北师大版必修二第一章《立体几何初步》教案

第一章立体几何初步一、知识结构空间几何体简单的空间几何体空间几何体简单的空间几何体基本元素(点、线、面)关系多面体(棱柱、棱锥、棱台)旋转体（圆柱、圆锥、圆台）直线与直线直线与平面平面与平面结构特征，图形表示，侧面积，体积平行、垂直、夹角、距离三视图，直观图，展开图判定、性质综合应用二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。平行，垂直判定与性质定理证明与应用。第一课时棱柱、棱锥、棱台【学习导航】棱柱的结构特征知识网络棱柱的结构特征棱柱、棱锥、棱台棱锥的结构特征棱柱、棱锥、棱台棱锥的结构特征棱台的结构特征棱台的结构特征学习要求1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0B.1C.2D.3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点互助参考７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．互助参考７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？答：不能．点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。自主训练一1.如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？D1C1D1C1A1A1B1B1DCDCBABA答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到．2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。答：４个面，四面体．第二课时圆柱、圆锥、圆台、球【学习导航】圆柱的结构特征圆锥的结构特征圆柱的结构特征圆锥的结构特征圆台的结构特征圆柱、圆锥、圆台、球球的结构特征学习要求1．初步理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念。掌握它们的生成规律。2．了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义。3．了解一些复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们由哪些简单几何体组合而成。4．结合日常生活中的一些具体实例，体会客观世界中事物与事物之间内在联系的辨证唯物主义观点，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．【课堂互动】自学评价圆柱的定义：母线底面轴2．圆锥的定义：3．圆台的定义：4．球的定义：5．旋转面的定义：６．旋转体的定义：７．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。【精典范例】例1：给出下列命题：甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线乙：圆台的任意两条母线必相交丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线。其中正确的命题的有（Ａ）A．0B.1C.2D.3例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？。AABCD【解】互助参考９页例１例３：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？。甲乙【解】互助参考９页例２思维点拨：如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。自主训练1.指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？答：略2.如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？DCAB答：圆锥和圆柱3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？答：圆【师生互动】第三课时中心投影和平行投影【学习导航】知识网络中心投影和平行投影中心投影和平行投影空间几何体的三视图空间几何体的三视图柱、锥、台、柱、锥、台、球的三视图简单组合体的三视图简单组合体的三视图学习要求1．初步理解投影的概念。掌握中心投影和平行投影的区别和联系。2．了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体的三视图。3．初步理解由三视图还原成实物图的思维方法．【课堂互动】自学评价1．投影的定义：.2．中心投影的定义：平行投影的定义：平行投影的分类：3．主视图（或正视图）的定义：俯视图的定义：左视图的定义：【精典范例】一、如何画一个实物的三视图？例1：画出下列几何体的三视图。解答：互助参考12页例1点评：1.画三视图的方法和步骤(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直于投影面，然后画出这时的正投影面------主视图(2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正投影------左视图⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下方确定一个水平面作为投影-----俯视图2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图。解答：互助参考13页例２二、如何由三视图还原成实物图。例3.根据下面的三视图,画出相应空间图形的直观图.主视图左视图俯视图解略．点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能力。一般的从主视图出发，然后是左视图、俯视图，画图后检验。自主训练一根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。(1)B(2)D(3)A(4)C主视图俯视图(4)(3)(2)(4)(3)(2)(1)DCBADCBA第四课时直观图画法【学习导航】知识网络空间几何体的直观图空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法学习要求1．初步了解中心投影和平行投影的区别。2．初步掌握水平放置的平面图形的直观图的画法和空间几何体的直观图的画法3．初步了解斜二测画法【课堂互动】自学评价1．消点的定义：.2．斜二测画法步骤⑴⑵⑶⑷【精典范例】一、怎样画水平放置的正三角形的直观图例1：画水平放置的正三角形的直观图。解答：互助参考14页例1点评：在条件“平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。自主训练一画水平放置的正五边形的直观图。解答：略例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.解答：互助参考15页例2点评：空间图形的直观图的画法。规则是：已知图形中平行于x轴，y轴和z轴的线段，在直观图中保持平行性不变；平行于x轴，z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半。自主训练二用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方体ABCD—A′B′C′D′的直观图仿照例２作图第五课时平面的基本性质【学习导航】知识网络平面的表示平面的概念平面的表示平面的概念平面平面平面的基本性质平面的基本性质公里3公里2公里１公里3公里2公里１学习要求1.初步了解平面的概念.2.了解平面的基本性质(公理1-3)3.能正确使用集合符号表示有关点、线、面的位置关系.4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题【课堂互动】自学评价1．平面的概念：.2．平面的表示法３．公里１：符号表示4.公里2：符号表示５．公里３：符号表示问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平面的例子．【精典范例】例1：已知E、F、G、H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)ABCD各边AB、AD、BC、CD上的点,且直线EF和GH交于点P,求证:B、D、P在同一条直线上.AAEFDBGHCP证明：∵P∈EF,而E∈AB,F∈AD∴EF平面ABD∴P∈平面ABD同理，P∈平面BDC∴P∈平面ABD∩平面BDC∴B、D、P在同一条直线上思维点拔：证明多点共线，通常利用公里2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这些点分别在两个平面内。自主训练如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为AB,AA1中点，求证CE,D1F,DA三条直线交于一点。AABCDD1C1B1A1EF证略．例2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是否正确?并说明理由.①AC1在平面CC1B1B内;②若O、O1分别为面ABCD、A1B1C1D1的中心,则平面AA1C1C③由点A、O、C可以确定平面;④由点A、C1、B1确定的平面与由点A、C1、D确定的平面是同一个平面.AABCDOO1A1B1C1D1解（１）不正确（２）正确（３）不正确（４）正确．自主训练为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是（Ｂ）Ａ．Ａl,lαB．Ａl,lαC．Ａl,lαD．Ａl,lα3.下列叙述中，正确的是（Ｄ）Ａ．因为Ｐα，Ｑα，所以ＰＱαＢ．因为Ｐα,Ｑβ，所以αβ＝ＰＱＣ．因为ＡＢα,ＣＡＢ，ＤＡＢ，所以ＣＤαＤ．因为ＡＢα,ＡＢβ，所以Ａαβ，且Ｂαβ第六课时平面的基本性质【学习导航】知识网络公里３公里３推论3推论2推论１推论3推论2推论１学习要求1.了解平面基本性质的3个推论,了解它们各自的作用.2.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题.【课堂互动】自学评价1．推论１：.已知：求证：解答：互助参考22页推论１2．推论２：已知：求证：３．推论３：符号表示：仿推论1、推论2的证明方法进行证明。【精典范例】一、如何证明共面问题．ABDClα例1：已知:如图A∈l,B∈ABDClα解答：互助参考22页例１思维点拔：简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明其他的点线也在这个平面内，这种证明点线共面的方法称为＂落入法＂例2.如图:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,P为棱BB1的中点,画出由A1,C1,P三点所确定的平面α与长方体表面的交线.AABCDD1C1B1A1PP解答：互助参考2３页例２自主训练一证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．已知：求证：证明：（１）如图，设直线a,b，c相交于点Ｏ，直线d和a,b，c分别交于M,N,P直线d和点Ｏ确定平面α，证法如例１MMNoPdαcbacbaNGNGPαdcMabR设直线a,b，c,d两两相交，且任意三条不共线，交点分别为M,N,P,Q,R,G∵直线a和b确定平面α∴a∩c=N,b∩c=Q∵N,Q都在平面α内∴直线c平面α，同理直线d平面α∴直线a,b，c,d共面于α【学习延伸】如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:(1)D、B、F、E四点共面’ABCDABCDD1C1B1A1证明略自主训练二1.空间四点中,如果任意三点都不共线,那么由这四点可确定___１或４____个平面?2.已知四条不相同的直线,过其中每两条作平面,至多可确定____６____个平面.3.已知l与三条平行线a,b,c都相交，求证：l与a,b,c共面．证明略第7课时空间两条直线的位置关系一、【学习导航】判定及性质知识网络判定及性质判定及性质平行直线判定及性质平行直线空间两条直线位置关系异面直线空间两条直线位置关系异面直线异面直线所成角的计算方法异面直线所成角的计算方法相交相交学习要求1.了解空间两条直线的位置关系2.掌握平行公理及其应用3.掌握等角定理，并能解决相关问题．【课堂互动】自学评价空间两直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线平行直线异面直线公里４：符号表示：思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行答：３．等角定理【精典范例】ABEFCDABEFCDA1D1C1B1应用应用解答：互助参考２５页例１思维点拔：证两直线平行的方法：(1)利用初中所学的知识(2)利用平行公理．自主训练已知：棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为CD,AD的中点，求证：四边形MNAC是梯形．C1D1MC1D1NB1A1B1A1DCDCBABA证明略点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识．例2：如图.已知E、E1分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中点,求证:∠C1E1B1=∠CEB.AABCEDA1D1E1C1B1分析：设法证明E1C1//EC,E1B1//EB证明：解答：互助参考２６页例２等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。等角定理的证明已知:∠BAC和∠B1A1C1的边AB//A1B1,AC//A1C求证:∠BAC=∠B1A1C解答：互助参考２５页点评：平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要经过证明才能应用。自主训练1.设AA１是正方体的一条棱，这个正方体中与AA1平行的棱共有（C）Ａ.１条Ｂ.２条Ｃ.３条Ｄ.４条2.若OA//O1A1,OB//O1B1,则∠AOB与∠A1O1B1关系（C）A.相等B.互补C.相等或互补D.以上答案都不对３．如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′//BB′,AA′=BB′,BB′//CC′,BB′=CC′.求证：△ABC≌△A′B′C′A′AB′BC′C用平行四边形性质证明思维点拔：凡“有且只有”的证明，丢掉“有”即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性的证明都会导致错误发生，即证明不全面，思维不严谨所致。求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．已知：点P直线a求证：过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条．证明：∵Pa，∴点P和直线a确定平面α在平面α内过点Ｐ作直线b直线a平行（由平面几何知识）假设过点Ｐ还有一条直线c与a平行，则∵a//b,a//c∴b//c,这与b，c共点Ｐ矛盾．∴直线b唯一∴过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行总结：(1)凡上述两类问题型的证明应有两步，即先证明事实存在，再证明它是唯一的(2)解答文字命题必须将文字语言“译”成符号语言，然后写出“已知和求证”需要作图时，要把图形作出来，最后给出“解答（证明）”第8课时异面直线一、【学习导航】知识网络定义定义画法画法判定(证明)异面直线判定(证明)异面直线异面直线所成角的求法异面直线所成角的求法学习要求1.掌握异面直线的定义．２．理解并掌握异面直线判定方法．.3.掌握异面直线所成的角的计算方法．【课堂互动】自学评价异面直线的定义２．异面直线的特点b３．画法：平面衬托法bbbaaaabbaa４．异面直线的判定方法(1)定义法(2)判定定理(3)反证法５．异面直线所成的角(1)定义：(2)范围：６．异面直线的垂直【精典范例】例1：已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体.(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线;(2)求异面直线AA1与BC所成的角;(3)求异面直线BC1和AC所成的角.AABCDA1D1C1B1互助参考２７理１思维点拔：(1)证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理(2)求两条异面直线所成的角的方法：①作②证③求自主训练１．指出下列命题是否正确，并说明理由：(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；(2)过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．答：（１）正确，（２）错２．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，那些棱所在直线与直线AA1是异面直线且互相垂直．C1D1C1D1B1A1DB1A1DCCAABB答：ＣＤ，Ｃ１Ｄ１，ＢＣ，Ｂ１Ｃ１３．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成为：(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线．babababababa４．在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD中点,且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD与BC所成角的大小.BBCADEFHH解析：取BD的中点Ｈ，利用中位线性质，有EH//AD,FH//BC,∠EHF或其补角为AD与BC所成角，可以求得∠EHF＝９０°【学习延伸】已知A是△BCD所在平面一点，AB=AC=AD=BC=CD=DB，E是BC的中点，(1)求证直线AE与BD异面(2)求直线AE与BD所成角的余弦值AADBDBCC(1)反证法(2)取ＣＤ的中点Ｆ，连接ＥＦ，可达到平移的目的．直线AE与BD所成角的余弦值第9课时直线与平面的位置关系直线和平面相交一、【学习导航】直线和平面相交知识网络直线在平面内直线在平面内直线和平面平行的定义直线和平面的位置关系直线和平面平行的定义直线和平面的位置关系直线和平面平行直线和平面平行直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定学习要求1.掌握直线与平面的位置关系.２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．【课堂互动】自学评价直线和平面位置关系位置关系符号表示图形表示直线a在平面α内直线a在平面α相交直线a在平面α相交２．直线在平面内是指：３．直线和平面平行的判定定理符号表示说明：本章中出现的判定定理的证明不作要求４．直线和平面平行的性质定理已知：求证：互助参考31页直线和平面平行的判定直线和平面平行的判定与性质定理的应用直线和平面平行的性质证明：【精典范例】例1：如图,已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD中点,求证:EF//平面BCD.AAEFBCD互助参考31页例１自主训练一已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别是AC、BF上的点且AM=FN求证：MN//平面BCEFEFENNBABAMMDCDC证明：作NP//AB交BE于点P作NQ//AB交BC于点Q而AC=BF,AM=FN,∴MC=NB,有AB=EF∴MQ//NP,有MQ=NP∴四边形MQNP是平行四边形．∴MN//PQ,而PQ平面BCE∴MN//平面BCEABCDABCDA1D1C1B1P·互助参考31页例２例3.求证:如果三个平面两两相交于直线,并且其中两条直线平行,那么第三条直线也和它们平行.已知：求证：互助参考31页例３[思考]:如果三个平面两两相交于三条直线,并且其中的两条直线相交,那么第三条直线和这两条直线有怎样的位置关系?自主训练二1.指出下列命题是否正确，并说明理由：(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；错(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；正确(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。正确2.已知直线a,b和平面α，下列命题正确的是（Ｄ）A.若a//α,bα则a//bB.若a//α,b//α则a//bC.若a//b,bα则a//αD.若a//b,bα则a//α或bα3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是：面A1C1,面DC1(2)与直线AA1平行的平面是：面BC1,面DC1(3)与直线AD平行的平面是：面BC1,面A1C1C1D1C1D1B1A1DB1A1DCBACBA第10课时直线与平面垂直一、【学习导航】直线和平面垂直的定义知识网络直线和平面垂直的定义直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定直线和平面垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的性质直线和平面垂直的判定直线和平面垂直的判定与性质定理的应用学习要求1.掌握直线与平面的位置关系.２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．【课堂互动】自学评价直线和平面垂直的定义:符号表示：垂线：垂面：垂足：思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？答：(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？答：２．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直３．点到平面的距离：４．直线与平面垂直的判定定理：符号表示５．直线和平面垂直的性质定理：已知：求证：证明：互助参考34６．直线和平面的距离：【精典范例】例1：.求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.证明：互助参考34例1思维点拔：要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。Rt△ABC所在平面外一点Ｓ，且SA=SB=SC(1)求证：点Ｓ在斜边中点Ｄ的连线SD⊥面ABC(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC自主训练如图,已知PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A、B,且α∩β=l,求证:AB⊥l.AABPαβl证明：略例2.已知直线l//平面α,求证:直线l各点到平面α的距离相等.证明：互助参考34例2例3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求证:A1C⊥B1D1;(2)若M、N分别为B1D1与C1D上的点,且MN⊥B1D1,MN⊥C1D,求证:MN//A1C.AABDCD1=C1=B1=A1=M=N分析：(1)可先证B1D1⊥面A1CC1，从而证出结论．(2)可证MN和A1C都垂直于面BDC1,从而利用性质证出结论点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性质。自主训练1.已知直线l,m,n与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：(1)若l⊥α,则l与α相交；(2)若mα,nα,l⊥m,l⊥n,则l⊥α；(3)若l//m,m⊥α,n⊥α,则l//m2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．3.在△ABC中，∠Ｂ＝90°，SA⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，求证：AN⊥BC，MN⊥SCBBANMCS略证：BC⊥面SABBC⊥AN再证AN⊥面SBCAN⊥SCAM⊥SCSC⊥面ANMMN⊥SC第11课时直线与平面垂直(2)一、【学习导航】斜线在平面内射影的定义知识网络斜线在平面内射影的定义直线和平面所成角直线和平面所成角的定义直线和平面所成角直线和平面所成角的定义直线和平面所成角的求法直线和平面所成角的求法学习要求1.了解直线和平面所成角的概念和范围;2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.【课堂互动】自学评价斜线的定义:斜足定义:斜线段定义:２．直线和平面所成角的定义：线面角的范围：【精典范例】例1：.如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，aα，求证：a⊥BCABCABCαa证明：互助参考3６例3例2.求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.已知：求证：证明：证明：略点评：上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。例３.如图,∠BAC在平面α内,点Pα,∠PAB=∠PAC.求证:点P在平面α上的射影在∠BAC的平分线上.AAPOCEFBα证明：互助参考3６例４思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗?思维点拨：要证线面垂直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直和线面垂直互相转化．自主训练1.如图，∠BCA=90°，PC⊥面ABC，则在三角形ABC，三角形PAC的边所在的直线中：(1)与PC垂直的直线有AC,AB,BC(2)与AP垂直的直线有BCPPACBACB2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面内α与直线a垂直的直线(B)A.只有一条B.有无数条C.是平面α内的所有直线D.不存在3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平面内的射影相等吗？答：相等4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｐ为DD１的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B１O⊥平面PAC点拨：使B１O垂直与平面ABC内的两条相交直线．【学习延伸】Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平面Ｍ所成的角分别是４５°和３０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角AAOBOBCMCM答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．解题步骤：①作，②证，③求。自主训练在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求ＡＤ１与平面ABCD所成的角，求ＡＤ１与平面A1D1CB所成的角(1)45°(2)30°第12课时平面与平面位置关系一、【学习导航】两平面的判定知识网络两平面的判定两平面平行两平面平行两平面的性质平面与平面的位置关系两平面的性质平面与平面的位置关系两平行平面的距离两平行平面的距离两平面相交两平面相交学习要求1.理解并掌握两平面平行,两平面相交的定义.2.会画平行或相交平面的空间图形,并会用符号表示.3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,并能运用其解决一些具体问题.【课堂互动】自学评价两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点符号表示图形表示２．两个平面平行的判定定理：符号表示：３．两个平面平行的性质定理：已知：求证：证明：４．思考：(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面(2)分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？５．两个平行平面间的距离６．直线和平面的距离：【精典范例】例1：如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面C1DB//平面AB1D1.AABCDD1A1B1C1证明：互助参考40例1例2.求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.证明：互助参考40例2例3.求证:如果一条直线垂直于两个平面,那么这两个平面平行．.已知求证：证明：仿例2证思维点拨：两个平面平行的判定定理和性质定理体现了在一定条件下，线线平行，线面平行，面面平行之间可以互相转化．自主训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行；(2)若平面α内的有无数条直线与平面β平行，则α与β平行；(3)平行于同一条直线的两个平面平行；(4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；(5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面。2.六棱柱的表面中，互相平行的面最多有多少对？3.如图，设E,F,E1,F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中点，求证：平面ED1//平面BF1F1C1D1F1C1D1E1B1E1B1FA1DCFA1DCEBAEBA证明：略4.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等。证明：略第13课时二面角一、【学习导航】知识网络定义定义定义二面角定义二面角定义法定义法垂面法垂面法三垂线定理二面角的平面角二面角的平面角确定方法确定方法学习要求1.理解二面角及其平面角的概念2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小．【课堂互动】自学评价二面角的有关概念(1)．半平面：(2).二面角：(3).二面角的平面角：(4).二面角的平面角的表示方法：(5).直二面角：(6).二面角的范围：2.二面角的作法：(1)定义法(2)垂面法(3)三垂线定理【精典范例】例1：下列说法中正确的是（D）A.二面角是两个平面相交所组成的图形B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角C.角的两边分别在二面角的两个面内,则这个角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例２如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中:(1)求二面角D1-AB-D的大小;(2)求二面角A1-AB-D的大小BCBCB1C1ADD1A1互助参考43例1(1)45°(2)90思维点拨要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求．例３在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值．点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．AABCDD1C1B1A1分析：取BD的中点O，连接A1O,C1O，则∠A1OC1为平面A1BD与平面C1BD的二面角的平面角．答：平面A1BD与平面C1BD的夹角的正弦值自主训练1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60°2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥面ABCD，且PA=，则二面角A-BD-P的度数为30°3.点A为正三角形BCD所在平面外一点，且A到三角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求二面角A-BC-D的余弦值.答：第14课时平面与平面垂直一、【学习导航】知识网络α⊥βα⊥β的判定和性质α⊥β的判定α⊥β的性质性质１性质２α⊥β的判定α⊥β的定义学习要求1.掌握两平面垂直的定义2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理，并会用这两个定理证明一些问题．【课堂互动】自学评价1.两个平面互相垂直的定义：2.两个平面互相垂直的判定定理：符号表示：３.两个平面互相垂直的性质定理：已知：求证：证明：【精典范例】例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面A1C1CA⊥面B1D1DB.D1C1D1C1A1B1A1B1DDCCBABA证明：互助参考44例2思维点拨证明面面垂直的方法：(1).利用两平面垂直的定义，作出两相交平面所成二面角的平面角，并求其大小为90°(2).利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．例２.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.已知：求证：证明：互助参考45例3例３：如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD⊥平面ABCD，PD=AD,点E为AB中点，点F为PD中点，求证：(1)平面PED⊥平面PAB;(2)求二面角F-AB-D的正切值．PPFFDDCACAEEBB证明：（１）略．（２）自主训练1.判断下列命题是否正确，并说明理由：①若α⊥γ,β⊥γ,则α//β；错②若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ；错③若α//α1,β//β1,α⊥β,则α1⊥β1，正确OABPC2.已知PA⊥平面ABC,AB是⊙O的直径,C是OABPC证明：略．第15课时平面与平面的位置关系习题课一、【学习导航】知识网络两平面的位置关系两平面的位置关系两平面的判定与性质综合应用面面垂直的判定与性质二面角的求法学习要求1.掌握面面平行与垂直的判定与性质定理及其应用；2.掌握求二面角的方法；3.能够进行线线、线面、面面之间的平行（或垂直）的相互转化。【课堂互动】【精典范例】例1：如果三个平面两两垂直,求证：它们的交线也两两垂直。已知：求证：证明：略例２．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点求证:平面A1C1CA⊥面B1D1DB.(1).求证：AD⊥D1F(2).求AE与D1F所成的角(3).求证：面AED⊥面A1FD1AABCDA1B1D1C1FEFE证明：（１）略（２）９０°（３）略．思维点拨解立体几何综合题，要灵活掌握线线，线面，面面平行与垂直关系的证明方法,以及它们之间的相互转化;求线面角,面面角关键是利用线面垂直、面面垂直的性质作出所求角。【学习延伸】1.如果直角三角形的斜边与平面α平行,两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2,则（Ｄ）A.sin2θ1+sin2θ2≥1B.sin2θ1+sin2θ2≤1C.sin2θ1+sin2θ2>1D.sin2θ1+sin2θ2<1２.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC中点.(1)证明:PA//平面EDB;(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值；(3).求二面角E-BD-C的正切值。AADCBEP(1)略证:连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，证OE//PA(2)(3)自主训练1.给出四个命题:①AB为平面α外线段,若A、B到平面α的距离相等,则AB//α;②若一个角的的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等;③若直线a//直线b,则a平行于过b的所有平面;④若直线a//平面α,直线b//平面α,则a//b,其中正确的个数是（A）A.0B.1C.2D.32.a,b是异面直线,P为空间一点,下列命题:①过P总可以作一条直线与a、b都垂直;②过P总可以作一条直线与a、b都垂直相交;③过P总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行;④过P总可以作一平面与a、b同时垂直;.其中正确的个数是(A）A.0B.1C.2D.33.如图，PA⊥平面ABCD,AB//CD,BC⊥AB,且AB=BC=PD=CD,(1)求PB与CD所成的角;(2)求E在PB上，当Ｅ在什么位置时，PD//平面ACE；(3).求二面角E-AC-B的正切值。解答：（１）４５°（２），即Ｅ为ＢＰ的三等份点．（３）第16课时空间几何体的表面积(1)一、【学习导航】知识网络空间多面体空间多面体正棱锥关系正棱台定义及侧面积公式定义及侧面积公式直棱柱定义及侧面积公式学习要求1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。2.会求一些简单多面体的表面积.【课堂互动】自学评价1.侧面展开图:互助参考中（以下同）．2.直棱柱：3.直棱柱侧面积公式：4.正棱柱：5.正棱锥：6.正棱锥侧面积公式：7.正棱台：8.正棱台侧面积公式：9.三个公式之间的关系：【精典范例】例1：一个正六棱柱的侧面都是正方形,底面边长为a,求它的表面积.【解】侧面积＝底面积＝所以表面积为．例2：设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶,高是0.85m,底面的边长是1.5m,制造这种塔顶需要多少平方米铁板?(保留两位有效数字)【解】互助参考中．思维点拨记清记准各种侧面积公式，然后结合几何体性质解题．自主训练1．下列图形中，不是正方体的展开图的是（Ｃ）ＡＢＣＤ２．如图，Ｅ，Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几何体？ＤＡＤＡＦＦＥＣＢＥＣＢ答案：三棱锥（其中有一条侧棱垂直于底面）．３．已知正四棱柱的底面边长为３，侧面的对角线长为，则这个正四棱柱的侧面积为72．４．一个正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为a,求它的表面积.略解:侧面积=,底面积=所以表面积为.５．一个正六棱台的两个底面的边长分别等于8cm和18cm,侧棱长等于13cm,求它的侧面积.略解:侧面积==936第17课时空间几何体的表面积(2)一、【学习导航】空间旋转体圆锥空间旋转体圆锥关系圆台定义及侧面积公式定义及侧面积公式圆柱定义及侧面积公式学习要求理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推导。2.会求一些简单旋转体的表面积.【课堂互动】自学评价1.圆柱侧面积公式：互助参考中（以下同）．２.圆锥侧面积公式：３.圆台侧面积公式：４.三个公式之间的关系：【精典范例】例1：有一根长为5cm,底面半径为1cm的圆柱形铁管,用一段铁丝在铁管上缠绕4圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端,则铁丝的最短长度为多少厘米?(精确到0.1cm)【解】互助参考．例2：(1)等边圆柱的母线长为4,则其等边圆柱的表面积为．(2)等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表面积为．(3)圆台上、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为．例3.已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在其中有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积;(2)x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出最大值.解：（１）设圆锥底面半径为r,则得所以侧面积＝＝（２）由（１）知，当时，侧面积最大，为．思维点拨1．空间问题平面化，会用侧面展开图解题．２．记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式．自主训练1．△ABC的三边长分别为AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积.答案：表面积＝．２．圆锥形烟囱帽的底半径是40cm,高是30cm,已知每平方米需要油漆150g,油漆50个这种烟囱帽(两面都漆),共需油漆多少千克?(精确到1kg)简答：一个圆锥侧面积＝50个双面的面积为共用油漆=答共需10kg.３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为r和R,求证：截得这个圆台的圆锥的侧面积为．法基本量证略.【学习延伸】侧面积综合题选讲四棱锥P—ABCD的底面是面积为9的矩形，PA⊥平面ABCD，侧面PBC、侧面PDC与底面所成的角分别是60°和30°，求四棱锥的全面积。思路：:先证后算．把四个侧面三角形的面积求出后再与底面积相加即可．答案：全面积＝．思维点拨在综合题中，遇到的不一定就是能直接套用公式的几何体．于是要利用几何体的性质与线面关系来解决问题．这就要求我们不但要发展定势思维，而且还要发展发散思维．本题中所用方法就是比较原始的方法，即把几何体各个面的面积求出后相加来求出几何体的表面积．自主训练正三棱台上、下底面边长分别为1，3，侧面积为，求它的侧面与下底面所成二面角的大小．答案；第18课时空间几何体的体积(1)棱柱及圆柱体积公式柱体一、【学习导航】棱柱及圆柱体积公式柱体知识网络关系棱锥及圆锥体积公式锥体关系棱锥及圆锥体积公式锥体空间几何体空间几何体棱台及圆台体积公式台体棱台及圆台体积公式台体球体积公式球体球体积公式球体学习要求1.理解柱体锥体台体的体积公式的推导．2.会求一些简单几何体的体积.【课堂互动】自学评价1.长方体的体积公式:互助参考中（以下同）．2.柱体体积公式3.锥体体积公式4.台体体积公式5.柱体,锥体,台体体积公式之间的关系:6.球体体积公式(祖暅原理:两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等)【精典范例】例1：有一堆相同规格的六角螺帽毛坏共重5.8kg,已知底面六边形长是12mm,高是10mm,内孔直径是10mm,那么约有毛坯多少个?(铁的比重是7.8g/cm3)【解】互助参考．（251个）例2：例2.（P56例2.）如图（互助参考中）是一个奖杯的三视图（单位：cm），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0.01cm3）【解】互助参考．(1826.76cm3)自主训练1．正三棱锥底面边长为２，侧面均为直角三角形，此三棱锥的体积为（C）ＡＢＣＤ２．已知正三棱台的两个底面的边长分别等于１和３,侧面积为,求它的体积.。解:设棱台斜高为,棱台高为．则＝得＝又得＝所以＝．３．三个球的半径的比是1:2:3,求证:其中最大的一个球的体积是另两个球的体积之和的3倍.证明：设三个球半径分别为．则最大球体积＝．中等球体积＝最小球体积＝．于是知:最大球体积＝3(中等球体积+最小球体积)第19课时空间几何体的体积(2)一、【学习导航】知识网络空间几何体空间几何体多面体综合运用旋转体体积公式体积公式球表面积、体积公式学习要求理解球的表面积公式的推导。2.会求一些球的组合体中的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价球的表面积公式：．【精典范例】例1：已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内,求这个四面体的表面积和体积.【解】设球半径为Ｒ，正四面体棱长为．则Ｒ＝３，且得所以表面积＝４体积＝．注：棱长为a的正四面体的外接球的半径Ｒ＝，内切球的半径r=.例2：已知上、下底半径分别为r、R的圆台有一内切球,(1)求这圆台的侧面积S1;(2)求这圆台的体积V.(3)求球的表面积与体积．【解】(1)S1=(2)由于圆台高所以体积＝（３）球的表面积＝球的体积＝．思维点拨一些重要结论要是能记住那将是非常好的事情．如正四面体外接球半径、内切球半径与正四面体棱长的关系式。自主训练1.P、A、B、C为球面上的四个点,若PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=3cm、PB=4cm、PC=6cm,求这个球的表面积.答案：球半径Ｒ＝所以球的表面积为2.正方体,等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱),球的体积相等,则哪一个表面积最小?思路：设三种几何体的体积为Ｖ．则正方体棱长a=所以正方体的表面积＝6=等边圆柱的底面半径.等边圆柱的表面积＝球半径R=球的表面积＝所以:正方体的表面积等边圆柱的表面积球的表面积.第20课时立体几何体复习一、【学习导航】知识网络空间几何体空间几何体多面体平面与平面旋转体(包括球)基本元素(点,线,面)侧面积与体积直线与直线直线与平面学习要求1.温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。2.会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图)的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论)：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4.直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系)：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图形叫视图．光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图，自上向下的称为俯视图．自左向右的称为左视图．【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．所以ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ所以ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC和BD的交点，G为CC1中点，求证：A1O⊥面GBD．略证：连ＯＧ．易证：．又易证为直角三角形．所以所以面GBD．例4.四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角的余弦值为,求四面体ABCD的体积．思路：用作证求角法或建空间直角坐标系的方法可求出ＢＤ＝４，所以四面体ABCD的体积＝．例5.设P、A、B、C是球O表面上的四点,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,则球的体积为,球的表面积为.例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证：（１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ（２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角．略证：（１）易证略（２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE⊥ＤA于E，连ＨＥ，可证得∠ＣＥＨ为所求二面角的平面角．在直角三角形ＣＥＨ中可求得sin∠ＣＥＨ=,所以∠ＣＥＨ＝所以所求二面角的大小为.自主训练1.已知a//b,且c与a,b都相交，求证：a,b,c共面．易证略2.空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD成60°角,E、F分别为AC、BD的中点,则EF与AB所成角的度数为.3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则(A)ABCD4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14,则棱台的高为(B)A3B2C5D45.一个正四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为(A)A3πB4πC5πD6π第二章平面解析几何初步第1课直线的斜率（1）【学习导航】知识网络直线的斜率直线的斜率计算公式概念学习要求1．理解直线的斜率的概念；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．【课堂互动】自学评价1．直线的斜率：已知两点，如果,那么，直线的斜率为；此时，斜率也可看成是．【精典范例】例1：如图，直线都经过点，又分别经过点，，试计算直线的斜率．【解】设的斜率分别为，则，由图可知，（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（），此时直线倾斜角为锐角；（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜（），此时直线倾斜角为钝角；（3）当直线的斜率为0时，直线与轴平行或重合（），此时直线倾斜角为．例2：已知直线经过点、，求直线的斜率．【解】当时，直线的斜率不存在，此时倾斜角为；当时，直线的斜率．点评:运用斜率公式求直线斜率时，一定要注意公式中的条件．例3：经过点画直线，使直线的斜率分别为：（1）；（2）．分析：根据两点确定一条直线，只需再确定直线上另一个点的位置．【解】（1）根据斜率，斜率为表示直线上的任一点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后仍在此直线上，将点沿轴方向向右平移4个单位，再沿轴方向向上平移3个单位后得点，即可确定直线．（2）∵，∴将点沿轴方向向右平移5个单位，再沿轴方向向下平移4个单位后得点，即可确定直线．【学习延伸】一、直线斜率与三点共线例4：已知三点在一条直线上，求实数的值．【解】由题意，，∴，∴或．点评：共线三点中任意两点确定的直线斜率相等．思维点拔：任何直线都有倾斜角和斜率吗？根据直线倾斜角和斜率的概念，任何直线都有倾斜角．特别地，当直线与轴平行或重合时，倾斜角为；当直线与轴垂直时，倾斜角为，此时直线斜率不存在．因此，除倾斜角为的直线外，其他直线都有斜率．自主训练1.的三个顶点，，写出三边所在直线的斜率：，，．2.求证：三点共线．

提示：∵，∴三点共线．3.已知过点，的直线的斜率为，则实数的值为.第2课直线的斜率（2）【学习导航】知识网络倾斜角和斜率的关系倾斜角和斜率的关系直线的倾斜角范围概念学习要求1．掌握直线的倾斜角的概念，了解直线倾斜角的范围；2．理解直线的斜率与倾斜角之间的关系，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率；3．通过操作体会直线的倾斜角变化时，直线斜率的变化规律．【课堂互动】自学评价1．直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，把绕着交点按逆（顺、逆）时针旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与轴平行或重合的直线的倾斜角为．2.倾斜角的范围：．3.直线的倾斜角与斜率的关系：当直线的倾斜角不等于时，直线的斜率与倾斜角之间满足关系.【精典范例】例1：直线如图所示，则的斜率的大小关系为，倾斜角的大小关系为．答案：，．点评:当时，倾斜角越大，斜率越大，反之，斜率越大，倾斜角也越大；当时，上述结论仍成立．例2：（1）经过两点的直线的斜率为，倾斜角为；（2）经过两点的直线的倾斜角为，则．答案：（1），；（2）．例3：已知直线的倾斜角，直线和的交点，直线绕点按顺时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角为，求直线的斜率．分析：由几何图形可得直线倾斜角为，∴斜率为．点评:本题的关键在于弄清倾斜角的定义．例4：已知，（1）当为何值时，直线的倾斜角为锐角？（2）当为何值时，直线的倾斜角为钝角？（3）当为何值时，直线的倾斜角为直角？分析：当斜率大于0时，倾斜角为锐角；当斜率小于0时，倾斜角为钝角；当直线垂直于轴时直线倾斜角为直角．答案：（1）或；（2）；（3）．自主训练一1.直线的倾斜角为．2.已知直线的倾斜角为，直线与关于轴对称，则直线的倾斜角为．3.已知直线的倾斜角的变化范围为，则该直线斜率的变化范围是．【学习延伸】一、直线与已知线段相交，求直线斜率的取值范围例5:若过原点的直线与连结的线段相交，求直线的倾斜角和斜率的取值范围．分析：结合图形可知，直线介于直线之间，即可得倾斜角范围；再根据倾斜角变化时，斜率变化规律可得斜率范围．答案：倾斜角范围，斜率范围．自主训练二1．已知，则直线的倾斜角和斜率分别为（）2．设点，直线过点，且与线段相交，求直线的斜率的取值范围．答案：由直线过点，且与线段相交可得：直线的斜率的变化可以看作是以为旋转中心，直线逆时针旋转到直线的过程中斜率的变化，又∵，，结合图形（图略）可得：直线的斜率的取值范围是或．第3课直线的方程（1）【学习导航】直线的方程点斜式方程直线的方程点斜式方程斜截式方程截距式方程两点式方程一般式方程学习要求1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例；2.能通过待定系数（直线上的一个点的坐标及斜率，或者直线的斜率及在轴上的截距）求直线方程；3.掌握斜率不存在时的直线方程，即．

【课堂互动】自学评价1．求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点的坐标和之间的关系．2.直线经过点，当直线斜率不存在时，直线方程为；当斜率为时，直线方程为，该方程叫做直线的点斜式方程.3.方程叫做直线的斜截式方程，其中叫做直线在轴上的截距．【精典范例】例1：已知一条直线经过点，斜率为，求这条直线的方程．【解】∵直线经过点，且斜率为，代入点斜式，得：，即．点评:已知直线上一点的坐标和直线的斜率，可直接利用斜截式写出直线方程．例2：直线斜率为，与轴的交点是，求直线的方程．【解】代入直线的点斜式，得：，即．点评:（1）直线与轴交点，与轴交点，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距（截距可以大于，也可以等于或小于）；（2）方程由直线斜率和它在轴上的截距确定，叫做直线方程的斜截式．例3：（1）求直线的倾斜角；（2）求直线绕点按顺时针方向旋转所得的直线方程．【解】（1）设直线的倾斜角为，则，又∵，∴；（2）∴所求的直线的倾斜角为，且经过点，所以，所求的直线方程为．例4：在同一坐标作出下列两组直线，分别说出这两组直线有什么共同特征？（1），，，，；（2），，，，【解】图略；（1）这些直线在轴上的截距都为，它们的图象经过同一点；（2）这些直线的斜率都为，它们的图象平行．自主训练1.写出下列直线的点斜式方程：（1）经过点，斜率为；（2）经过点，倾斜角为；（3）经过点，倾斜角是；（4）经过点，倾斜角是．答案：（1）；（2）；（3）；（4）．2．写出下列直线的斜截式方程：（1）斜率是，在轴上的截距是；（2）斜率是，与轴交点坐标为．答案：（1）；（2）．3.方程表示（C）通过点的所有直线通过点的所有直线通过点且不垂直于轴的直线通过点且除去轴的直线第4课直线的方程（2）【学习导航】学习要求（1）掌握直线方程的两点式、截距式，了解截距式是两点式的特殊情况；（2）能够根据条件熟练地求出直线的方程．【课堂互动】自学评价1．经过两点，的直线的两点式方程为．2.直线的截距式方程中，称为直线在轴上的截距，称为直线在轴上的截距．【精典范例】例1：已知直线与轴的交点，与轴的交点，其中，求直线的方程．【解】∵经过两点，，代入两点式得：，即．点评:（1）以上方程是由直线在轴与轴上的截距确定，叫做直线方程的截距式；（2）截距式方程适用范围是．例2：三角形的顶点是、、，求这个三