人教版八年级上册数学教案1 1 .3 多边形及其内角和

11.3多边形及其内角和

【教学目标】

知识与能力

1.了解多边形的内角、外角等概念.

2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行

有关计算.

过程与方法

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步

养成数学推理的习惯.

情感态度与价值观

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心.

【重点难点】

重点：多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；

难点：多边形的内角和定理的推导是难点.

【教学过程】

一、创设情境，导入新课

［问题情境］

观察下列图案，由下面的图案,你抽象出什么几何图形？

由上面图案抽象出的几何图形:

从上面图案可抽象出三角形、四边形、六边形、八边形等，这些图形

都是多边形,那什么是多边形？它具有哪些性质？现在我们就来探究这个问

题.

二、探究归纳

活动一:类比三角形的定义，你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？

【问题】（1）三角形是平面内由一条不在同一直线上的线段首尾顺次相

接组成的图形.

⑵四边形是平面内由条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成

的图形.

⑶五边形是平面内由条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成

的图形.

点拨：

⑴三角形:在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成

的图形.

⑵四边形:在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的

封闭图形叫做四边形.

⑶五边形：在平面内，由不在同一直线上的五条线段首尾顺次相接组成的

封闭图形叫做五边形.

（4）多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边

形.

（5）n边形:如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形就

叫做n边形.（一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.）

如图中五边形可记为五边形ABCDE,或五边形AEDCB.

注意：多边形的定义要注意“在同一平面内”这一前提条件，强调不要漏

掉.

活动二：你能类比三角形的组成要素，说一说下面图形各部分的名称是什

么吗？

【问题】（1）五边形、六边形分别有多少个内角？多少个外角？

答:五边形有5个内角，10个（5对）外角；六边形有6个内角，12个（6对）外

角.

（2）n边形有多少个内角？多少个外角？

答:n边形有n个内角，2n个（n对）外角.

点拨：多边形的有关概念:

⑴多边形的内角：多边形相邻两边组成的角，叫做多边形的内角.

⑵多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形

的外角.

活动三:多边形的对角线

【问题】如图，从五边形ABCDE的顶点A出发共有几条对角线?你能画出

五边形ABCDE的所有对角线吗？

答案：

点拨：多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形

的对角线.

【问题】探索多边形的对角线的条数：

多边形的边数3456・・・n

从一个顶点出发

0123n-3

的对角线数

n(n-3)

对角线总数0259

2

点拨:n边形从一个顶点出发对角线有63）条,n边形共有卓条对角

活动四：凸多边形及正多边形

【问题】我们现在研究的是如图（1）所示的多边形，是凸多边形；如图⑵

所示的多边形，是凹多边形,但不在现在研究的范围中.这两种多边形的区

别是什么？

点拨：凸多边形与凹多边形的有关概念:在图⑴中，画出四边形ABCD的任

何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫

做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图⑵就不满足上述凸多边形

的特征，因为我们画CD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我

们称它为凹多边形.本节我们只讨论凸多边形.

【问题】想一想：观察图中的多边形，它们的边、角有什么特点?猜想满足

什么条件的多边形是正多边形？

△□OOO

点拨：正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边

形.

活动五:探索四边形的内角和

【问题】

1.任意画一个四边形，四边形的内角和是多少?你又是怎样得出的？（度量、

拼角、转化）

2.在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法,你认为哪种方法好?请

讲述你的理由.（将四边形转化成两个三角形求内角和）

连接AC,把四边形分割成两个三角形：四边形内角和等于180°X2=360°

点拨：（1）连接对角线将四边形分割成两个三角形.

⑵利用三角形的内角和是180。，证明四边形内角和等于360°.

活动六:探索五、六边形及n边形的内角和

【问题】

1.探索五边形的内角和

根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？学生可能有

以下几种方法：

图I图2图3

方法一:如图1,连接AD,AC,五边形的内角和为:3X180°=540°.

方法二:如图2,连接AC,则五边形内角和为:360。+180°=540°.

方法三:如图3,在AB上任取一点F,连接FC,FD,FE,则五边形的内角和为:

4X180°-180°=540°.

图4图5图6

方法四：如图4,在五边形内任取一点0,连接0A,OB,0C,0D,0E,则五边形内

角和为：5>180°-360°=540°.

方法五:如图5,在AB上任取一点F,连接FD,则五边形的内角和为:

2X360°-180°=540°.

方法六:如图6,在五边形外任取一点0,连接0A,OB,0C,0D,0E,则五边形内

角和为：4X180°-180°=540°.

点拨：纵观以上各种证明思路，其共同点是通过图形分割，把五边形问题转

化为熟悉的三角形、四边形问题来解决.

2.探索六边形的内角和

被分得三角形个数6-2=4

六边形的内角和(6-2)X180°

3.探究n边形的内角和

小组合作，完成下面的表格，从表格中你发现了什么规律？(课件出示正确

结果)

从一个顶点

多边形分割成的多边形的

图形引出的对角

边数三角形个数内角和

线条数

三角形

(n=3)△

四边形

(n=4)

五边形O

(n=5)

六边形

(n=6)O

n边形O

点拨：1.从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线,它们将n边形

分为(n-2)个三角形，这(n-2)个三角形的内角和就是n边形的内角和,

所以,n边形的内角和等于(n-2)X180°.

2.n边形内角和等于(n-2)-180°.

3.我们也可以利用下列不同的方法分割多边形,得到n边形的内角和公式:

以上我们探究了n边形的内角和，知道了n边形内角和等于(n-2)-180°.

那n边形外角和是多少呢?下面我们一起来探讨.

活动七:探索四边形、五边形、六边形及n边形的外角和

【问题】

1.什么是多边形的外角？

(类似地,在多边形中找出多边形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做多

边形的外角).

D

ABF

2.探索四边形、五边形、六边形的外角和：

⑴探索四边形的外角和：

由NBAD+N1=180°,ZABC+Z2=180°,

ZBCD+Z3=180°,ZADC+Z4=180°,

得NBAD+Z1+ZABC+Z2+ZBCD+Z3+ZADC+Z4=180°X4.

由NBAD+NABC+NBCD+NADC=180°义2,得

Z1+Z2+Z3+Z4=180°X4-180°X2=360°.

⑵类似地，可得五、六边形的外角和也是360°.

点拨：四、五、六边形的外角和都等于360°.

3.探索n边形的外角和：

(l)n边形外角和的证明方法：

因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°,所以

n边形内角和加外角和等于n-180°，所以，n边形的外角和

为：n•180°-(n-2)•

180°=360°.任意多边形的外角和等于360°.

⑵我们也可以这样理解多边形外角和等于360°:

如图，从多边形的一个顶点A出发,沿多边形的各边走过各顶点，再回到点

A,然后转向出发的方向.在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角

和.由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和

等于360°.

点拨:n边形的外角和等于360。.所以我们说多边形的外角和与它的边数

无关.

前面我们探究了三角形的三边关系，初步了解了三边关系的应用及技巧，

同学们到底学习的如何呢?请看下面的例题.

活动八:例题讲解

【例1】过n边形的一个顶点的所有对角线,把多边形分成10个三角形,

则这个多边形的边数是()

A.10B.11C.12D.13

解析:选C.过多边形一个顶点的所有对角线将一个多边形分成(n-2)个三

角形,所以「2=10,解得n=12,即这个多边形是十二边形,故选C.

总结:过n边形的一个顶点的对角线有(n-3)条,把多边形分成(n-2)个三角

形.

【例2】一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍,它是几边形？

分析:一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，而外角和是360度,则

内角和是3X360度,n边形的内角和可以表示成(n-2)X180°的形式,边数

是n,就得到方程,从而求出边数.

解：设这个多边形为n边形，根据题意，可列方程

(n-2)X1800=3X360°.

解得n=8.

答:它是八边形.

总结:利用多边形内角和公式寻求等量关系，构建方程即可求解.

［例3］如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的NA+NC=180°.求：NB与ND的关系.

分析:本题要求NB与ND的关系，由于已知NA+NC=180°,所以可以从四

边形的内角和入手，就可得到完满的答案.

解:因为NA+NB+NC+ND=(4-2)X180°=360°,

又NA+NC=180°,

所以NB+ND=360°-(ZA+ZC)=180°.

这就是说,如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补.

【例4】若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°,求这个多边形的

边数及内角和.

分析：由已知可知,600°是多加了一个外角后的内角和，减去多加的角就

应是180°的整数倍，因此600°4-180°=3……60°,因此n-2=3,所以n=5,

这个多边形为五边形，边数是5,代入多边形内角和公式即可求出内角和.

因为多加了一个角，并且多加的角是余数60°,也可以用600°减去余数

60°得到内角和度数.

解：由题意，得600°4-180°=3.......60°,

所以n-2=3,n=5.

所以这个多边形的边数是5.

所以这个多边形的内角和为：180°X(5-2)=540°.

答:这个多边形的边数是5,内角和是540。.

[例5]一个多边形截去一个角后,变为十边形,则原来的多边形的边数为

()

A.9或11B.10或11

C.10或12D.9或10或11

解析:选D.因截法不同，所以有三种可能,①当截线不过任何一个顶点时一，

截完后边数会增加1,因此原来多边形应为九边形;②当截线过一个顶点时,

截完后边数不变，所以这种情况下原来的多边形为十边形；③当截线过两

个顶点时,边数比原来减少1,所以原来就是十一边形,所以原来的多边形

的边数为9或10或11.

总结:在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形

边数变化的问题.在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，⑴当截

线不过任何一个顶点，多边形的边数增加1.

⑵当截线过一个顶点时，多边形的边数不变.

⑶当截线过两个顶点时，多边形的边数减少1.

三、交流反思

1.通过这节课的学习，掌握探索的步骤:观察一一归纳一一猜想一一证明.

2.通过本节课探索出多边形的内角和与外角和公式.

四、检测反馈

1.正多边形的一个内角是150°,则这个正多边形的边数为()

A.10B.11C.12D.13

2.如图所示,王华从A点出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进

10米,又向左转24°,…，照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共

走的路程是

（）

A.140米B.150米C,160米D.240米

3.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角之

和不可能是（）

A.360°B.540°C.720°D.900°

4.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

5.若多边形的每一个内角均为135°,则这个多边形的边数为.

6.一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为.

7.画出图（1）中的六边形ABCDEF的所有对角线.

8.如图（2）,0为四边形ABCD内一点,连接0A,OB,0C,0D可以得几个三角形?

它与边数有何关系？

9.如图⑶,0在五边形ABCDE的AB上，连接OC,0D,0E,可以得到几个三角

形?它与边数有何关系？

10.如图(4),过A作六边