2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数的性质及其应用学案新人教A版必修第一册

第2课时指数函数的性质及其应用

L课前自主预习

目学习目标

1.掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断.

2.能借助指数函数图象及单调性比较大小.

3.会解简单的指数方程、不等式.

4.了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法.

目要点梳理

1.指数函数值与1的大小关系

(l)a>l时，当x〉0时，乏1；当x<0时，0<y<l.

(2)0〈a〈l时，当x>0时，0<.y<l;当*0时，叱L

2.对称关系

函数y=a-'与y=a'的图象关于y轴对称.

3.图象位置关系

底数a的大小决定了图象相对位置的高低.

(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，“底大图高”.作出直线x=l,

与图象的交点从上至下即为底数从大到小的排列顺序.

(2)在y轴左侧，图象正好相反.如图所示的指数函数的底数的大小关系为0〈水c〈"次a.

回思考诊断

1.指数函数y=a'(a>0且aWl)的函数值随自变量有怎样的变化规律？

［答案］当a〉l时，若x>0,则y〉l；若x〈0,则0〈於1.

当0〈a<l时，若x>0,则0<7<1；若x<0,则y>l

2.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

⑴若0.3">0.3,则a>6.()

(2)函数y=3x?在［0,+8)上为增函数.()

⑶函数y=2错误!在其定义域上为减函数.(

⑷若於1,则勿>0.()

［答案］⑴X(2)V(3)X(4)X

区课堂互动探究

题型一利用指数函数的单调性比较大小

【典例1】比较下列各组数的大小：

(1)0.7一“3与0.7一°"；

(2)2.5"与1.2"；

⑶1.卢与0.92-4.

［思路导引］(1)利用指数函数的单调性比较；(2)利用指数函数的图象比较；(3)借助

中间量1进行比较.

［解］(1)：y=0.7、在R上为减函数，

又：一0.3>-0,4,AO.7-0-3<0,7-0-4.

(2)在同一坐标系中作出函数y=2.5*与y=1.2*的图象，如图所示.由图象可知

991-4

⑶•.T.9°">1.9°=1,

0.92-4<0.9°=1,

Al.904>0.924.

名师提醒〉

比较幕的大小的3种类型及方法

(1)对于底数相同但指数不同的两个幕的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判

断.

(2)对于底数不同，指数相同的两个幕的大小比较，可利用指数函数的图象的变化规律

来判断.

(3)对于底数不同且指数不同的哥的大小的比较，则应通过中间值(如。或1)来比较.

［针对训练］

1.已知a=0.8°,,6=0.8°\c=1.2"8,则a,b,c的大小关系是()

A.a)U>cB.t)>a>c

C.c>t)>aD.c>a>b

［解析］..•函数尸0.8,在R上为减函数，

AO.8°-7>0.80-9,BPa>b.

又0.807<1,1.2O-8>1,

AO.8°-7<l.20-8,即a<c./.c>a>b.选D.

［答案］D

题型二解简单的指数不等式

【典例2】(1)解不等式：针

(2)已知ax。-3x+l〈a-6(a〉0,且a=l),求x的取值范围.

［思路导引］(1)化为同底的指数不等式，再利用单调性求解；(2)分a>l与0〈a〈l两种

情况解不等式.

［解］(1)：2=6)T,

原不等式可以转化为・(3一)

在R上是减函数，

3x—12—1,x^O.

故原不等式的解集是{x|xN0}.

(2)分情况讨论：

①当O〈a〈l时，函数f(x)=a*(a>0,且a=l)在R上是减函数，

x—3x+1>x+6,.,.V—4x—5〉0,解得x〈一1或x>5；

②当a>l时，函数f(x)=a，(a〉O,且a=l)在R上是增函数，

'.x—3x+l〈x+6,'.x—4x—5〈0,解得一l〈x〈5.

综上所述，当0<a<l时，x<—1或x>5；

当a>l时，一l〈x〈5.

|名师提醒A

指数不等式的求解策略

(1)形如的不等式：可借助y=a"的单调性求解.如果a的值不确定，需分O〈a〈l

和a>l两种情况讨论.

(2)形如a>b的不等式：注意将b化为以a为底的指数幕的形式，再借助尸a，的单调

性求解.

［针对训练］

2.已知321力(，一°5,求实数X的取值范围.

［解］由321力0>°5,得321力3叱

.函数尸3'在R上为增函数，

3

2x~120.5,得

故X的取值范围是・+8).

3.若石一5,尸7(於0且awi),求x的取值范围.

［解］①当於1时，・・・/5〉^+7,且函数y=H为增函数,

.，7

/.—5x>x+7,解得x<—~

6

②当0〈水1时，・・,/5,/+7,且函数/=/为减函数，

,7

—5x<x+7,解得x>--

6

综上所述，当a〉l时，x的取值范围为(一8,一5.

当0〈a〈l时，x的取值范围为卜卷+8).

题型三指数型函数的单调性

【典例3】已知函数f(x)=群-

(1)判断函数/Xx)的单调性；

(2)求函数f(x)的值域.

［思路导引］由函数〃=/—2x和函数尸电"的单调性判断.

［解］(1)令『=/—2x,则原函数变为

—2x=(X—1)2—1在(-8,1］上单调递减，在［1,+8)上单调递增，又•.•/=

"在(一8,+8)上单调递减，

在(一8,1］上单调递增，在［1,+8)上单调递减.

(2)Vu=x~2x=(x—I)?—12一1,

"=0，〃£［-1,+0°),

...原函数的值域为(0,3］.

［变式］若本例"f(x)=e)J2，”改为“f(x)=2-""，其他条件不变，如何求解？

［解］⑴设〃=|2x—11,由函数y=2"和U=12x—11的定义域为R,故函数尸2m

的定义域为R.

•."=12X—1］在(一8,B上单调递减，A，+8)上单调递增，

而y=2"是增函数，

...了=2必7在(一8,；上单调递减，在，，+8)上单调递增.

⑵•."=|2x—1|20,.,.2U^1.

原函数的值域为［1,+8).

|名师提醒A

指数型函数单调性的解题技巧

(1)关于指数型函数尸a*(a〉0,且aWl)的单调性由两点决定，一是底数a>l还是

0<a<l;二是/1(x)的单调性.它由两个函数y=a",〃=『(x)复合而成.

(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y=f(u),u=

0(x),通过F(u)和0(x)的单调性，利用“同增异减”的原则，求出y=/［0(x)］的单调

性，即若了=?(〃)与u=0(x)的单调性相同(同增或同减)，则/=九0(王)］为增函数，若y

=f(u)与u=O(x)的单调性相反(一增一减)，则尸110(x)］为减函数.

［针对训练］

2

4.求函数f(x)=3-'+33的单调区间.

2

［解］由题意可知，函数y=f(x)=：T'+2x+3的定义域为实数集R.设〃=—V+2X+3(X

GR),则y=3",故原函数是由〃=—f+2x+3与y=3"复合而成.•.)=3“是增函数，而u

=—x+2x+3=—(X—1)2+4在xe(—8,1］上是增函数，在［1,+8)上是减函数.；.『(王)

的单调递增区间为(-8,1］,单调递减区间为［1,+8).

题型四指数函数的实际应用

【典例4】某林区2016年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁

采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率能达到5%.若经过x年后，该林区的木材蓄积量

为y万立方米，求y=f(x)的表达式，并写出此函数的定义域.

［解］现有木材的蓄积量为200万立方米，经过1年后木材的蓄积量为200+200X5%

=200(1+5%)；

经过2年后木材的蓄积量为200(1+5%)+200(1+5%)X5%=200X(1+5%尸万立方米；

经过X年后木材的蓄积量为200X(1+5%)'万立方米.

故y=f(x)=200X(1+5%)，,xdN*.

|名师提醒A

解决指数函数应用题的流程

(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义，从题意中提取信息.

(2)建模：据已知条件，列出指数函数的关系式.

(3)解模：运用数学知识解决问题.

(4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论.

［针对训练］

5.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一

天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已

生长了天.

［解析］假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数

关系为了=2广1,当x=20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.

［答案］19

课堂归纳小结

1.比较两个指数式值的大小的主要方法

(1)比较形如a"与的大小，可运用指数函数y=a，的单调性.

⑵比较形如/与^的大小，一般找一个“中间值c"，若且c〈况则a"〈成若

a">c且c〉6,则a">6.

2.解简单指数不等式问题的注意点

(1)形如4〉a'的不等式，可借助y=a*的单调性求

解.如果a的值不确定，需分0<a〈l和a>l两种情况进行讨论.

(2)形如a，>6的不等式，注意将6化为以a为底的指数幕的形式，再借助y=a*的单调

性求解.

(3)形如a>b'的不等式，可借助图象求解.

3.研究y=a.型单调区间时，要注意a>l还是

当a>l时，与f(x)单调性相同.

当0<a<l时，与f(x)单调性相反.

L随堂巩固验收

i.下列判断正确的是()

A.2.52-5>2.53B.0.82<0.83

C.dCn错误！D.0.903>0,90-5

［解析］函数y=0.9、在R上为减函数，所以O.9"〉O.9"5.

［答案］D

2.若则实数a的取值范围是()

A.(1,+°°)B.&+8)

C.(-8,1)D.1-8,y

［解析］函数在R上为减函数，；.2a+l〉3—2a,

［答案］B

3・吗〈©〈IM，则()

A.a^a^lfB.

C.a^a^lfD.歌欣司

［解析］由已知条件得0〈水灰1,a<.a,a^l),

［答案］C

4.函数尸的1的单调增区间为()

A.(一8,+8)B.(0,+°0)

C.(1,+8)D.(0,1)

［解析］设t=l—X,则尸成‘，则函数t=l—x的递减区间为(-8,+8),即为y

(1)1的递增区间.

［答案］A

2

5.已知函数/■5)=2-,+2：

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)求函数f(x)在［0,3］上的值域.

2,

［解］(1)函数/=2一'+"的定义域是R.令u=—V+2x,则了=2”.当xe(—8,1］时，

2

函数〃=—x?+2x为增函数，函数y=2"是增函数，所以函数尸2--2,在(一8,1］上是增

函数.

当xe［l,+8)时，函数〃=—f+2x为减函数，函数y=2"是增函数，所以函数y=2

22

r+2,在［1,+8)上是减函数.综上，函数夕=2一'+2"的单调减区间是［1,+8),单调增区

间是(一8,1］.

(2)由(1)知Hx)在［0,<上单调递增,在［1,3］上单调递减，且F(0)=l,f(l)=2,f(3)

=l，所以F(X)max=/W=2,F(X)min=F⑶所以F(X)的值域为:，2.

ooL°_

课内拓展课外探究

指数函数与函数的单调性、奇偶性

指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合

函数的单调性由指数函数的单调性决定.

1.“y=f(a丹”型函数的单调性

【典例1】如果函数尸产+2a'—l(a>0,且aWl)在［―1,1］上有最大值14,试求a

的值.

［解］令(t>0),则原函数可化为y=(t+l)2—2,其图象的对称轴为直线t=~

1.

①若a>l,因为xG［―1,1］,所以力G±a,则y=C+l)2—2在士a上单调递增，

_aJ\_a_

所以％ax=Q+1)2—2=14,解得d=3或d=—5(舍去).

②若。〈水1,因为—1,1］,所以力£a,-,则尸(什1)2—2在a,'上单调递

3,Q,

增，所以%ax=G+l1—2=14,解得a=<或a=—<(舍去).

\a)35

综上可知，a的值为3或;.

［点评］解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数

的最值问题.在处理时可以利用换元法将指数函数换成t=a，的形式，再利用定义域和函数

y=a*的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了.

2.“y=f(a丹”型函数的奇偶性

【典例2】设函数F(x)=；一$，

(1)证明函数f(x)是奇函数；

(2)证明函数/'(X)在(一8,十8)内是增函数；

(3)求函数f(x)在［1,2］上的值域.

［解］(1)证明：函数的定义域为R,关于原点对称.

_1___1___12J1-2X_1।____

?(一"=2-1=2-2x+l=2(2A+l)=—尹2"+1=—f(x),

亍+1

所以函数f(x)为奇函数.

(2)证明：设1r「孙是(—8,十8)内任意两实数，且彳1

<12'

则/(71)(

—fX2)r-2q+i-2十2一+i

_2三一222

一(2%+1)(2%+1)，

因为与<丁2,所以27—2%V0,

所以/(71)—/(彳2)〈0，即(卫2)，

所以函数，(彳)在(-8,+8)内是增函数.

(3)因为函数f(x)在(-8,+8)内是增函数,

所以函数f(x)在［1,2］上也是增函数，

13

所以/(A)min=-f(l)=言，/(^max=/(2)=~

010

所以函数f(x)在［1,2］上的值域为

［点评］指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数,利用函数的图象和

性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题.

课后作业（二十八）

复习巩固

一、选择题

1.若函数f（x）=（l—2a）'在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是（）

11

-_

D.-22

［解析］由已知，得0〈l—2a〈l,解得O〈ag,即实数a的取值范围是（0,.故选B.

［答案］B

2

2.若0.72iW0.7'T,则x的取值范围是（）

A.[―1,3]

B.(―°°,—1]U[3,+°°)

C.[—3,1]

D.(-8,-3]U[1,+8)

［解析］:♦函数尸0.7乂在R上为减函数,

2

且0.7勿-<0.7--4,

2x—-4,即x"—2x—3W0.

解得一1WXW3,故选A.

［答案］A

222

3.设《=（］）3=（告）,c=（春），则a,〃,c的大小关

系是（）

A.a>c>〃B.a>〃>c

C.c>a>〃D.b>c>a

构造指数函数y=（1）（xGR）,

［解析］由该函数在定义域内单调递减，可得沃c；又y

=1|），（xGR）与y=R）之间有如下结论：当x>0时’有

故

［答案］A

4.设/'(x)为奇函数，且当x20时，f(x)=e，—l,则当KO时，f(x)=()

A.eA—1B.e'+1

C.D.-e^'+l

［解析］由题意知/1(*)是奇函数，且当时，/"(x)=e”一1,则当水0时，一x>0,

则f(—^=e~'—l=—fix),得『(x)=-e-'+1.故选D.

［答案］D

5.已知函数/■(王)=@2-*(@>0且@#1),当x〉2时，f(x)〉l,则/'(x)在口上()

A.是增函数

B.是减函数

C.当x〉2时是增函数，当水2时是减函数

D.当x>2时是减函数，当水2时是增函数

［解析］令2—x=t,则力=2—x是减函数，因为当x>2时，f(x)>l,所以当伏。时,

a>l.所以0<a<l,所以f(x)在R上是增函数，故选A.

［答案］A

二、填空题

6.满足方程4'+2'-2=0的x值为.

［解析］设力=2"(办0),则原方程化为「十力-2=0,

t=l或t——2.

Vt>0,；"=—2舍去.

t=1,即2*=1,；.x=0.

［答案］0

2

7.函数y=3“-的值域为.

［解析］设u=x-2x,则y=3u,

u=x-2x=(才一1)2—1三一1,

所以y=3"23T=',

2「1\

所以函数尸3一x的值域是丘，+8)

［答案］+8)

8.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的疝要使存留污垢不超过原来的斑，则至少

要漂洗次.

［解析］经过第一次漂洗，存留量为总量的经过第二次漂洗，存留量为第一次漂洗

后的也就是原来的《)，经过第三次漂洗，存留量为原来的肋…，经过第X次漂洗,

存留量为原来的6),故解析式为了=6).由题意，击，4^100,2^10,.-.^4,

即至少漂洗4次.

［答案］4

三、解答题

9.某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为L2%,试解答下面的问题:

(1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人).

(参考数据：1.0129m3,1.012叫w1.127)

［解］(1)1年后该城市人口总数为：

100+100X1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后该城市人口总数为：

y=100X(1+1.2%)+1OOX(1+1.2%)XI.2%

=100X(1+1.2%)2；

3年后该城市人口总数为:y=100X(l+l.2%)*

x年后该城市人口总数为：7=100X(1+1.2%),.

(2)10年后该城市人口总数为：y=100X(1+1.2%)10

=100X1.012n)仁112.7(万人).

10.已知函数F(x)=10,系-4才+3.

(1)若a=-1时，求函数f(x)的单调增区间；

⑵如果函数F(x)有最大值3,求实数a的值.

［解］(1)当a=—1时，HX)=W"T.+3,

令g(x)=-x-4x+3=—(JT+2)2+7,

由于g(x)在(一2,+8)上递减，

在R上是减函数，

・・・F(x)在(一2,+8)上是增函数，即的单调增区间是(一2,+8).

⑵令力(x)4x+3,_f(x)

由于广(x)有最大值3,所以力(X)应有最小值一1；

<3>0,

因此必有<123—16解得a=l,

4a1，

故当F(x)有最大值3时，a的值为1.

综合运用

f—1~3ax<Q

11.函数f(x)=.'(a>0,且aWl)是R上的减函数，则a的取值范围

［a,GO

是()

1\1

9\

±1!-X1C3-

A.7B.373

［0<a<l,1

［解析］由单调性定义，/Xx)为减函数应满足：、。，即wWa〈l,故选B.

［3a》aJ

［答案］B

12.函数y=3"+2•3”—1,xe［l,+8)的值域为.

［解析］令3'=得由xe［l,+8),得te［3,+-).

"=r+26—1=(-22(3+1)2—2=14.

故所求函数的值域为［14,+8).