y=ln(x2-x-6)},则AB=()

A.[-3,-2)<J(3,5]B.[-3,5]

C.RD.(-<=0,-2)o(3,+oo)

练习27.(2023秋.湖北武汉.高三武汉外国语学校(武汉实验外国语学校)校考

期末)函数，(x)=lg(-d+4x-3)的值域为.

练习28.(2023秋•山西朔州•高三怀仁市第一中学校校考期末)已知函数

/（jc）=log2^j-log2（8x）,则函数f（x）的值域为（）

A.[-9,0]B.[-9,y）C.（-8,-9]D.[-12,0]

练习29.（2023.山东枣庄.统考模拟预测）函数y=Jlog05（3x-2）的定义域是（）

A.|,1）B.（|,+"C.（0,1]D.（|/

练习30.（2023春・河南信阳•高三统考开学考试）（多选）已知函数〃x）=ln#，

则（）

A.的定义域为（-2,2）B.〃x）的图象关于），轴对称

c.C—的值域为RD.f（x）是减函数

题型七利用对数的单调性解不等式或比较大小

例13.（浙江省S9联盟2022-2023学年高一下学期期中数学试题）已知,

a=log3G,b=log473,c=O.3T,则（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>hD.c>b>a

例14.(2023•天津•高三专题练习)集合4=*€2及=后亚1},8={-1,0,2,3,5},

则AB=()

A.{2,3}B.{0,2,3)

C.{-1,0,5}D.0

举一反三

练习31.（2022秋•高三课时练习）已知bg°,6（x+2）>lo&.6（l-x）,则实数x的取值

范围是.

练习32.（吉林省长春市2023届高一下学期5月四模数学试题）已知a=logq*,

匕=悖］,c=ln（,则a,b,c的大小关系为.

练习33.(安徽省皖北县中联盟2023届高三5月联考数学试题)已知集合

M={x|-3<x<l},A^=jx|log4|x|<ij,则集合McN=()

A.[-2,1]B.卜2,0)50,1]

C.13,；D.(-3,0)(0,1]

a

练习34.(2023•全国•校联考模拟预测)已知a=log0j0.2,琉Iga,c=2,则a,

b,c的大小关系为()

A.a<b<cB,a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

练习35.（2018・北京•高三强基计划）已知函数/（幻=@-b）.川，若实数机满足

/（logV2W）-/dog^/n）＜2/（1）,则实数〃?的取值范围是.

题型八由对数函数的单调性求参数

例15.（2023春•内蒙古呼和浩特•高三统考阶段练习）已知

logax,（x＞l）（a＞。且。w1）

（4-怖卜一2，。叫是R上的单调递增函数,则实数。的值可以是（）

A.4B.log?271C.2D.8

例16.（2023春•河南平顶山.高三汝州市第一高级中学校联考阶段练习）已知函

数.f（x）=lg（2x2-or+5a-l）在［2,”）上单调递增，则a的取值范围是.

举一反三

练习36.（2023秋•湖南常德•高三汉寿县第一中学校考期末）已知函数

f（x）=lo与任-以+4”）在区间［2,e）上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A.（—2,4］B.［-2,4）C.（y,4］D.艮”）

练习37.（2023・高三课时练习）已知/（x）=log.（3-词在［0,2］上是严格减函数,

则实数。的取值范围是.

练习38.（2023春・安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试）已知函数

"x）=.加r-gxG,且满足对任意的实数x产々，都有"为｝“"2）<0成立,

iog„x-i,x>i

则实数。的取值范围是（）

练习39.（2023秋•山东济宁•高三统考期末）已知a>0且"1,若函数

y=log«（4-ar）在［L2］上是减函数，则实数”的取值范围是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（1,2］D.（1,4）

练习40.（2023春•新疆阿克苏.高三校考阶段练习）已知a>0且awl,函数

”》）=八2,3a+3,x<l,满足士工当时，恒有玉/⑷+9/⑷工/⑷+耳/区）成立,

［logax,x>l

那么实数〃的取值范围（）

A.（1,2）B.0,|C.（1收）D.Q

题型九对数函数的最值问题

例17.（2022秋•江苏常州.高三常州市第一中学校考开学考试）已知

/（x）=l+log2x,xi[1,8],设函数g（x）=/2（x）+/（x2）,g（x）raK-g（x）niin=.

例18.（2023•全国•高三专题练习）若函数/（X）=log”（-3x2+4ox-l）有最小值，则

实数。的取值范围是（）

A.日」）B.（1,6）

C.D.（73,+oo）

举一反三

练习41.（2023・高三课时练习）函数），=1叫式*+3*+4）的最小值是.

练习42.（2023春•四川达州•高二四川省万源中学校考开学考试）已知x>0,y>0

且x+2y=20应，则Igx+lgy的最大值为.

练习43.（2023秋•山东青岛•高一统考期末）已知函数

/（X）=log,,（2x-4）+log„（5-x）（a>0且的图象过点P（3,-2）.

⑴求”的值及.f（x）的定义域；

（2）求.f（x）在3,|上的最大值；

⑶若23=/(j<r<3),比较"2%)与"3")的大小.

(x+l)2+ln^vx2+1+x

练习44.（2023•全国•高三专题练习）设函数〃x）=的最大值

x2+1

为M,最小值为N,则M+N的值为

2二

练习45.（2022秋.湖南邵阳.高三校考阶段练习）已知函数〃x）=】ogi荒p则

f(x)有()

A.最小值Togs3B.最大值Tog?3

C.最小值-|D.最大值

题型十对数函数的实际应用

例19.（2023春.四川宜宾•高三校考阶段练习）尽管目前人类还无法准确预报地

震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E（单

位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为：1gE=4.8+1.5M.2008年5月12日，

我国汶川发生了里氏8.0级大地震，它所释放出来的能量约是2022年9月5日我国

泸定发生的里氏6.8级地震释放能量的（）倍.（参考数据：10"。32,砂屋63,

1019a79）

A.32B.63C.79D.100

例20.（2021秋•江苏镇江•高三江苏省镇江中学校考期末）噪声污染已经成为影

响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明，声音强度。（分贝）由公式

D=a\SI+b（。，匕为非零常数）给出，其中/（W/cn?）为声音能量.当声音强度加

2,2满足R+2鼻=3D,时，声音能量/,,12,满足的等量关系式为;

当人们低声说话，声音能量为lO^w/cn?时，声音强度为30分贝；当人们正常说

话，声音能量为lO^W/cm?时，声音强度为40分贝，当声音强度大于60分贝时

属于噪音.火箭导弹发射时的噪音分贝数在（150,160）区间内，此时声音能量数值的

范围是.

举一反三

练习46.（2021秋•黑龙江鸡西•高三鸡西市第一中学校校考期中）（多选）声强级

Li（单位：dB）与声强/（单位：3/mD之间的关系是：Li=101g；,其中/。指

的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈.人能承受的最大声强为

心/m。对应的声强级为120dB，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为［60,70］

（单位：dB）.下列选项中正确的是（）

A.闻阈的声强级为OdB

B.此歌唱家唱歌时的声强范围［10工10-5］（单位：a）/m2）

C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍

D.声强级增加10dB,则声强变为原来的10倍.

练习47.（2023・全国•高三专题练习）中西方音乐的不同发展与其对音阶的研究

有密切的关系，中国传统音阶是五声音阶：宫、商、角、徵、羽；西方音阶是七声音

阶“Re、Mi、Fa、Sol、La、Si”.它们虽然不同，却又极其相似，最终发展的结果均

是将一个完整的八度音阶分成了12个半音，即“十二平均律”.从数学的角度来看,

这12个半音的频率成公比为蚯的等比数列.已知两个音高4,4的频率分别为

力，九且满足函数关系：务（啦）"，已知两个纯五度音高的频率比!弓

J\J\/

则它们相差的半音个数|4-4卜.（其中lg3念048,1g2«0.30,结果四舍五

入保留整数部分）.

练习48.（2021秋.高三课时练习）《千字文》是我国传统的启蒙读物，相传是南

北朝时期梁武帝命人从王羲之的书法作品中选取1000个不重复的汉字，让周兴

嗣编纂而成的，全文为四字句，对仗工整，条理清晰，文采斐然.已知将1000

个不同汉字任意排列，大约有4.02x102的种方法,设这个数为N,则IgN的整数

部分为（）

A.2566B.2567C.2568D.2569

练习49.（2022秋.辽宁大连.高三大连八中校考阶段练习）我国的5G通信技术

领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shanncm）公式，香农提出并

严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率C的公式

C=w.i°g2（i+得），其中w是信道带宽（赫兹），s是信道内所传信号的平均功率

（瓦），N是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中三叫做信噪比.根据此公式,

在不改变W的前提下，将信噪比从99提升至4,使得C大约增加了60%,则2的

值大约为（）（参考数据：10°2。1.58）

A.1559B.3943C.1579D.2512

练习50.（2022.高三单元测试）人们常用里氏震级区表示地震的强度，心表示

地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为1g耳-4.8,2021年1月4

日四川省乐山市犍为县发生里氏4.2级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县

发生里氏6。级地震，则后者释放的能量大约为前者的（）倍.（参考数据：

1003~2.00,10°'=5.01）

A.180B.270C.500D.720

题型十一反函数

例21.（2023•河南•高三信阳高中校联考阶段练习）已知为，演分别是方程x+e'=3

和x+lnx=3的根，若%+々="+〃，实数a,b>0,则丝虫的最小值为（）

A.1B.1C.£D.2

39

例22.(2022秋•高三课时练习)(多选)关于函数“力=优(。>0,且。制)与函数

g(x)=logflx(a>0,且。工1)说法正确的有()

A./(x)与g(x)互为反函数

B.〃x)与g(x)的图像关于原点对称

C.“X)与g(x)必有一交点

D.与g(x)的图像关于对称

举一反三

练习51.(2020秋.上海宝山.高三上海市行知中学校考期中)若关于x的函数

y=-^7("0,«GR)的反函数是其本身，贝

练习52.(2023秋・北京•高三校考期末)已知函数y=/(x)的图像与y=l”的图像

关于直线》=工对称，则/(Ig3).〃lg4)=()

A.Ig7B.10C.12D.107

练习53.(2021秋.上海黄浦.高三格致中学校考开学考试)设定义域为R的函数

/(X)、g(x)都有反函数，且函数/(x+l)和g\x-2)图像关于直线y=x对称，若

5(5)=2021,则/(6)=_

练习54.(2022秋•河北邢台.高三邢台市第二中学校考期末)若函数〃=

函数/(x)与函数g(x)图象关于y=x对称，则g(9-V)的单调减区间是()

A.[0,3)B.[-3,0)

C.(0,3]D.(-3,0]

练习55.(2023秋.山东荷泽•高三山东省东明县第一中学校考期末)若毛，々分

另I」是方程e'+x-2023=0,lnx+x—2023=0的根，则()

A.2022B.2023C.V2023D.72023+1

参考答案与试题解析

专题3.6对数与对数函数

【题型目录】

题型一对数的运算

题型二换底公式的应用

题型三对数函数的概念

题型四对数函数的图象问题

题型五对数型函数过定点问题

题型六对数函数的定义域和值域问题

题型七利用对数的单调性解不等式或比较大小

题型八由对数函数的单调性求参数

题型九对数函数的最值问题

题型十对数函数的实际应用

题型十一反函数

【典型例题】

题型一对数的运算

例1.(2023•山东淄博・统考二模)设P>0,4>0,满足log4P=log64=log9(2p+<7),

则"=__________.

q

【答案】1/0.5

【分析】令log4P=log/log9（2p+4）=3则K根据2p+q=2-4*+6*=9*即可

q3

求解.

【详解】令濯4。=令64Tog9（2p+4）=左,则p=4*,q=6«,2p+q=9",

所以2p+q=2W+6*=9。整理得2仔）+^=1,

解得（负值舍去），所以:4=捺4

故答案为：

Q

例2.（2023•天津•统考二模）已知2，=3,log22=y,则2x+y=（）

A.3B.5C.2log,3D.23

【答案】A

【分析】根据指对运算化简x=bg23,再根据对数运算法则计算2x+y的值.

Q

x

【详解】2=3<=>x=log23,y=log,-

2x+y=2log23+log21=log2,？x=]og28=3.

故选:A.

举一反三

练习1.（2021秋•高三课时练习）计算：log43x^=

olg9

【答案】）/025

4

【分析】利用对数换底公式化简计算即可.

用牛'际八1g41g9Ig221g3?2lg221g34,

故答案为：-7

4

练习2.计算：

Ig8+lgl25-lg2-lg5

⑴Igx/lOxIgO.l

x^logV18-|log2

⑵（Iog62『+（log63）2+31og6266

【答案】（1）-4

（2）1

【分析】（1）根据对数的运算法则化简求值；

（2）根据对数的运算法则和对数的性质化简求值.

22

(2)(log52)+(log63)+31og62xhog

22

=(log62)+(log63)+310g62xlog6缪

2

=(嘀,2)2+(log(,3)+31og62xlog6\/9

2

=(log62)+(logs3)2+21og62xlog63

2

=(log62+log63)

练习3.（2021秋.高三课时练习）（多选）下列正确的是（）

A.3产"4=292+lne=4

C.若log3(lgx)=l,则x=1000D.若log“扬=c,则6=。

【答案】BCD

【分析】利用对数和指数的运算可判断AB选项；利用指数与对数的互化可判断

CD选项.

【详解】对于A选项，32"=32=（6）'=4,A错；

对于B选项，1+lne=3+l=4，B对；

3

对于C选项,因为log.3（lgx）=l,则lgx=3,所以，x=10=1000,C对;

对于D选项，因为log“扬=c,则四=〃。，所以，h=alc,D对.

故选：BCD.

2

log2x+l,x>0

练习4.(2023春・湖北•高一校联考期中)已知/3=仆丫।°,则〃/㈠))

⑴+1/<0

的值为.

【答案】5

【分析】代入求解分段函数的函数值.

【详解】•.,/(-1)=(；尸+1=3+1=4,

24

/(/(-D)=/(4)=log24+1=log,2+l=4+l=5

故答案为：5.

练习5.(2023•天津滨海新.天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测)已知

5。=20,4%=〃，若她=?，则〃的值为()

A.y/5B.5C.50D.25

【答案】D

【分析】利用指对数互化，及对数运算性质可得而=；整，结合已知列方程求

4In5

n值.

【详解】由题设。=1叫2&=见逑=网史，3=log"=罟=F^,

In5In5ln441n，2

所以==T,则ln〃=21n5,即〃=25.

故选：D

题型二换底公式的应用

例3.求下列各式的值.

⑴(3啕5+ln-+log,5Xlog”9+lg4+21g5.

2e

(2)已知】g2=a,lg3=6,求log/2的值.

【答案］⑴？

⑵2+9

a

【分析】根据对数运算规则以及换底公式计算即可.

【详解】（1）

+ln-+log5xlog,9+lg4+lg25=2''O825+lne-|+^^x9

35+lg（4x25）

e"■logs3log525

=*i寝*舒+lg*5』+卷x竽+2=］；

22

（2）log,12=log2（2x3）=log,2+log23=2+^|=2+-..

Si，0.5

例4.（2023・全国•高三专题练习）log23.log32-^p+^j

【答案】-1

【分析】利用指数累的运算性质和对数的运算性质计算即可求解.

1_32

【详解】原式=1一22崛3+（［y+^p

=l-22log43+—+—

1616

=1-3+1

故答案为：-1.

举一反三

练习6.（2023春・上海•高三校联考阶段练习）若12"=3〃=加，且,-1=2,则

ab

tn=.

【答案】2

【分析】将条件中的指数式转化为对数式，求出匕［,代入工-〈=2,利用对数

abab

的运算性质可得〃?.

【详解】42"=3"=加，且1-：=2,

ab

二.m>0且机工1,

a=logl2m,b=log3m,

•■--=log„,12,-=log„,3,

ab

---T=l°g〃J2一log,"3=log4=2,

abw

m=2.

故答案为：2.

练习7.（2022秋•新疆喀什•高三校考阶段练习）若2"=3"=36,则生普=一.

【答案】1

【分析】先由2"=3〃=36求出再根据换底公式，即可求出结果.

【详解】因为2"=3"=36,所以a=log?36,b=log,36,因止匕Llog'e2,^-=log163,

ab

所以2""*==20°g363+1嗝＜,2）=2log366=1.

故答案为：L

练习8.（2023秋・福建厦门•高三统考期末）已知电2=凡电3=久则10氏12=（）

【答案】C

【分析】根据换底公式将logJ2写为詈，再用对数运算法则展开，将】g2="g3=〃

代入即可.

【详解】解:因为lg23g3=比而1呜12=臂=_^^=^1^=*.

1g21g2lg2a

故选:C

练习9.（2022秋.江西景德镇.高三景德镇一中校考期末）（多选）己知a>0,b>0,

且满足A"=9,a+\og}b=3,则。的可能取值为（）

1

3C9

B.9-D.

【答案】BD

【分析】根据指对互化得和对数的运算性质得a=21og〃3,代入得到关于log,。的

方程，解出即可.

【详解】a>0,b>09

贝由=9可得。=log,9=2log,3,

2

a+log,b=2log〃3+log：6=----+log：b=3,

BP(log3Z?)--31og3/?+2=0,

解得log,b=l或log,b=2,

."=3或b=9.

故选：BD.

练习10.(2022秋•山东青岛•高三校考期中)若a=1鸣3/吗4••…*12019,则〃

的范围是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(10,11)D.(11,12)

【答案】C

【分析】利用换底公式以及对数函数的单调性求解.

【详解】«=log,3-logl4••…log,1m2019=蛆、0x.•…xJg?2!2=JgZ2!2=1og,2019,

k“昕/-3-OISlg2lg3lg2018lg2-

l0,(,

V2=1024,2"=2048,log22<log22019<log22",ae(10,l1),

故选：C.

题型三对数函数的概念

例5.(2022秋.高三课时练习)(多选)下列函数为对数函数的是()

A./(x)=log(m_1)x(加>1,且加/2)B./(x)=lgj?

C.f(x)=lnxD./(x)=lnx+e

【答案】AC

【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可.

【详解】形如y=iog〃x(«>0,且4H1)的函数为对数函数，

对于A,由m>1,且可知1>0,且m-lwl,故A符合题意；

对于B,不符合题意；

对于C,符合题意；

对于D,不符合题意；

故选：AC.

例6.(2023秋•辽宁•高三辽河油田第二高级中学校考期末)若对数函数的图象过

点P(8,3),则/&)=.

【答案】-2

【分析】首先求解对数函数，再代入求值.

【详解】设对数函数〃x)=log“x(。＞0,且awl),因为函数图象过点尸(8,3),

所以log“8=3,得a=2,

所以/(;)=log2：=-2.

故答案为：-2

举一反三

练习11.(2022.高三课时练习)下列函数是对数函数的是()

A.y=log2XB.y=ln(x+l)C.y=log,,eD.y=k＞g*x

【答案】A

【详解】对数函数y=l。及X(。＞0且a*l),其中a为常数，X为自变量.

对于选项A,符合对数函数定义；

对于选项B,真数部分是x+1,不是自变量x,故它不是对数函数；

对于选项C,底数是变量x,不是常数，故它不是对数函数；

对于选项D,底数是变量x,不是常数，故它不是对数函数.

故选:A.

练习12.(2021.高三课时练习)给出下列函数：

2

(1)y=log.x；(2)y=log,x；(3)y=log|oX；(4)y=e-\ogax；(5)y=log2x；

(6)y=log2(x+l).其中是对数函数的是.(将符合的序号全填上)

【答案】(1)(2)(3)

【分析】根据对数函数的定义判断.

【详解】(4)的系数不是1,(5)的真数不是尤，(6)的真数不是x.

故答案为：(1)(2)(3).

练习13.（2022.高三单元测试）下列函数中，是对数函数的是（）

A.y=logxa（x〉0且同）

B.y=log2X-1

C.八蚊

D.y=log炉

【答案】D

【分析】根据对数函数的定义判断.

【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义.

故选：D.

练习14.（2022.江苏盐城・江苏省滨海中学校考模拟预测）写出满足条件“函数

y=/（x）在（0,+功上单调递增，且/3）=f（x）+/（y）”的一个函数

〃可=•

【答案】bg?x

【分析】根据已知确定函数形式，再结合单调性举练习.

【详解】〃孙）=/（小/（力是对数函数模型，/（力=陛〃满足条件.

故答案为：log?》.

练习15.（2023・高三课时练习）若对数函数的图象过点（4,-2）,则此函数的表达

式为.

【答案】y=iogix（x>o）

2

【分析】将点（4,-2）代入对数解析式求出底数，即可求解.

【详解】设对数函数为y=log,X,因为对数函数的图象过点（4,-2）,所

以-2=log“4,即/=4=22,解得所以yTogiMx>0）.

故答案为：y=iogjx（x>o）

2

题型四对数函数的图象问题

例7.（2023秋・山东德州•高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然

成绩早为世人所推崇.他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.告知我们

把“数,，与,，形“式，，与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.若函数

/(x)=log„(x+/7)的大致图象如图，则函数g(x)=「-6的大

【答案】C

【分析】根据题意，求得0＜。＜1,0＜方＜1,结合指数函数的图象与性质以及图象

变换，即可求解.

【详解】由题意，根据函数〃x)=log“(x+勿的图象，可得

根据指数函数y=「(0＜a＜1)的图象与性质，

结合图象变换向下移动6个单位，可得函数g(x)=，L-人的图象只有选项C符合.

故选：C.

例8.(2023・全国•高三专题练习)函数/⑴"：，与g(x)=-log4x的大致图像是()

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】解：因为在定义域R上单调递减，

又gU）=-log4x=log4.,x=log;，所以8⑶在定义域（o,+8）上单调递减,

故符合条件的只有A；

故选：A

举一反三

练习16.（2023秋•内蒙古呼和浩特・高三铁路一中校考期末）（多选）如图是三个

B.0</?<1

C.2*<2f<TD.c<b

【答案】ABC

【解析】根据对数函数的图象可判断出再判断各选项即可得.

【详解】由对数函数图象得。＞1，0＜瓦c＜l,令y=l,log^=logfe=l,由已知图象

得b<c,.•.Accca；而y=2*是增函数，二2"<2,’<2".

故选：ABC.

练习17.（2022秋.江西鹰潭.高三贵溪市第一中学校考阶段练习）已知

log2a+log,fo=0(q>0且”1,Z?>0且6/1),则函数/(x)=与g(x)=log〃X的

图像可能是（）

【分析】先由1吗。+1%。=。求得b=L再将g（x）=log,x转化为g（x）=Mg/,再

a«

利用反函数的性质即可得到正确选项B

【详解】Slog,a+log,*=0(。>0且awl,b>0且bwl),

可得loga（必）=O，则仍=1,贝=：

贝ljg(x)=k)g〃x=k)g，x,又八幻=则g（x）与/（X）互为反函数,

a

则g（x）与f（x）单调性一致，且两图像关于直线y=x轴对称

故选：B

练习18.（2021秋•陕西汉中•高三校联考期中）己知物=-磔工0,则函数

与函数g（x）=log〃的图像可能是（）

【分析】根据参数对于指数函数以及对数函数的影响，结合对数函数性质，逐项

检验，可得答案.

【详解】对于A、B、C,由图像可知，对于函数f（x）=1=（£|',可知:>1,

即Ova<1,

由lga=-lg"O,则匕>1,即函数g（x）在（0,+8）上单调递增，故A、B错误，C

正确；

对于D,由图像可知，对于函数/（x）=f=O可知即a>l,

由lga=-lgg0,则0<-1,即函数g（x）在（0,+e）上单调递减，故D错误；

故选：C.

练习19.（2021秋•陕西汉中•高三校联考期中）函数k旭（*+1）|的图像是（）

【分析】由函数y=igx的图象与x轴的交点是a，。）结合函数的平移变换得函数

y=|ig*+i）l的图象与x轴的公共点是（o,o）,即可求解.

【详解】由于函数y=ig（x+D的图象可由函数y=igx的图象左移一个单位而得到,

函数y=igx的图象与x轴的交点是a，。），

故函数y=ig（x+D的图象与x轴的交点是（o,o）,即函数y=|ig（x+D|的图象与x轴的

公共点是（o,o）,显然四个选项只有A选项满足.

故选：A.

练习20.（2023.浙江绍兴.统考模拟预测）若函数〃x）=log2|a+x|的图象不过第四

象限，则实数。的取值范围为.

【答案】［1,同

【分析】作出函数/（司=1。氏|。+乂的大致图象，结合图象可得/⑼即可得

解.

【详解】函数/3=1%|。+耳的图象关于X=F对称，其定义域为

作出函数/（x）=log2|a+M的大致图象如