2022-2023学年湖南省长沙市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年湖南省长沙市成考专升本数

学（理）自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.复数x=D+bi（a,b£R且a,b不同时为0）等于它的共辄复数的倒数的

充要条件是（）

A.A.a+b=lB.a2+b2=lC.ab=lD.a=b

2.下列函数中，为偶函数的是（）o

A<=log2xB.）=/

4,

Cr-y=~D.y=三+]

3函数V=COBj的最小正周期是

A.A.6TIB.3兀C.2兀D.K/3

4.从6名男大学生和2名女大学生中选取4名做上海世博会的志愿者,

2名女大学生全被选中的概率为（）

A.l/3B.3/14C.2/7D.5/14

_a2—4a+3

5.复数KT~-+Q2—3a+2）i（a£R）为实数，则

A.lB.2C.3D.4

6.喝1+167+依。=<4.2B.4C.3D.5

函数y=斤后的定义域是()

(A)(-*,-4]U[4,+OO)(B)(-oo,2]U[2,+so)

7(C)[-4,4j(D)[-2,2]

9.过点P(2,3)且在两条坐标轴上截距相等的直线方程是()

A.x+y=5B.3x-2y=0C.2x-3y=0或x+y=5D.x+y=5或3x-2y=0

10.下列数列中收敛的是()

A.{(-l)n-3)

B.{n}

c.(2+(-1)'

[(-1)*•宁

D.

11.已知f(x)是定义域在[—5,5]上的偶函数，且f(3)>f(l),则下列各式-

定成立的是

A.f(-1)<f(3)B.f(0)<f⑸C.f(3)>f⑵D.f(2)>f(0)

12+J了的值等于()

A.2B.-2C.OD.4

137.函数y=log|IxlQeR且xaO）为（）

A.奇函数，在（-8,0）上是减函数

B.奇函数，在（-8,0）上是增函数

C.偶函数，在（0,+◎上是减函数

D.偶函数，在（0,+◎上是增函数

.4

14卜-展开式中的常数项是（）

A.A.

BC

C.

D.-C

15.某人打靶的命中率为0.8,现射击5次，那么恰有两次击中的概率为

（）

A.0.81B.O.8,xO.2,

C.CiO.8'x0.2,D.CjO.8*x0.2’

16

A.x+y+2=0B.x-y+2=0C.x+y-2=0D.x-y-2=0

17.已知直线/1：r+2=°和小尸一孳^与。的夹角是（）

A.450B.60°C.12O0D.1500

18.在△ABC中，已知2B=A+C,b2=ac,贝ljB-A=

A.OB.n/6C.n/4D.元/3

(x/O)展开式中的常数项是

(A)C：(B)《

19.(C)-C：(D)-C：

正四校柱48CZ)-44Gq中，AA(=2AB.则直线典与直线GR所成角的正弦值

为

(B)—

21.已知偶函数y=f(x)在区间[a,6](0<a<b)上是增函数，那么它在区间

上是()

A.增函数B.减函数C.不是单调函数D.常数

22.如果不共线的向量a和b有相等的长度，贝IJ(a+b)(a-b)=()

A.OB.lC.-lD.2

=i

23.设双曲线169的渐近线的斜率为k,则|k|=()o

A・4

24：:：：rn；二1；乙=£冽

A.A.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件

B.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件

C.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

D.甲是乙的充分必要条件

2鬃也数％=l+2i・w,=2-i(其中i是虚数单位),1k•«»«()

A.A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i

已知函数，=，£)的图像在点处的切域方程是y=则人1)♦

26./“)为()A.2

B.3C.4D.5

巳知〃工1=H+/TTZ(Z>O).则/(力=

27.-()

Ly/FTT

A.A.

]+77rz

B.~

C.

1+J±+]

D.

28.长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别为4,8,18,则此长方体

的体积为

A.12B.24C.36D.48

已知向量0=(2,-3/)。=(2,0,3)9=(0,0,2),则。・“+£)=()

(A)8(B)9

29.(013(D)

30.

(2)两数y=5*±1(-»<上<十8)的反应数为

(A)r=hg.(l<1)(B)ynS'-(-8<x<+8)

(C)y«bg5(x1)J>>1)(D；y=5…♦1,(-*<t®；

二、填空题(20题)

在5个数字1,2,3,4,5中，随机取出三个数字,则列下两个数字是奇数的《(率暴

31.______

32.设正三角形的一个顶点在原点，且关于x轴对称，另外两个顶点在抛

物线'"'上，则此三角形的边长为.

33.已知双曲线的离心率是2,则两条渐近线的夹角是

34.若a=(Lt,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是.

已知随机变量g的分布列姑

4-1012

££

P

3464

35」二

36.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

37.已知5n<a<ll/2n,且|cosa|=m,则cos(a/2)的值等于.

21.曲线y=3七在点(-1,0)处的切线方程___________.

38.i2

直线3x+4y-12=0与了轴，轴分别交于4,8两点.0为坐标原点，则△048的

39.冏K•为――-

40.椭圆4r的离心率为。

已知tana-cola=1,那么tan2a+cot2a=,tan>a-cot'a=

41.

42.

某射手有3发子弹，射击一次，命中率是0.8,如果命中就停止射击,

否则一直射到子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是

43.球的体积与其内接正方体的体积之比为.

44.5名同学排成一排，甲乙两人必须相邻的不同排法有一一种.

（18）从一批袋装食品中抽取5袋分别际重.结果（单位：8）如下：

98.6.100.1.101.4,99.5,102.2,

6我样本的方差为____________（/）（精•到0.1/）.

45.

46.

函数y«9inxcosj-+y3cos:x的最小正周期等于.

47.从标有1〜9九个数字的九张卡片中任取2张，那么卡片上两数之

积为偶数的概率P等于

48.若正三棱锥底面边长为a,且三条侧棱两两垂直，则它的体积为

49.如果2＜。＜4,那么-2）（。-4）0.

50.

函数y=3r+4的反函数是.

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

设两个二次函数的图像关于直线X=1对称，其中一个函数的表达式为

Y=x2+2x-l,求另一个函数的表达式

52.（本小题满分12分）

已知鸟,吊是椭圆金+2=1的两个焦点/为椭圆上一点，且吊=30。,求

△PF果的面积.

53.

（本小题满分12分）

已知椭圆的离心率为看且该椭圆与双曲若-y2=1焦点相同,求椭圆的标准

和准线方程.

54.（本小题满分12分）

巳知点Y）在曲线y=-J-T-t

（I）求与的值；

（2）求该曲线在点,4处的切线方程.

55.（本小题满分12分）

某服装店将进价为40元一件的衬衫，按50元一件售出时，能卖出500

件，如果这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件，商店为了获

得大利润，问售价应为多少？

56.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

57.（本小题满分12分）

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(O)=-1,求f(x)的

解析式.

58.(本小题满分12分)

#ZU8c中.A8=8而.8=45°.C=60。.求4C,8C.

59.(本小题满分13分)

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

60.

(22)(本小题满分12分)

面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列,公差为d.

(1)求＜/的值；

(D)在以最短边的长为首项,公差为d的等差数列中，102为第几项？

四、解答题(10题)

61.

(本小题满分12分)

已知函数f(x)=x3+x2-5x-l。求：

(l)f(x)的单调区间；

(2)f(x)零点的个数。

62.

设Hina是ain^与coM的等短中&.»«叩是“nA与ccM的等比中项，求-4rla

的值.

63.已知椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，长轴长为8,焦距

为环.

(I)求E的标准方程；

(II)若以O为圆心的圆与E交于四点，且这四点为一个正方形的四个

顶点，求该圆的半径.

64.

设数列满足ai=3,a.r=&».+5«为正整数).

(I)记6.=a.+5(n为正整数).求证数列他｝是等比数列；

(n)求数列储」的通项公式.

65.设函数f(x)=2x3+3mx2-36x+m,且f'(-l)=-36

(I)求m;

(II)求f(x)的单调区间.

66.

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2--3x-2=0的根，求这个三角形周长

的最小值.

67.

已知个网的圆心为双曲线彳一行=1的右焦点,且此蚓过原点.

([)求亥阙的方程：

(n)求『[线Vya.r被该飒故得的弦K.

两条直线x+2ay-\=0与(3a-1)x-ay-1=0平行的充要条件是什么?

68.

已知函数/(x)=(x+a)e*+；x‘，且/'(0)=0.

(I)求a；

'II)求/(x)的单调区间.并说明它在各区间的单调性：

<il!­fr.&AGR,都

69.

已知函数/(m)♦(3-6a)«-12a-4{aeR}.

(l)j£明：曲线在x・0处的切线过点(2,2)；

(2)若〃x)在x=%处取得极小值冬6(1,3),求a的取值范圉.

70.

五、单选题(2题)

71.设f(x)是以7为周期的偶函数，且f(-2)=5,则f(9)=()

A.A.-5B.5C.-10D.10

把曲线y«»+2y-l■()先沿x输向右平移半个单位,再沿y轴向下平移I个单

72盘.傅到的曲线方◎县

A.(1-y)tiiw♦27-3=0B.(y*1)tins>2y-3・0

C.(v41)uru*2v♦1-0D.-(y4>l)suu42y>1«0

六、单选题(1题)

73.已知集合M={l,-2,3}N={-4,5,6,-7}从这两个集合中各取一个元素作为

一个点的直角坐标，其中在第一。二象限内不同的点的个数是（）

A.18B.16C.14D.10

参考答案

1.B

2.B

该小题主要考查的知识点为偶函数的性质.【考试指导】

A项・log"Klog2（_jr）,故A项不是

偶函数；C项'/h=,故c项不是偶函数；口项.

r+Z工（一/尸一工，故D项也不是偶函做,而

中/=（一了》•故B项是偶函数.

3.A

4.B

5.B

《=>a=2.

Ia1—3a+2=0

6.D

i

logjl416^♦(-,°•0+4+1-5

7.C

8.A

9.D

如图，

nz3)

尹于=1,把点P（2,3）代入博

23

求在两条坐标轴上截距相等的方程-.U=2a=5.

设截距式方程为在x轴，y轴上截距为。又因为直线过点（2,3）所以

直线x+y=5和直线3x-2y=0都为过点P（2,3）且在两条坐标轴上截距相

等的直线方程.

10.C

A项｛Gl）n・3｝表示数列：-3,3,-3,3…无极限是发散的;B项｛n｝表示

数列：1,2,3,4…无极限是发散的；

c项（2+（7）・十）表示数列,2—3.2+2

2-y.2+y.-.2+（-l＞':有极限为2.是收

效的।

口鼻｛＜一1＞宁）表示效列,0号.一等.等,

-4-.­.（—D*也/无极限是发散的.

n.A由偶函数定义得：f（-i）=f（i）,r.f（3）＞f（i）=f（-i）.

12.A

13.C

14.B

15.C

Cn析:H网.可电有命中凶微率为1-O8-Q2.诒女士中.制育次或击力.能射1ts次恰力

两次&击中的墨，为dOLB'O.2".

16.A

抛物线/=一右的焦点为"0.—2）.直线斜率为Qtan苧=-1.

所求直线方程是v+2=«—（工一03即H+V+2-0.（答案为A）

17.B

直线与h相交所成的锐角或宽

角叫做乙与心的夹角•印0♦4490°,而选项（'、

D都大于90，；.C、D排除，

h的斜率不存在，所以不能用»an0=

々二号求央角,可昌图观解出8=60°.

1+星M

18.A在aABC中，A+B+C=7t,A+C=7t-B,①WBUA+C,②由①②得

2B=7t-B,:.B=n/3又*/b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2ac.cosn/3,b2=a2+c2-

ac,③又*.*b2=ac,④由③④得ac=a2+c2-ac,(a-c)2=0,a=c,/.A=C,又•:

B=n/3,♦・•△ABC为等边三角形，则B-A=0.

19.B

20.C

21.B由偶函数的性质：偶函数在［a,b］和［-b,-a］上有相反的单调性，可

知，y=f(x)在区间［a,b］(0<a<6)是增函数,它在［.b,同上是减函数.

22.A(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,V|a|=|b|,.*.|a|2-|b|2=0.

23.D

该小题主要考查的知识点为双曲线的渐近线.【考试指导】

双曲线渐近线的斜率为4=土坦..故

本题中4=±~-,ep屋|=母.

24.A

甲sinx*工mi乙Q甲.甲壮乙的必要非充分条件.(答案为A)

25.C

%,r«**(1+20(2—i)«4+3i.W!ri•匕=4—3i.(整案为C)

26.B

B解析:因为小，,所以/⑴=/，由切线过点”/⑴)，可得点M的％*标为1,所以/(1)=

手,所以AD+/⑴・3.

27.D

28.B

设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,则长方体有一个公共顶点的

xy•yz*xz=x2yz2=(x>^):,

又丁4X8X18=576=242,

三个面的面积分别为xy、yz、XZ,贝!):，v=.r•y•z^24.

29.B

30.C

31.

春«*：5个it字中共石三个百瓦柏下苒个是奇数.K・法力。聆.总的取值育c出M1所求©

10

32.12

量A(4.”)为正三京给的一个M点.且在工"上才・0A-m.

时ar。=ECO・30.."Jm•8**mwin30-m,

♦JLA/m早上,从♦《尹・2dx2»","»72・

44

33.

1200【解析】渐近线方程土?'7=土ztana,

离心率,

a£a=2.

即e嗔=花言7-信'=2,

故(£):，/=土疯

则tana=6,a=60°,所以两条渐近线夹角

为120°.

34.

1/r

胃【解析】t-«=(1+<.2/-1.0).

b-a=/(I+DI+OLDI+O2

=/5？-2r+2

=疯丁不醇

35.

3

20题答案图

作B点关于工轴时称的点B'(2.-6).连接

AB'.AB'印为入射光及所在直线，由两点式知

能=d^i+y+2=0.

37.

/I-m

•••5"Vav¥“（ae第三象限角）..qV}V?K（发6第二象限用），

故cos号＜0,又；|cosal=m,.，.cosa=-m,则cos1-=—J1+；°M--

4,

21.y=-y（x+l）

38.J

39.12

40.

2

._J亘

由题可知，a=2,b=l,故离心率a2.

42.

43.

设正方体桂长为i.则它的体积为i.它的外接球n径为4•半径为弓,

球的体积v=4«^-也净了一§”.（答案为乐、

44.

PJ-H=24X2=48.（答案为48）

45.（18）1.7

46.

y5=1Mnxcosx+VScoK1z=y«in2x-bcos2x+=«in

函数尸疝IT8M+gcos1］的it小正周期为当"几（答案为我）

47.

13

48.

,.cV31一值,

•°224,

由题章和正三收他的例模长为号a・

；.(年)1(华,.[■八”,

凡3・,・2居-4a."!'%，•母

汶。V66346Z4

49.

＜

50.

由y=3”+4,得(：)=y—4.RPx^logi(y-4).

即函数丫=3七+4的反函数是y=l0R+(k4)(工＞4).(答案为＞=logi(j-4)(x＞4))

51.

由已知，可设所求函数的表达式为y=(£-m)'+n.

而ysx1+2*-I可化为y=(x+I)'-2

又如它们图像的顶点关于宜线父=1对称.

所以n=-2,m=3,

故所求函数的表达式为1(x-3)'-2,即y=/-6*+7.

52.

由已知，桶阕的长轴长2a=20

设=m/PF/=n,由椭fflj的定义知.m+n=20①

又。'=100-64=36/=6,所以『|(-6,0)/式6,0)且1/禺1=12

在△PK3中,由余弦定理得m、/-2gle830。=12’

"+/一招皿＞=144②

m:42mn+n2=400.③

③-②,得(2♦万)mn=256,nm=256(2-8)

因此的面枳为gmn8in30°=64(2-6)

53.

由已知可得椭圆焦点为F,(75,0),吊(6.0).……3分

设椭圆的标准方程为三+3=13>5>。),则

1=6,+5.

住喙解叫；：2：…《分

所以椭圆的标准方程为t+?=1.，……9分

棚圈的准线方程为x=±/6.'……12分

54.

(1)因为;=±.所以&=1・

L*0**1•

⑵八一小

曲线7=一二在其上一点(I处的切线方程为

x4-12

1I,

y--=(x-1),

£Px+4y-3=0.

55.解设衬衫每件提高X元售出时，利润为Y元，此时卖出的件数为

500—10x件，获得收入是(50+X)(500-10x)元，则利润

Y=(50+X)(500—10x)—40(500—10x)=—f0x2+400x+5000=—10(x—

20)2+9000,所以当X=20时，利润Y取得最大值9000元，此时售价

为50+20=70元

56.解

设点8的坐标为（看.）.则

MBI=/（X,+5）,+y,x①

因为点B在椭圆上,所以2x,3+yj=98

y」=98-2i/②

将②代人①，得

1481=y/（x,+5）3+98-2x）J

="/-（«/-10*,+25）+148

=7-（«,-5）5+148

因为-但-5）晨0,

所以当》=5时，-（阳-5））的值最大，

故乂创也最大

当孙=5时.由②.得y产=4"

所以点8的坐标为（5.4万）或（5.-48）时以川最大

设/U）的解析式为/（幻=ax+b,

2(a+h)+3(2a+6)»3,__4

依题意得2(-i)-i=-l,解方程组,得。=寸=

a+9'

A*）=江一/

58.

由已知可得4=75。，

又》in75°=»in(45°+30°)=sin45°cos30。+c«45、in30°=度衿....4分

在中,由正弦定理得

*_=&_=&!……8分

8M5°sin750sin60°

所以AC=16.8C=8万+8.……12分

59.

设三角形三边分别为aAc且a+6=10,WH=10-a.

方程2x1-3x-2=0可化为(2x+l)(工-2)=0,所以。.=-y.«:=2-

因为a、b的夹角为8,且1。<*例W1,所以coW=-y.

由余弦定理，得

e5=a2+(10-a)1-2a(10-a)x(-y)

=2a‘♦100-20a+10a-a1=aJ-10a+100

=(a-5)2+75.

因为(a-5)\0.

所以当a-5=0,即a=5叫c的值最小,其值为闻=5氐

又因为a+b=10,所以c取得最小值,a+b+e也取得最小值・

因此所求为10+5A

60.

(22)解：(I)由已知条件可设直线三角形的三边长分别为

a-dQ,a+d.其中a>0,d>0,

则(Q9+d)2=『+(Q-d)2

a=4d,

三边长分别为3d,4d,5d.

S=/x3dx4d=6,d=1.

故三角形的三边长分别为3,4,5.

公差d=1.

(口)以3为首项,1为公差的等差数列通项为

a,=3+(n-l),

3+5-1)=102,

n=100,

故第100项为102.

61.

当工〉】或zV--时/（］）＞0；

当---V1V1时.，'（上）＜0.

故/⑺的单调增区间为（一8.一年）和

（3+8）,单调减区间为

⑵/（一等）＞0,小DV0.

一八工）有3个零点.

62.

.即

Mitisa.vrvIT.WHZwiaV-l=»2(I♦rmlu)-(I"l

2cot2ct=cadfi.

Mlcca^fi-4ea»4a=2co»：2fl14(2•»1)»•oev^la-1<w*2a*3»3.

(I)由题知2a=8.2c=2G.

故a=4,c=々.b=\/a2—c2=/16—1=3•

因此椭圆方程为余+差=1.

（口）设圆的方程为=R2,

因为圜与椭圆的四个交点为一正方形的顶点，设其在第一象限的交点为A.

则有QI=R,A点到工轴与y轴的距离相等.

可求得A点的坐标为（专R.专R）,

区2R；

而A点也在椭圆上，故有务+＜=1.

ioy

解得R=气区.

64.

(1^)二为+5,得b.rA.1+5—况+10。2(。・+5),

则有Q="产2Ji瓦=%+5=3+28.

v#U.i0

由此可知被列SQ是首项为8.且公比为2的等比数列.

(11)由瓦=".+5=8・尸：=2-；.

所以数列的通项公式为4一下：5.

65.

(I)由已知得，(x)=6/+6mz—36,

又由/(-I)=-36得

6-6m-36=-36•

故m==1.(6分)

(0)由(I)得，，(工)=622+6工一36.

令f(x)=0.解得©=—3,X2=2.(8分)

当工＜-3时,，(幻＞0;

当一3VxV2时/(工)V0；

当工＞2时./(])＞0.

故/(x)的单调递减区间为(一3・2)J(z)的

单涮递增区间为(-8.-3),(2,+8).

(12分)

解设三角形三边分别为%6,c且a+6=10,则b=10-a.

方程b-3x-2=0可化为(2*+1)(*-2)=0.所以看=-卜,=2.

因为a、b的夹角为仇且IcosOIW1,所以cosd=-y.

由余弦定理,得

c2=a!+(10-a)2-2a(10-a)x(-y)

=2aJ+100-20a+l0a-a!=al-10a+100

=(a-5')2+75.

因为(a-5)、0.

所以当a-5=0,即a=5时,c的值最小,其值为不=56

又因为a+6=10,所以c取得最小值,a+6+c也取得最小值.

66因此所求为10+5百.

67.

(I)双曲线卜卷=1的焦点在.，轴匕.由-I.”12.

得,副可知右焦点为U.0).

又圆过原点•1«心为(4.0)，则圜半径为4.

故所求的方程为<L4>+y=l6.

(11)求直线与该圆的交点.即解/丫一"八①

1(L4>十炉>16,②

将①代人②得《-8工十]6+山二-16.』1一吃口0・

进一步ZxuO.jrGr-ZJnO./t，0・Q=2,又得》=0.M=2V1・

故交点坐标为(0.0)J2.26).

故弦长为4二2>+(-2西♦=yi+12-l

(或用弦长公式•设交点坐标(4，，"・(/；・*)•则X]+勺-2,4工1=0.

故弦长为JTT?•NJ-4.T\N：=/T-F3•//TrTX0=2X2-4.)

解记L:x+2a>-1=0,/2：(3a-1)x-ay-1=0.

当。与4的斜率存在,即aBO时,它们的方程可分别化为

1.113a-l1

厂一片十五与尸丁5-7,

则”2蚩若1《声-5

由一分美尸七--卜解得"右厮以.〃*…/

当，与4的斜率都不存在,即IJ/1,时/与lt是平行于y轴的直线,那么

/]〃4=>。=0.反之.当。=0时4与乙的方程分别为H=1与工=-I.可见,

a=0=。〃4从而Z1/Z/2<=xi=0.

综上/〃&oa=1或a=0.'

68.6

69.