江苏省常州市湟里高级中学高一数学理上学期摸底试题含解析

江苏省常州市湟里高级中学高一数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）sin510°=（） A． B． ﹣ C． D． ﹣参考答案：A考点： 运用诱导公式化简求值．专题： 三角函数的求值．分析： 直接利用诱导公式化简，通过特殊角的三角函数求解即可．解答： sin510°=sin（360°+150°）=sin150°=sin30°=．故选：A．点评： 本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．2.非零实数a、b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），当|2a+b|取到最大值时，则的值为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：不等式的基本性质．

专题：不等式的解法及应用．分析：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），化为==，利用柯西不等式即可得出．解答：解：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0（c＞0），化为==，由柯西不等式可得：≥=（2a+b）2，当|2a+b|取到最大值时，=，化为．故选：D．点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，则下列命题错误的是（

）

A．如果直线a⊥α，那么直线a必垂直于平面β内的无数条直线B．如果直线a∥α，那么直线a不可能与平面β平行C．如果直线a∥α，a⊥l，那么直线a⊥平面βD．平面α内一定存在无数条直线垂直于平面β内的所有直线参考答案：B4.已知函数f（n）=其中n∈N，则f（8）等于（）A．2 B．4 C．6 D．7参考答案：D【考点】函数的值．【专题】计算题．【分析】根据解析式先求出f（8）=f[f（13）]，依次再求出f（13）和f[f（13）]，即得到所求的函数值．【解答】解：∵函数f（n）=，∴f（8）=f[f（13）]，则f（13）=13﹣3=10，∴f（8）=f[f（13）]=10﹣3=7，答案为：7．故选D．【点评】本题是函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．5.已知全集，集合，则为

A.

B.

C.

D.参考答案：C6.（8分）已知x+y-3=0,求的最小值.参考答案：略7.已知全集U={1，3，5，7，9}，A={1，5，7}，则（

）

A．{1，3}

B.{3，7，9}

C.{3，5，9}

D.{3，9}参考答案：D8.已知在映射下的象是，则象(1,7)在下的原象为(

)A．(8，－6)B．(－3，4)

C．(4，－3)

D．(－6，8)

参考答案：C略9.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.已知是定义在上的偶函数，那么的值是（

）．A． B． C． D．参考答案：B依题意得：，∴，又，∴，∴．故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在空间直角坐标系中，点在平面yOz上的射影为点B，在平面xOz上的射影为点C，则|BC|=

．参考答案：因为点在平面yOz上的射影为点,在平面xOz上的射影为点，所以由两点间距离公式可得.

12.已知平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，则向量，夹角的余弦值为．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的定义及其性质即可得出．【解答】解：∵平面向量，满足||=2，||=2，|+2|=5，∴5===，化为=．故答案为：．13.数列…的前

项和为最大？参考答案：10略14.在△ABC中，若_________。参考答案：略15.已知，则__________.参考答案： 16.函数f（x）=4x﹣2x﹣1﹣1取最小值时，自变量x的取值为．参考答案：﹣2【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】设2x=t（t＞0），则y=t2﹣t﹣1，由配方，可得函数的最小值及对应的自变量x的值．【解答】解：函数f（x）=4x﹣2x﹣1﹣1，设2x=t（t＞0），则y=t2﹣t﹣1=（t﹣）2﹣，当t=，即x=﹣2时，取得最小值，且为﹣．故答案为：﹣2．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和指数函数的值域，以及二次函数的最值求法，属于中档题．17.如图，为了测量点A与河流对岸点B之间的距离，在点A同侧选取点C，若测得AC=40米，∠BAC=75°，∠ACB=60°，则点A与点B之间的距离等于

米.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|a+1≤x≤2a﹣1}．（1）若a=3时，求A∩B，A∪（?RB）；（2）若B?A，求a的取值范围．参考答案：【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；集合．【分析】（1）由集合的运算即可得解．（2）解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，先分析满足空集的情况，再通过分类讨论的思想来解决问题．同时还要注意分类讨论结束后的总结．【解答】解：（1）∵a=3，∴B={x|4≤x≤5}．∴A∩B={x|4≤x≤5}，∴A∪（?RB）=R；（2）当a+1＞2a﹣1，即a＜2时，B=?，满足B?A，即a＜2；当a+1=2a﹣1，即a=2时，B=3，满足B?A，即a=2；当a+1＜2a﹣1，即a＞2时，由B?A，得即2＜a≤3；综上所述：a的取值范围为a≤3．故实数a的取值范围是{a|﹣3≤a≤3}．【点评】本题考查的是集合包含关系的判断及应用．解决本题的关键是要考虑集合B能否为空集，满足空集的条件，并能以此条件为界进行分类讨论．19.(本小题满分12分)，（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数的图像；（2）根据图像，写出该函数的单调区间；（3）若集合A=中恰有三个元素，求实数的取值范围.参考答案：（1）图略

（2）

（3）20.2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动．为响应党中央号召，江南某化工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种化纤产品，以提供生产婴儿的尿不湿原材料，生产条件要求1≤x≤10，已知该化工厂每小时可获得利润是100(5x+1－)元．（1）要使生产该化纤产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该化纤产品获得的利润最大，问：该化工厂应该选取何种生产速度？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣），根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0，∴x≥3或x≤﹣，又∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；（2）设利润为y元，则生产900千克该产品获得的利润：y=100（5x+1﹣）×=9×104[﹣3+]，∵1≤x≤10，∴x=6时取得最大利润9×104×=457500元，故该厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．21.（1）关于x的不等式在R上恒成立，求m的取值范围；（2）对于集合,是否存在实数，使？若存在，求出的取值，若不存在，试说明理由参考答案：（1）；（2）.试题解析：（1）①当时，成立；②当，则

由①②可知，（2）

∴,即二次方程:与均无实数解，

，故当时，考点：不等式的解法．22.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为C1D1，B1C1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q，求证：（1）D、B、F、E四点共面；（2）若A1C∩平面DBFE=R，则P、Q、R三点共线．参考答案：【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1）由已知得EF∥D1B1，BB1∥DD1、BB1=DD1，从而BB1D1D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．（2）由已知得EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．【解答】证明：（1）∵E、F分别为C1D1，B1C1的中点，∴EF是△B1C1D1的中位线，∴EF∥D1B1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴BB1∥DD1、BB1=DD1，∴BB1D1D是平行四