2023届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测数学（理）试题

2023届陕西省汉中市高三上学期教学质量第一次检测数学（理）试题一、单选题1．若复数满足（为虚数单位），则下列结论正确的有（）A．的共轭复数为 B．C．的虚部为 D．在复平面内是第三象限的点【答案】B【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义、复数模的公式、复数虚部的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.【详解】因为，所以的共轭复数为；；的虚部为；在复平面内对应点的坐标为，它在第四象限，故选：B2．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求解集合中的一元二次不等式和绝对值不等式即可进一步得解.【详解】，，故选：A.3．命题“空间几何体是正三棱锥”是命题“空间几何体是正四面体”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据正三棱锥和正四面体的定义，以及充分、必要条件的判断即可求解.【详解】侧棱与底面边长都相等的正三棱锥为正四面体，所以正三棱锥不一定是正四面体，但正四面体一定是正三棱锥，所以“空间几何体是正三棱锥”是命题“空间几何体是正四面体”的必要不充分条件，故选：.4．函数的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的正负进行综合判断.【详解】因为，所以为奇函数，故排除A选项；因为时，令，即，所以，故，排除B、D选项.故选：C.5．m，n为空间中两条不重合直线，为空间中一平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】B【解析】根据空间中的线线平行、线面平行、线面垂直的定义以及性质逐项进行判断.【详解】A．因为，，所以当时，不满足，故错误；B．根据“垂直于同一平面的不同直线互相平行”可知B正确；C．因为，，所以可能是异面直线，故错误；D．因为，，所以时也满足，故错误，故选：B.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过分析已知的平行垂直关系，找寻不符合条件描述的反例，由此排除选项.6．已知由正数组成的等比数列中，前6项的乘积是64，那么的最小值是A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【详解】分析：先利用题意和等比数列的性质得到，再利用基本不等式进行求解．详解：由等比数列的性质，得，即，又因为，所以（当且仅当时取等号）．点睛：本题考查等比数列的性质、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．7．为得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】A【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.【详解】故可由的图象向左平移个单位长度得到.故选：A.8．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.9．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知条件及两点的距离公式，利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆上的点到直线的最值问题及三角形的面积公式即可求解.【详解】因为直线分别与轴，轴交于两点，所以令，得，所以，令，得，所以，所以，因为圆的方程为，所以圆心坐标为，半径为，所以圆心到直线的距离为,设点到直线的距离为，所以，即，于是有，所以，故面积的取值范围为.故选:A.10．扇子文化在中国源远流长.如图，在长为､宽为的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为.若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出小扇形的半径，计算扇环的面积，即可求解面积型几何概型问题．【详解】设小扇形的半径为r，则大扇形的半径为r+16，则有，解得，所以扇环面积为所以若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为故选：D．11．若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个直角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】如图所示，抛物线的焦点为，双曲线的实轴端点为由题得，化简即得解.【详解】解：如图所示，抛物线的焦点为，双曲线的实轴端点为由题得，，所以，所以所以故选：B12．若函数的两个零点是，则（）A． B．C． D．无法判断【答案】C【分析】首先将函数的零点转化为函数和的交点，再结合函数的单调性可知，，去绝对值后，即可求解.【详解】令，则，如图分别画出和，两个零点分别设为，且函数单调递减，如图可知，，，即，所以.故选：C二、填空题13．曲线在点处的切线方程为__________________.【答案】【解析】根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，再求得，可得切点的坐标，代入公式，即可求得切线方程.【详解】由题意得，所以在点处切线的斜率，又，即切点为，所以切线方程为，整理可得.故答案为：14．已知向量，若，则___________.【答案】##【分析】先利用平面向量垂直的坐标表示求得，再利用平面向量线性运算与模的坐标表示即可求得结果.【详解】因为，，所以，得，则，所以，故.故答案为：.15．已知数列满足：，若，则的通项公式为___________.【答案】【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解.【详解】因为，所以，则数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，则，故答案为：.16．若三角形内切圆半径为，三边长分别为，，，则，利用类比思想：若四面体内切球半径为，四个面的面积为，，，，则四面体的体积____________.【答案】【分析】根据类比思想，“”变成“”，“边”变成“面”，“内切圆半径”变为“内切球半径”.【详解】若四面体内切球半径为，四个面的面积为，，，，则四面体的体积.证明：如果四面体，其内切球球心为则故答案为：.三、解答题17．已知分别为内角的对边，且(1)求角；(2)若的面积为，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合正弦定理，边化角即可求解角；（2）结合三角形面积公式与余弦定理求解，即可得的值.【详解】（1）解：，由正弦定理得，所以由于，所以，则，又，所以；（2）解：由（1）得，由余弦定理得，，.18．如图，多面体中，四边形为菱形，平面，且.(1)求证：；(2)求二面角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）首先证明，再结合线面垂直证明线线垂直.（2）首先建立坐标系，再分别求出平面和平面的法向量，再求二面角即可.【详解】（1）证明：由于四边形为菱形，则平面平面又平面平面平面，又平面（2）如下图，取的中点，连接，为等边三角形，，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则由题意得，又，则，，由（1）知平面，则可取为平面的法向量设平面的法向量为，则，，令得，设二面角的平面角为，则，由题知二面角的锐二面角，所以二面角大小为.19．某企业为响应国家在《“十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与自然和谐共生”的号召，推进产业结构高端化转型，决定开始投入生产某新能源配件.该企业初步用甲､乙两种工艺进行试产，为了解两种工艺生产新能源配件的质量情况，从两种工艺生产的产品中分别随机抽取了件进行质量检测，得到下图所示的频率分布直方图，规定质量等级包含合格和优等两个等级，综合得分在的是合格品，得分在的是优等品.(1)从这100件甲工艺所生产的新能源配件中按质量等级分层抽样抽取5件，再从这5件中随机抽取2件做进一步研究，求恰有1件质量等级为优等品的概率；(2)根据频率分布直方图完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为新能源配件的质量等级与生产工艺有关？该企业计划大规模生产这种新能源配件，若你是该企业的决策者，你会如何安排生产，为什么？合格品优等品合计甲生产工艺乙生产工艺总计附：，其中.【答案】(1)(2)列联表答案见解析，有的把握认为配件的质量和生产工艺有关，选择甲工艺生产新能源配件，理由见解析【分析】（1）根据频率分布直方图求出合格品､优等品出现的频率，根据分层抽样求出5个配件中，合格品和优等品的件数，再根据古典概型的概率公式可求出结果；（2）根据频率分布直方图求出合格品､优等品的频数，可得列联表，利用公式，其中，求出，对照临界值表可得有的把握认为配件的质量和生产工艺有关.根据优等品率可作出决策.【详解】（1）由甲工艺频率分布直方图可知，合格品､优等品出现的频率分别为和，所以按分层抽样抽取的5个配件中，有合格品2个､优等品3个，所以从5个中随机抽取2个，恰有1个质量等级为优等品的概率为：.（2）甲生产工艺生产的合格品有件，优等品有件，乙生产工艺生产的合格品有件，优等品有件，所以列联表为：合格品优等品总计甲生产工艺4060100乙生产工艺5545100总计95105200所以由于，所以有的把握认为配件的质量和生产工艺有关.应该选择甲工艺生产新能源配件，因为甲的优等品率为，乙的优等品率仅为.20．已知椭圆）的左、右焦点分别为，离心率为为椭圆上的一个动点.面积的最大值为2.(1)求椭圆的标准方程.(2)设斜率存在的直线与的另一个交点为，是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；（2）设直线方程为：联立直线与椭圆的方程，先讨论时是否满足，当时，根据直线斜率列式化简求解即可.【详解】（1）由题意，离心率，由当是的上顶点时，面积的最大，则，得.又，故椭圆的标准方程为（2）存在点，使得.由题知，设直线方程为：，联立，得设，设的中点为，则是该方程的两个根，，则，当时，由易得；当时，由知，则直线斜率，所以，得.所以，由于，则，综上所述，故存在点，使得，且的取值范围.【点睛】方法点睛：本题主要考查了椭圆的基本量关系，同时也考查了利用直线与圆锥曲线的关系，列式利用韦达定理表达所求式，从而化简求解的问题.常用点坐标表达斜率、中点等，再代入韦达定理化简求解.属于难题.21．已知函数为常数.(1)若，求的最小值；(2)在（1）的条件下，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由可求出，然后利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值；（2）将问题转化为证成立，令，则只需证明，构造函数，利用导数求出其最小值大于等于零即可.【详解】（1）由题得，则，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.（2）证明：由（1）知：，所以要证即证，即证，即证，因为，所以即证，令，则只需证明，由（1）知，令，则在递增，所以当时，取得最小值0，所以，即，所以原不等式成立.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，第（2）问解题的关键是将问题转化为，然后通过换元，构造函数，利用导数求其最值即可，考查数转化思想和计算能力，属于较难题.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的直角坐标方程，并化为标准方程；(2)已知点的极坐标为与曲线交于两点，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）变形为，结合，求出直角坐标方程，为圆，再化为标准方程；（2）求出点的直角坐标，将直线的参数方程代入圆的方程，用的几何意义求解.【详解】（1）两边同乘以可得：，由可得：，即；（2）