人教版高中数学三角函数全部教案

三角函数

第一敖时

教材：角的概念的推广

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象

限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”一一它是利用直角三角形中两边的比值

来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，

它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术

中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1.回忆：初中是任何定义角的？(从一个点出发引出的两条射线构成的几

何图形)这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于''狭

隘”

2.讲解：“旋转”形成角(P4)

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于x轴正半轴

3.“正角”与“负角”一一这是由旋转的方向所决定的。

记法：角。或Na可以简记成a

4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分如：a=210。p=-150°y=-660°

20角可以任意大

实例：体操动作:旋转2周(360°X2=720°)3周(360°X3=1080°)

3°还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在

坐标轴上，则此角不属于任何一个象限)

例如：30°390°-330。是第I象限角300°-60°是第IV象

限角

585°1180°是第DI象限角-2000。是第n象限角

等

四、关于终边相同的角

1.观察：390°,-330。角，它们的终边都与30。角的终边相同

2.终边相同的角都可以表示成一个0。到360。的角与女伏eZ）个周角的和

390°=30°+360°(k=1)

-330°=30°-360°(4=-1)30°=30°+0X360°

(%=0)

1470°=30°+4X3600伙=4)

-1770°=30°-5X360°(k=-5)

3.所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

S={/n/?=a+036(T,keZ}

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4.例一（P5略）

五、小结：1°角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2。“象限角”与“终边相同的角”

第二效时

教材：弧度制

目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的

集合与实数集R一一对应关系的概念。

过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制一角度制的定义。

二、提出课题：弧度制一另一种度量角的单位制

它的单位是rad读作弧度

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心

角称为1弧度的角。

如图：ZAOB=lrad

ZAOC=2rad

周角二2mid

1.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2.角a的弧度数的绝对值同=：（/为弧长，「为半径）

3.用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：360°=27trad/.180°=7rrad

TT

：.1°=—raJ®0.01745raJ

180

例一把67°3（T化成弧度

端：67°30'=（67，]67°30'=—raJx67-=-mad

<1）18028

例二把-med化成度

33

解：2mad='x180°=108°

55

注意几点：1.度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进

行；

2.今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省

略如：3表示3radsirm表示nrad角的正弦

3.一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9

表）

4.应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是

弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应

的关系。

例三用弧度制表示：1。终边在无轴上的角的集合2。终边在y轴

上的角的集合3。终边在坐标轴上的角的集合

解：1。终边在x轴上的角的集合5,={p\p=k7i,keZ}

2。终边在y轴上的角的集合$2={夕1/?=跣+],kez）

3。终边在坐标轴上的角的集合S3=[^\/3=^,keZ>

第三赦时

教材：弧度制（续）

目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的

问题。

过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答《教学与测试》P101-102练习题1—5并注意紧扣,

巩固弧度制的概念，然后再讲P101例二

二、由公式：1al='二〉I=r-\a\比相应的公式/=2式简单

11r--------11180

弧长等孑孤所对的圆但保（的孤虚敬）的倦对俗的率彩的窗

例一（课本P1。例三）利用弧度制证明扇形面积公式其中/是扇

形弧长，R是圆的半径。

如图：圆心角为irad的扇形面积为：次

弧长为/的扇形圆心角为上rad

R

:.s=L.L成）=LR

R2冗2

比较这与扇形面积公式与=需要简单

例二《教学与测试》P101例一直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对

的弧长⑴也（2）165°

3

4乃40万.、

斜：r=10cm(1)：I=a-r=——x10

3

⑵：165°=-^-x165(rarf)=^^-rad

18012

,117ic55%,.

/=---x10=----（cm）

126

例三如图，已知扇形A06的周长是6cm,该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

解：设扇形的半径为r,弧长为/,则有

2r+l=6r=2

/[=><扇形的面积S=2（cm）2

­=11=2

r

例四计算sin生tan1.5

4

TT

斛：・.・-=45°..sin—=sin45=——

442

1.5rad=57.30*x1.5=85.95°=85°57'

tanl.5=tan85°57'=14.12

例五将下列各角化成0到2万的角力口上2%万（女eZ）的形式

(1)二)⑵—315°

3

.19

斛：一万=一+6%

33

—315°=45°—360°=277—2万

4

例六求图中公路弯道处弧AB的长/（精确到1m）

图中长度单位为：m

TT

斛:•/60"=-

3

.../=|a|./?=1x45«3.14x15«47（/n）

三、练习：P116、7《教学与测试》P102练习6

四、作业：课本P11-12练习8、9、10

P12-13习题4.25—14

《教学与测试》P1Q27、8及思考题

第四教时

教材：任意角的三角函数（定义）

目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解a角与gZkTt+WkeZ）

的同名三角函数值相等的道理。

过程：一、提出课题：讲解定义：

1.设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）

则P与原点的距离r==J'+j>o（图示见P13略）

2.比值2叫做a的正弦记作：sma=—

rr

X

比值土叫做a的余弦记作:cosa=—

rr

y

比值上叫做a的正切记作:tana=—

XX

比值色叫做a的余切记作：cota=-

yy

比值£叫做a的正割记作：seca=—

XX

比值工叫做a的余割记作：csca=—

yy

注意突出几个问题：①角是“任意角"，当p=2k兀+a(keZ)时，。与a的

同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相

等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。(下

面有例子说明)

③三角函数是以“比值”为函数值的函数

©r>0,而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数

的符号应由象限确定(今后将专题研究)

⑤定义域：

y=sinaRy-cota

y-cosaRy=sec<z

71

y=tanaak7i+—(kGZ)y=csca

awk4(kGZ)

TT

a兀〜——(％£Z)

awk7r(kGZ)

二、例一已知a的终边经过点P(2,-3),求a的六个三角函数值

例二求下列各角的六个三角函数值

(1)0(2)n(3)—(4)-

22

解：⑴⑵⑶的解答见P16T7

(4)当a=—时x=0,y=r

••Sin—=1cos—=0tan—d、存cot——0

2222

sec工不存在esc—=1

22

例三《教学与测试》P103例一求函数+普的值域

cosx|tanx|

解:定义域：cosxwOAx的终边不在x轴上

XVtanx^O.\x的终边不在y轴上

・••当x是第I象限角时，x>0,y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2

.II...................,x<0,y>0Icosx|=-cosx,tanx|=-tanx；・

y=-2

...............IIIIV...........,'x>0,y<0I'cosx|=-cosx|tanx|=tanx/.y=0

例四《教学与测试》P103例二

(1)已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值

⑵已知角a的终边经过P(4a,-3a),(aM)求2sina+cosa的值

.342

斛：⑴由定义：r=5sina=——cosa=—/.2sina+cosa=——

555

342

⑵若。〉0r=5a贝ijsina=——cosa=—•\2sina+cosa=——

555

342

若。<0r=-5a则sina=—cosa=——/.2sina+cosa=—

555

三、小结：定义及有关注意内容

四、作业：课本P19练习1P20习题4.33

《教学与测试》P1044、5、6、7

第五赦时

教材：三角函数线

目的：要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数

的定义域、值域有更深的理解。

过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数

是一个“比值”

二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：

用单位圆中的线段表示三角函数值

三、新授：

2.介绍(定义)“单位圆”一圆心在原点O,半径等于单位长度的圆

3.作图：(课本P14图4-12)

此处略

设任意角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，

角a的终边也与单位圆交于P,坐标轴正半轴分别与单位圆交于A、B

两点

过P(x,y)作PMlx轴于M,过点A(1,O)作单位圆切线，与a

角的终边或其反向延长线交于T,过点B(O,1)作单位圆的切线，与a角

的终边或其反向延长线交于S

4.简单介绍“向量”(带有“方向”的量一用正负号表示)

“有向线段”(带有方向的线段)

方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。

例：有向线段OM,OP长度分别为MH

当OM=x时若x>0OM看作与x轴同向OM具

有正值x

若x<0OM看作与x轴反向

OM具有负值x

5.sina=—=—=y=MP、

r1

cosa=----x-OM有向线段

r1

MP,OM,AT,BS分别称作Z0

tana=上="与=4工=ATa角的正弦线,余弦线，正

xOMOA

切线,余切线>

xOMBS

cota=—=-----BS

yMP~0B

四、例一.利用三角函数线比较下列各组数的大小:

万30

2tan-4与

0T与tan——c°q

5

如图可知:

2兀4〃

tan——<tan——

35

214万

cot——>cot——

35

例二利用单位圆寻找适合下列条件的0。到360。的角

1°sina>-2°tana>—

30。<。<90。或210。<。<270。

例三求证：若时，则sinaysinaz

证明：分别作8,9的正弦线X的终边不在X轴上

sinoti=MRsina2=M2P2

・0<a,<a.<—

'22

AM1P1<M2P2即sina,<sina2

五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线

六、作业：课本P15练习P20习题4.32

补充：解不等式:(xe[0,2^))

l°sinx2°tanx>-1

2

21

3°sin2x^-

2

第七赦时

教材：三角函数的值在各象限的符号

目的：通过启发让学生根据三角函数的定义，确定三角函数的值在各象限的符号,

并由此熟练地处理一些问题。

过程：一、复习三角函数的定义；用单位圆中的线段表示三角函数值

二、提出课题然后师生共同操作：

1.第一象限：.x>0,y>0「・

sina>0,cosa>0,tana>0,cota>0,seca>0,csca>0

第二象限：.%<0,y>0/.

sina>0,cosa<0,tana<0,cota<0,seca<0,csca>0

第象限.x<0,y<0

sina<0,cosa<0,tana>0,cota>0,seca<0,csca<0

第四象限.x>0,y<0

sina<0,cosa>0,tana<0,cota<0,seca>0,csca<0

记忆法则：

sina.

为u正全正

esca

tana”.cosa」.

为正为正

cotaseca

2.由定义：sin(a+2kK)=sinacos(a+2k7t)=cosatan(a+2kn)=tana

cot(a+2k7i)=coasec(a+2k7i)=seca

csc(a+2k7i)=csca

三、例一(P18例三略)

例二(P18例四)求证角。为第三象限角的充分条件是⑴

tan5>0(2)

祉：必要性：

若e是第三象限角，则必有sin6<0,tan0>0

充分性：

若⑴⑵两式成立•.•若sin6<0贝帕角的终边

可能位于第三、第四象限，也可能位于y轴的非正半轴

若tan0〉0,则角。的终边可能位于第一或第三象限

•.•⑴⑵都成立角的终边只能位于第三象限

...角。为第三象限角

例三(P19例五略)

四、练习：

1.若三角形的两内角a,P满足sinacosp<0,则此三角形必为.......(B)

A：锐角三角形B：钝角三角形C：直角三角形D：以上三种情

况都可能

2.若是第三象限角，则下列各式中不成立的是......................

(B)

A：sina+cosa<0B：tana-sina<0

C：cosa-cota<0D：cotacsca<0

QQ

3.已知。是第三象限角月.cos上<0,问上是第几象限角？

22

7F

韶：V(2k+l)7r<&<{2k+l)7T+-伏eZ)

.7c6.3万则岂是第二或第四象

K7T——<—<k兀〜-----(keZ)

2242

限角

又cosgvO则岂是第二或第三象限角

22

・・・上必为第二象限角

2

/1、$in23

4.已知g<1，则。为第几象限角？

1、sin2s

—<1，sin20>0

[2，

TT

2k^<20<2kK+7t（keZ）k7t<0<k7r+—

2

••.0为第一或第三象限角

五、小结：符号法则，诱导公式

六、作业：课本P19练习4,5,6

P20-21习题4.36-10

第八数时

教材：同角三角函数的基本关系

目的：要求学生能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系，并能正

确运用进行三角函数式的求值运算。

过程：

一、复习任意角的三角函数的定义：

计算下列各式的值：

l.sin2900+COS29002.sin2300+cos230°3.tan450-cot245°

.n.3兀

sinsin

/5K5兀

4.」5.——6.tan---cot—

n3兀66

cos—cos—

34

二、1.导入新课：引导学生观察上述题目的结果（并像公式“方向”引导）

sina

引导猜想：sin2a+cos2a=1-----=tanatana-cota=1

cosa

2.理论证明：（采用定义）

X.221

1°vx2+y2=r2且sina=上cosa=—/.sina+cosa=1

rr

TTsinayxyry

20当aw攵兀+—(女£Z)时,-----=-4--=—x—=—=tana

2cosarrrxx

3°当aw攵兀旦aw攵兀+三时，tana-cota=—•—=1

2xy

3.推广：这种关系称为平方关系。类似的平方关系还有：sec2a-tan2a=1

esc2a-cot2a=1

型、=tana这种关系称为商数关系。类似的商数关系还有：

cosa

cosa

------=cota

sina

tana.cota=l这种关系称为倒数关系。类似的倒数关系还有:

esca•sina=1seca-cosa=1

4.点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系。

5.注意：

1。“同角”的概念与角的表达形式无关，

.a

sin一

a

如：sin23a+cos23a=12tan—

a2

cos

2

2。上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3。据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数

值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解,

因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。

三、例题：

例一、（课本P25例…）略

注：已知角的象限，利用平方关系，也只可能是一解。

例二、（课本P25例二）略

注：根据已知的三角函数值可以分象限讨论。

例三、（课本P25例三）略

实际上：sec2a=tan2a+1即cos2a=-------r—

1+tan~a

当a为第一、四象限角

当a为第二、三象限角

而sina=tanacosa

当a为第一、四象限角

当a为第二、三象限角

四、小结：三种关系，八个公式

五、作业：P27练习1—4

P27-28习题4.41—4

第九教时

教材：同角三角函数的基本关系（2）一—求值

目的：要求学生能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并

从中了解一些三角运算的基本技巧。

过程：

二、复习同角的三角函数的基本关系：

练习：已知cosa=mw0,机w±1）,求a的其他三角函数值。

解：若a在第一、二象限，则

11

seca=—sina=J1一m2esca=./,「

m7i-m2

Jl-m?m

tana=-------cota=1--

若a在第三、四象限，则

21

seca=—sina=-71-mesca=-

mJl一〃?2

yjl-m2m

tana=--------cota=——/

六、例一、（见P25例四）化简：71-sin24400

解：原式=Jl—sin2(3600+8(T)=Jl——1?80°=Jcos280°=cos8(T

例二、已知sina=2cosa，求,也。—4、°sa及国不a+2sinacosa的值。

5sina+2cosa

解：vsina=2cosa/.tana=2

•_s__i_n_a_-_4__c_o_s_a____t_a_n_a__-_4___-__2___1

5sina+2cosa5tana+2126

22

.2八•sina+2sinacosatana+2tana4+26

sina+2sinacosa=------------------=--------------=-----=—

sina+cosatana+l4+15

强调（指出）技巧：1。分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式

2°“化1法”

一V3、

例三、已知sina+cosa=——，求tana+cota及sina-cosa的值。

3

m1

解：将sina+cosa=——两边平方，得：sinacosa=——

33

1

z.tana+cota==-3

sinacosa

25

(sina-cosa)2=1-2sinacosa=1+1§

^V15

/.sina-cosa=±------

3

25

例四、已知tana4-cota二一,

12

求tana-cota,tan2a-cot2a,tan3a+cot3a,sina+cosa

解：由题设：tan2a+cot2a=^^--2,

144

257175

tarr2a-cot~2a=(tana+cota)(tana-cota)=—x(±一)=±---

1212144

tan3a+cot3a=(tana+cota)(tan2a+cot2a-tanacota)

25337八251934825

=——x(z--------1)=——x------=--------

12144121441728

127

sina+cosa=±Vi+2sinacosa=±J1+2x——=±—

255

竺.-.sinacosa^)

(•.*tana+cota=---------------

sinacosa1225

例五、已知sina+cosa=-(0<0<71),求tan。及sin30-cos3。的值。

5

12

解:10由sinacosa=------,0<0<TI,得：cos0<0/.0G(—,K)

252

.497

由(sina-cosa)~=—,得:sin0-cos0=—

5

・n4

sin0+cos0=—smO=E4

联立:=>tan0=——

c°se=-33

sin0-cos0=—鸿

55

2°sin30-cos3e=(-)3?\3_-122L5

例六、已知sina=-——cosa=—,a是第四象限角，求

m+5722+5

tana的值。

々力・・•221・/4—2/72—321

解：・sina+cosa=I・・(--------/2+(z-------)=I

团+5m+5

化简，整理得：m(m-8)=0m,=0,m2=8

43

当〃?=0时;sina=-,cosa=(与a是第四象限角不合)

125_12

当m=8时，sina=-----,cosa二=—,二.tana=

1313

七、小结：几个技巧

八、作业：《课课练》P12例题推荐1、2、3

P13课时练习6、7、8,9、10

P14例题推荐1

《精编》P3514

第十教时

教材：同角三角函数的基本关系（3）——证明《教学与测试》第50课

目的：运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。

过程：

三、复习同角的三角函数的基本关系：

例：（练习、《教学与测试》P25例一）

已知sina-cosa=--，求sinacosa的值。

4

25259

解：（sina-cosa）^=—即：l-2sinacosa=—/.sinacosa=-----

161632

九、提出课题：利用同角的三角函数的基本关系证明三角恒等式（或化简）

例一、（见P25例四）化简：71-sin2440°

解：原式=71-sin2（3600+80°）=71-sin280°=Vcos2800=cos80°

例二、已知a是第三象限角，化简巨近—叵近（《教学与测试》

V1-sinav1+sina

例二）

(l+sina)(l+sina)(1-sina)(l-sina)

(1+sina)(l-sina)(l+sina)(l-sina)

1(1+sina)21(1-sina)2_1+sina1-sina

V1-sin2aV1-sin2aIcosaIIcosaI

•・,a是第三象限角，二cosav0

...原式=1±型£一匕期3=—2tana（注意象限、符号）

-cosa-cosa

—生、十cosa1+sina/、m一八仁,/司「、

例二、求证：------二-------（课本P26例5）

1-sinacosa

左功_cosa(l+sina)_cosa(l+sina)_cosa(l+sina)

证一：

(l-sina)(l+sina)1-sinacosa

1+sina+5

=------=右边等式成立（利用平方关

cosa

系）

证二:

v(1-sina)(l+sina)=1-sin2a=cos2a且1-sinawO,cosa*0

cosa1+sina

•一（利用比例关系）

1-sinacosa

证三

cosa1+sina_cos2a-(1-sina)(l+sina)_cos2a-(1-sin2a)

1-sinacosa(1-sina)cosa(1-sina)cosa

cos2a-cos2acosa_1+sina

（作差）

(1-sina)cosa1-sinacosa

例三、已知方程2x?-(V3+l)x+机=0的两根分别是sin0,cos0,

求闻。+££1的值。(《教学与测试》例三)

1-cot01-tan0

宿〃isfsin2®cos20sin20-cos20.八

解：MA=--------------+---------------=------------------=sin0+cos0A

sin0-cos0cos0-sin0sin0-cos0

・•・由韦达定理知：原式=中（化弦法）

例四、已知

aseca-ctana=d,bseca+d