广州协和中学2024届高三冲刺模拟数学试卷含解析

广州协和中学2024届高三冲刺模拟数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知正四面体的内切球体积为v，外接球的体积为V，则（）A．4 B．8 C．9 D．272．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．3．在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数，则（）A． B． C． D．5．设是虚数单位，复数（）A． B． C． D．6．复数的虚部为（）A．—1 B．—3 C．1 D．27．已知集合，集合，那么等于（）A． B． C． D．8．从抛物线上一点(点在轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．9．函数的值域为（）A． B． C． D．10．已知函数，则的值等于（）A．2018 B．1009 C．1010 D．202011．已知为等差数列，若，，则()A．1 B．2 C．3 D．612．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，若，则__________．14．在平面五边形中，，，，且.将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.15．在的展开式中，的系数为________．16．若函数与函数，在公共点处有共同的切线，则实数的值为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设复数满足（为虚数单位），则的模为______.18．（12分）如图，⊙的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为⊙上一点，，交于点．求证：~．19．（12分）在中，、、的对应边分别为、、，已知，，.（1）求；（2）设为中点，求的长.20．（12分）如图，三棱台中，侧面与侧面是全等的梯形，若，且.（Ⅰ）若，，证明：∥平面；（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21．（12分）已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α122．（10分）已知函数的最大值为2.（Ⅰ）求函数在上的单调递减区间；（Ⅱ）中,,角所对的边分别是，且，求的面积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，首先求出正四面体的体积，再利用等体法求出内切球的半径，在中，根据勾股定理求出外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为，取的中点为，连接，作正四面体的高为，则，，，设内切球的半径为，内切球的球心为，则，解得：；设外接球的半径为，外接球的球心为，则或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故选：D【点睛】本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题，考查了椎体的体积公式以及球的体积公式，需熟记几何体的体积公式，属于基础题.2、C【解析】试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C．考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键．3、C【解析】

讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则不恒成立，不符合题意，若时，要使得恒成立，则，即.所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出是的充分条件；若，则推出是的必要条件.4、A【解析】

根据分段函数解析式，先求得的值，再求得的值.【详解】依题意，.故选：A【点睛】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.5、D【解析】

利用复数的除法运算，化简复数，即可求解，得到答案．【详解】由题意，复数，故选D．【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，其中解答中熟记复数的除法运算法则是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6、B【解析】

对复数进行化简计算，得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算，虚部的概念，属于简单题.7、A【解析】

求出集合，然后进行并集的运算即可.【详解】∵，，∴.故选：A.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合并集的概念和运算，属于基础题.8、A【解析】

根据抛物线的性质求出点坐标和焦点坐标，进而求出点的坐标，代入斜率公式即可求解.【详解】设点的坐标为，由题意知，焦点,准线方程，所以，解得，把点代入抛物线方程可得，，因为，所以，所以点坐标为，代入斜率公式可得，.故选：A【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力；属于基础题.9、A【解析】

由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】，，，因此，函数的值域为.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.10、C【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4，然后借助于三角函数的周期性确定其值即可．【详解】解：．，，的周期为，，，，，．．故选：C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于中档题．11、B【解析】

利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．【详解】∵{an}为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+11＝1．故选：B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的.考点：三视图二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】

分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：【点睛】本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．14、【解析】

设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，得到直线与的交点为几何体外接球的球心，结合三角形的性质，求得球的半径，利用表面积公式，即可求解.【详解】设的中心为，矩形的中心为，过作垂直于平面的直线，过作垂直于平面的直线，则由球的性质可知，直线与的交点为几何体外接球的球心，取的中点，连接，，由条件得，，连接，因为，从而，连接，则为所得几何体外接球的半径，在直角中，由，，可得，即外接球的半径为，故所得几何体外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及多面体的外接球的表面积的计算，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力与运算求解能力，属于中档试题.15、【解析】

根据二项展开式定理，求出含的系数和含的系数，相乘即可.【详解】的展开式中，所求项为：，的系数为.

故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，属于基础题.16、【解析】

函数的定义域为，求出导函数，利用曲线与曲线公共点为由于在公共点处有共同的切线，解得，，联立解得的值．【详解】解：函数的定义域为，，，设曲线与曲线公共点为，由于在公共点处有共同的切线，∴，解得，．由，可得．联立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、1【解析】

整理已知利用复数的除法运算方式计算，再由求模公式得答案.【详解】因为，即所以的模为1故答案为：1【点睛】本题考查复数的除法运算与求模，属于基础题.18、证明见解析【解析】

根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得即可.【详解】证明：∵，所以，又因为，所以．在与中，，，故~.【点睛】本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）直接根据特殊角的三角函数值求出，结合正弦定理求出；（2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解．【详解】解：（1）∵，且，∴，由正弦定理，∴，∵∴锐角，∴（2）∵，∴∴∴在中，由余弦定理得∴【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．20、(Ⅰ)见解析；(Ⅱ).【解析】试题分析：(Ⅰ)连接，由比例可得∥，进而得线面平行；（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.试题解析：（Ⅰ）证明：连接，梯形，,易知：；又，则∥；平面，平面，可得：∥平面；（Ⅱ）侧面是梯形，，,,则为二面角的平面角，；均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则,故点，；设平面的法向量为，则有：；设平面的法向量为，则有：；，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.21、A=【解析】

运用矩阵定义列出方程组求解矩阵A【详解】由特征值、特征向量定义可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义