安徽省合肥市大地中学高三数学文模拟试卷含解析

安徽省合肥市大地中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合，集合,则

（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C

因为所以，故选C.2.已知函数，若在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由题意可得总的区间长度，解不等式可得满足条件的区间长度，由几何概型的概率公式可得．【解答】解：令f（x）=0，解得：x=4，故在区间（0，16）内随机取一个数x0，则f（x0）＞0的概率p==，故选：D．3.已知函数的图像关于y轴对称，则的图像向左平移（

）个单位，可以得到的图像（

）.A. B. C. D.参考答案：D【分析】根据条件确定关系，再化简，最后根据诱导公式确定选项.【详解】因为函数的图像关于轴对称，所以，，即，因此，从而,选D.【点睛】本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.4.已知函数，若成立，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.下列命题①命题“若，则”的逆否命题是“若，则x=1”.②命题

③若为真命题，则p,q均为真命题.④“x>2”是“”的充分不必要条件。其中真命题的个数有（

）A.4个

B.3个

C.2个

D.1个参考答案：B略6.如图，在矩形内：记抛物线与直线围成的区域为（图中阴影部分）．随机往矩形内投一点，则点落在区域内的概率是A．

B． C．

D．参考答案：B7.若函数在区间（－∞，2上是减函数，则实数的取值范围是（

）A．－，+∞）

B．（－∞，－

C．，+∞）

D．（－∞，参考答案：B略8.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（

）A．2

B．

C．4

D．

参考答案：B略9.设满足约束条件，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D10.函数在（0，2）上是增函数，函数f（x+2）是偶函数，则 A． B． C． D．参考答案：D因为函数f（x+2）是偶函数，所以函数关于直线x=2对称，所以，又因为函数在（0，2）上是增函数，且，所以，即。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）则直线l在x轴和y轴的截距之和的最小值是

．参考答案：3+2考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：把点（1，1）代入直线方程，得到=1，然后利用a+b=（a+b）（），展开后利用基本不等式求最值．解答： 解：∵直线l：（a＞0，b＞0）经过点（1，2）∴=1，∴a+b=（a+b）（）=3+≥3+2，当且仅当b=a时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为3+2．故答案为：3+2．点评：本题考查了直线的截距式方程，考查利用基本不等式求最值，是中档题．12.若是等差数列的前项和,且，则的值为

．参考答案：44试题分析：由,解得,又由13.在中，若

。参考答案：2试题分析：因为，所以考点：三角恒等变换.14.定义在上的函数满足，当时，，则函数的图像与函数的图像的所有交点的横坐标之和等于

▲

参考答案：815.直线过定点_____________。参考答案：解析：，对于任何都成立，则16.已知函数f（x）定义域为R，若存在常数f（x），使对所有实数都成立，则称函数f（x）为“期望函数”，给出下列函数：①f（x）=x2②f（x）=xex③④其中函数f（x）为“期望函数”的是．（写出所有正确选项的序号）参考答案：③④【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x2≤|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，②：同理①可判定；对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×=，k≥．存在常数k＞0，使对所有实数都成立；对于④，同理③可判定；【解答】解：对于①：假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=x2≤|x|，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017|x|，因此不存在k＞0，使得x≠0成立，因此假设不正确，即函数f（x）不是“期望函数”；对于②：同理①可得②也不是“期望函数”；对于③：假设函数f（x）为“期望函数“，则则|f（x）|=，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×=，∴k≥．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴③是“期望函数”；对于④，假设函数f（x）为“期望函数“，则|f（x）|=，当x=0时，k∈R，x≠0时，化为k≥2017×，k≥2017，．∴存在常数k＞0，使对所有实数都成立，∴④是“期望函数”；故答案为：③④．【点评】本题考查了新定义函数、分类讨论方法、函数的单调性及其最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.已知sin(＋α)＝，则cos(π＋α)的值为_________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，平行六面体中，底面是边长为1的正方形，设，，（1）试用，，表示向量、； （2）若，求直线与所成的角.

参考答案：（1）由向量的加减运算法则知：

…………4分（2）由题意

…………7分

…………10分即与所成的角为

…………12分19.已知a∈R，函数f（x）=x2﹣a|x﹣1|．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点个数．参考答案：考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）把绝对值函数化为分段函数，继而求出函数的最小值；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，分a＞1，a=1，a＜1三种情况讨论，其中a＞1，和a＜1时，还要继续分类讨论，根据二次函数的性质即可得到答案．解答： 解（Ⅰ）当a=1时，，故；（Ⅱ）设h（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣|x﹣a|，当a＞1时，，1、x≥a时，h（a）=a＞0，对称轴，无零点．1≤x＜a时，x1=0（舍去），x2=a﹣1，所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，x＜1时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（1）=2﹣a所以（ⅰ）a≥2时，一个零点；（ⅱ）1＜a＜2时，两个零点．综上所述，a＞1时，h（x）有两个零点，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，2．a=1时，，即y=f（x）的图象与y=|x﹣a|的图象的公共点有2个，3．a＜1时，…x≥1时，对称轴，h（1）=a．所以（ⅰ）a≤0时，一个零点；（ⅱ）0＜a＜1时，无零点．a≤x＜1时，x1=0（舍去），x2=1﹣a，所以（ⅰ）时，一个零点；（ⅱ）时，无零点．x＜a时，△=a2+10a+1，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）所以（ⅰ）时，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）＞0，无零点；（ⅱ）时，△=a2+10a+1＜0，无零点；（ⅲ）时，，一个零点；（ⅳ）或时，△=a2+10a+1＞0，对称轴，h（a）=a（2a﹣1）＞0，两个零点；（ⅴ）时，h（a）=a（2a﹣1）≤0，一个零点，综上，（ⅰ）或a＞0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有2个；（ⅱ）或a=0时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有3个；（ⅲ）时，y=f（x）与y=g（x）的图象的公共点有4个．点评：本题考查了二次函数的性质，难点是分类讨论，类中有类运算量大，分类多，属于难题．20.（本小题满分12分）如图4，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC＝，M为AB的中点．（I）证明：AC⊥SB;（II）求点B到平面SCM的距离。参考答案：（Ⅰ）证明：如图4，取AC的中点D，连接DS，DB．因为，，所以，，所以，又，所以．

………………（6分）（Ⅱ）解：因为，所以.如图4，过D作于E，连接SE，则，………（8分）所以在中，，，，CM是边长为2的正△ABC的中线，，，．……（10分）设点B到平面SCM的距离为h，则由得，所以． ……………（12分）21.

如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点。（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值。参考答案：

（1）证明：由四边形为菱形，，可得，为正三角形.因为M为的中点，所以.

………2分又，因此.因为平面，平面，所以.

而，所以平面.

………………4分（2）设为上任意一点，连接、.由（Ⅰ）可知：平面.则为与平面所成的角.

在中，，所以当最短时，最大，

……………6分即当时，最大，此时，因此.又，所以，于是.

…9分如图建立空间直角坐标系，则,，，，，，则,，，设的中点为，则，故就是面的法向量，.设平面的法向量为，二面角的平面角为.，二面角的余弦值为.

…………12分22.已知函数的定义域为（0，＋），（a=2.71828..-自然对数的底数）

（1）求函数y＝f（x）在［m，m＋2〕（m＞0）上的最小值；

（II）若x＞1时，函数y＝f（x）的图象总在函数的图象的上方，求实数t

的取值范围；

（III）求证