量子力学中的力学量

量子力学中的力学量第三章量子力学中的力学量§3.1表示力学量的算符算符：指作用在一个函数上得出另一个函的运算符号。如。如第2页,共61页，2024年2月25日，星期天算符的运算：1、相等2、相加3、相乘两算符相乘其次序不能随便调换。线性算符（态叠加原理）定义：若则是线性的。是任意函数，C1、C2是常数第3页,共61页，2024年2月25日，星期天是线性的，是非线性的。厄米算符：是任意函数。若则是厄米的。性质：厄米算符的本征值是实数。第4页,共61页，2024年2月25日，星期天证明：是厄米算符。量子力学中表示力学量的算符都是线性的、厄米的。如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换为而得出。角动量第5页,共61页，2024年2月25日，星期天如果表示力学量F，那么当体系处于的本征态时，力学量F有确定值，这个值就是在态中的本征值。证明：都是厄米的。1、2、第6页,共61页，2024年2月25日，星期天§3.2动量算符和角动量算符1、动量算符第7页,共61页，2024年2月25日，星期天第8页,共61页，2024年2月25日，星期天复习：1、状态用波函数描写，单值、有限、连续：几率几率幅2、态叠加原理3、Schrödinger方程：4、力学量用线性、厄米的算符表示第9页,共61页，2024年2月25日，星期天2、角动量算符第10页,共61页，2024年2月25日，星期天球坐标：第11页,共61页，2024年2月25日，星期天第12页,共61页，2024年2月25日，星期天第13页,共61页，2024年2月25日，星期天§3.3电子在库仑场中的运动假设原子核不动第14页,共61页，2024年2月25日，星期天在球极坐标下：用分离变量法求解：（1）（2）第15页,共61页，2024年2月25日，星期天由（1）第16页,共61页，2024年2月25日，星期天（3）第17页,共61页，2024年2月25日，星期天（4）标准的缔合拉盖尔方程：第18页,共61页，2024年2月25日，星期天其解为缔合拉盖尔多项式在（4）式中：径向量子数。第19页,共61页，2024年2月25日，星期天第20页,共61页，2024年2月25日，星期天第21页,共61页，2024年2月25日，星期天§3.4氢原子电子核电子相对于核的坐标：体系的质心坐标，总质量第22页,共61页，2024年2月25日，星期天为折合质量,只与相对坐标有关第23页,共61页，2024年2月25日，星期天(1)式为电子相对于核的运动,相对运动的能量就是电子的能级;(2)式为质心的运动，相当于能量为自由粒子的运动,方程为定态薛定谔方程.其定态波函数第24页,共61页，2024年2月25日，星期天第25页,共61页，2024年2月25日，星期天立体角第26页,共61页，2024年2月25日，星期天能量有确定值有确定值第27页,共61页，2024年2月25日，星期天第28页,共61页，2024年2月25日，星期天§3.5厄米算符本征函数的正交性相互正交：厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。属于同一本征值的不同的本征函数不一定正交。………第29页,共61页，2024年2月25日，星期天证明：厄米算符的性质：本征值为实数由（2）即正交性。第30页,共61页，2024年2月25日，星期天归一化正交归一系：如果的本征值组成连续谱，则本征函数归一

化为函数（1）线性谐振子的能量本征函数第31页,共61页，2024年2月25日，星期天（2）的本征函数第32页,共61页，2024年2月25日，星期天（3）氢原子能量算符的本征函数第33页,共61页，2024年2月25日，星期天§3.6算符与力学量的关系表示力学量F如果体系处于的本征态，这时测量力学量F可得到确定的值，即为的本征值（在态中）。如果体系处于任意态，对于力学F测量，则结果如何？假定：可观测的力学量的线性厄米算符的本征函数族组成完全系。或者具有完备性。即体系的状态波函数可用力学量算符的本征函数展开。第34页,共61页，2024年2月25日，星期天即注意与无关，是以力学量F为自变量的函数，与是描写同一状态的不同自变量的波函数。第35页,共61页，2024年2月25日，星期天具有几率的意义：表示在态中测量力学量F得到的结果是的本征值的几率。

基本假定：量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系，当体系处于波函数所描写的状态时，测量力学量F所得的数值，必定是算符的本征值之一，测得的几率是。第36页,共61页，2024年2月25日，星期天本征值是分立值时本征值是连续值时如不是的本征态，则在态测量F时所得到的值不是确定的。而是一系列的可能值每个可能值以确定的几率出现。只有在的本征态测量F，F才有确定的值。这个值就是态中的本征值。如：第37页,共61页，2024年2月25日，星期天力学量F的平均值：连续时，一般第38页,共61页，2024年2月25日，星期天[例3-6]第39页,共61页，2024年2月25日，星期天第40页,共61页，2024年2月25日，星期天[例2]求一维无限深势阱中运动的基态粒子的平均动量[解]基态方法一：第41页,共61页，2024年2月25日，星期天是的本征态，不是的本征态。方法二：把按动量算符的本征函数展开，求出后求第42页,共61页，2024年2月25日，星期天一维束缚态，能级量分立的基态：体系能量最低的态。对一维无限深势阱第43页,共61页，2024年2月25日，星期天[例]一粒子处在一维无限深势阱波函数求：（1）归一化常数A；（2）测量能量的可能值。第44页,共61页，2024年2月25日，星期天[解]归一化的一种方法：由测量能量的可能值第45页,共61页，2024年2月25日，星期天此时不是的本征态，而是本征态的叠加态第46页,共61页，2024年2月25日，星期天§3.7算符的对易关系

两力学量同时有确定值的条件一、算符的对易关系若则称与对易。第47页,共61页，2024年2月25日，星期天对于任一波函数，有由于是任意的波函数第48页,共61页，2024年2月25日，星期天同理有对易关系第49页,共61页，2024年2月25日，星期天第50页,共61页，2024年2月25日，星期天同理同理可证：第51页,共61页，2024年2月25日，星期天若将坐标换成动量，上述对易关系仍成立。定理：如果两个算符和有一组共同的本征函数，而且组成完全系，则算符与对易。证明：设是任意波函数，由于组成完全系。第52页,共61页，2024年2月25日，星期天是任意的波函数。该定理的逆定理也成立：如果两个算符对易，对这两个算符有组成完全系的共同本征函数。（推广）定理2：如果一组算符有共同的本征函数，而且这些共同的本征函数组成完全系，则这些算符中任何一个和其余的算符对易。这个定理的逆定理也成立。算符所表示的力学量同时有确定值的条件：对易。在一些算符的共同本征函数所描写的态中，这些算符所表示的力学量同时有确定值。如氢原子。有共同的本征函数，相互对易。在态中，同时有确定值，。第53页,共61页，2024年2月25日，星期天要完全确定体系所处的状态，需要一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量的完全集。在完全集中力学量的数目一般与体系自由度的数目相等。氢原子，自由度，完全确立它的状态需要三个相互对易的力学量，或三个量子数。若不对易，一般地讲，它们不能同时有确定值。设是一个算符或数，如考虑积分利用都是厄米算符则有——不确定关系第54页,共61页，2024年2月25日，星期天[例]求谐振子的零点能第55页,共61页，2024年2月25日，星期天即等号对应的最小值而第56页,共61页，2024年2月25日，星期天1、态用波函数表示：几率，单值、连续、有限。2、力学量用算符表示在的本征态力学量

有确定的值正交归一且组成完全系在态测力学量F有一些可能值，几率为则有组成完全系的共同本征态。第57页,共61页，2024年2月25日，星期天在这个共同的本征态中，同时有确定值。

若则3、态叠加