2020-2021学年安徽省滁州市南谯区九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2020-2021学年安徽省滁州市南谯区九年级第一学期期末数学试

卷

一、选择题（共10小题，每小题4分）.

1.下列图案中，是中心对称图形的是（）

2.对抛物线>=-炉+4%-3而言，下列结论正确的是（）

A.开口向上

B.与y轴的交点坐标是（0,3）

C.与两坐标轴有两个交点

D.顶点坐标是（2,1）

3.点Pi（-1,yi）,&（3,>2），P3（5,>3）均在二次函数y=-炉+2彳+。的图象上，则

yi,>3的大小关系是（）

A.y\=yi>y?,B.y\>yi>yiC.yi>yi>y\D.

4.如图，在△ABC中，48=3,BC=5.2,ZB=60°,将△ABC绕点A逆时针旋转得到^

ADE,若点B的对应点。恰好落在BC边上时，则C。的长为（）

5.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0,0）,A（-6,4）,8（-3,0）.以

点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为段的位似图形△OC。，则点C坐

标为（）

A.（2,-1）B.（3,-2）C.（—,--）D.（—,-1）

222

6.如图，已知点A为反比例函数＞=工（x＜0）的图象上一点，过点A作轴，垂足

X

为B,若△QA5的面积为3,则%的值为（）

A.3B.-3C.6D.-6

7.若ad=bc(Z?Wd)且a,b,c,d均为正数，则下列结论不成立的是（）

A.包¥B.建

bdb-db

ka+1_c+l「a+b_c+d

c.-----=-----D.---------二----------

b+1d+1bd

8.如图，A3是。0的直径,点。、。在。。上，＞OC//DB,连接A。、CD,若NC=28°,

则NA的大小为（）

A.30°B.28°C.24°D.34°

9.如图，抛物线y=ax2^-bx+c经过（T,0）和（0,-1）两点，则抛物线y=cx2+bx+a

的图象大致为（）

y.

10.正方形ABC。中，AB=4,P为对角线8。上一动点，尸为射线A。上一点，若AP=PF,

则△APB的面积最大值为（）

A.8B.6C.4D.2y

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.抛物线y=-Cr+2）2的顶点坐标是.

12.如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（ACC3C）,已知AB

=160cm,BC的长约为cm.（结果精确到0.1cm）

B

13.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值

为.

14.如图，矩形ABCL（中，AB=6,AO=8,点P是AB边上动点，把△ADP沿。P折叠得

△A'DP,射线交射线AB于点Q,

（1）当。点和8点重合时，PQ长为；

（2）当△A7JC为等腰三角形时，则。。长为.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15.计算：2sin245°-6cos30°+3tan45°+4sin60°.

16.如图，二次函数y=-，x2+bx+c的图象经过A（2,0）、B（0,-4）两点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接BA、BC,求△ABC的面积.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，一次函数的图象与反比例函数》2=旦的图象交于A、2两点.

x

（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使＞1＜丁2的自变量无取值范围.

18.如图，在网格图中（小正方形的边长为1）,AABC的三个顶点都在格点上.

（1）把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△4BC1,请画出△AiBiG；

（2）请以坐标系的原点。点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2&C2,

使得3c与△4252c2的位似比为1：2；

（3）请直接写出△A2&C2三个顶点的坐标.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫

星发射成功.北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行.某中学从A地出发，组

织学生利用导航到C地区进行研学活动，已知C地位于A地的正北方向，且距离A地

24千米.由于A、C两地间是一块湿地，所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到

B地，再沿北偏西37。方向走一段距离才能到达C地，求A、8两地的距离（精确到1

千米）.

（参考数据：sin37°心0.6,cos37°心0.8,tan37°七0.7,&-1.4,近21.7）

20.已知：如图，在中，ZBAC=9Q°,ADLBC于D,E为直角边AC的中点,

过£>,£作直线交A3的延长线于凡

(1)若AB=6,AC=8,求2D长；

(2)求证：AB-AF=AC-DF.

六、(本题满分12分)

21.如图，A3是。。的直径，点C,M为。。上两点，且C点为近的中点，过C点的切线

交射线BM、B4于点E、F.

(1)求证：BE_LFE；

(2)若/尸=30°,MB=2,求而的长度.

22.如图，已知抛物线以=。(尤-1)(x-5)和直线"。(其中。>0)相交于4

2两点，抛物线V与x轴交于C,。两点，与y轴交于点G,直线”与坐标轴交于E,F

两点.

(1)若G的坐标为(0,5),求抛物线》解析式和直线”解析式；

(2)求证：直线刃=-办-。始终经过该抛物线yi的顶点；

(3)求弊2的值.

AF

23.如图1,ZVIBC中，ZACB=90°,AC=BC,£为△ABC的中线3。上的一点，将线

段AE以E点为中心逆时针旋转90°得到线段跖，恰所经过点C.

（1）若NCAP=a,则/C8E=（用a的代数式表示）.

（2）如图2,过点C作C8〃AE,交AF于点H,连接28交所于点G,

①求证：AF=BH；

②若CP=2,求EG的长.

图1图2

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分）.

1.下列图案中，是中心对称图形的是（）

解：A.是中心对称图形，故本选项符合题意；

B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.不是中心对称图形，故本选项不合题意.

故选：A.

2.对抛物线y=-N+4x-3而言，下列结论正确的是（）

A.开口向上

B.与y轴的交点坐标是（0,3）

C.与两坐标轴有两个交点

D.顶点坐标是（2,1）

解：A、二次项系数q=-l<0,抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；

B、当x=0时，y=-3,抛物线与y轴交点坐标为（0,-3）,结论错误，不符合题意;

C、A=42-4X（-1）X（-3）=4>0,抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交

点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；

D、由y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1知，抛物线顶点坐标为（2,1）,结论正确，符

合题意；

故选：D.

3.点尸1（-1,yi）,B（3,y2），尸3（5,券）均在二次函数y=-x?+2x+c的图象上，则

yi>”，>3的大小关系是（）

A.yi=y2>ysB.yi>y2>ysC.ys>y2>y\D.y3〉yi=>2

解：二次函数＞=-/+2]+c的图象的对称轴为直线％=一号=1,

2X(-1)

而「1(-1,%)和尸2(3,”)到直线X=1的距离都为2,P3(5,券)到直线X=1的

距离为4,

所以％=丁2＞丁3.

故选：A.

4.如图，在△ABC中，A3=3,5c=5.2,NB=60。，将△ABC绕点A逆时针旋转得到4

ADE,若点3的对应点。恰好落在5C边上时，则CZ)的长为()

解：・・•将AABC绕点A逆时针旋转得到△A0E,

J.AB—AD—3,

VZB=60°,

•••△A80是等边三角形，

：.BD=AB=3,

・・・。。=3。-5。=5.2-3=2.2,

故选：C.

5.如图，在直角坐标系中，7X043的顶点为O(0,0),A(-6,4),B(-3,0).以

点。为位似中心，在第四象限内作与△042的位似比为，■的位似图形△08,则点C坐

333

A.(2,-1)B.(3,-2)C.(—,----)D.-1)

222

解：,•,△045的顶点为O(0,0),A(-6,4),3(-3,0),以点。为位似中心，

在第四象限内作与△OAB的位似比为4的位似图形△OCD,

•••点C坐标为：[-6X(-/),4X(-£)],即(3,-2).

故选：B.

6.如图，已知点A为反比例函数y=K(xVO)的图象上一点，过点A作A5_Ly轴，垂足

x

为B,若△QA5的面积为3,则上的值为()

A.3B.-3C.6D.-6

解：

轴，

SAOAB-

・,亭1=3,

WO,

:・k=-6.

故选：D.

7.若ad=bc(b#d)且〃，b,c,d均为正数，则下列结论不成立的是()

A.包厂B.一建

bdb-db

厂a+1c+1na+bc+d

C.-------=--------L）.--------=--------

b+1d+1bd

解：由od=乩？（bWd）且a,b,c,d均为正数，

可得：包J,故A正确;

bd

—亘，故B正确；

b-db

...史生上世_,故。正确；

bd

不能得出A}=c+},故c错误;

b+1d+1

故选：C.

8.如图，AB是。。的直径，点C、。在OO上，MOC//DB,连接AD、CD,若/C=28°,

则NA的大小为（）

C.24°D.34°

解：9：OC//BD,

：.ZC=ZCDB=2S°,

AZCOB=2ZCDB=56°,

：.ZCOB=ZB=56°,

U：AB是直径，

ZADB=90°,

AZDAB=90°-56°=34°,

故选：D.

9.如图，抛物线y=ax2^-bx+c经过（-1,0）和（0,-1）两点，则抛物线y=cy?+bx+a

的图象大致为（）

x

解：:抛物线y=aN+bx+c经过（-1,0）和（0,-1）两点，

・•・开口向上，对称轴在y轴的右侧，

'.a-Z?+c=0,tz>0,b<0,c—-1,

・•・抛物线产。/+陵+〃的开口向下，对称轴直线x=交y轴正半轴,

当x=-1时，y=c-b+a=0,

，抛物线y=cx2+bx+a经过点（-1,0）,

故选：B.

10.正方形ABCD中，AB=4,尸为对角线8。上一动点，歹为射线上一点，若AP=P尸,

则的面积最大值为（）

A.8B.6C.4D.2y

解：作与M,

,：BD是正方形ABC。的对角线，

AZADB=45°,

/.ABDM是等腰直角三角形，

:.PM=DM,

设尸M=OM=x,则AM=4-x,

•JAP^PF,

：.AM=FM=4-x,

：.AF=2(4-x),

,：SAAPF=^AF-PM,

S^APF=—X2(4-x)*x=-x2+4.r=-(x-2)2+4,

2

/.当x=2时，SAAPF有最大值4,

故选：C.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.抛物线y=-（x+2）2的顶点坐标是（-2,0）.

解：：抛物线y=-（x+2）2,

...该抛物线的顶点坐标为（-2,0）,

故答案为：（-2,0）.

12.如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（ACVBC）,已知

=160cm,BC的长约为98.9cm.（结果精确到0」。"）

B

解：••,点C为线段AB的黄金分割点（AC<BC）,AB=160cm,

11

：.BC=V5Vsx160心98.9,

22Ag=

故答案为：98.9.

\'EC=^I2+22=V5,22+42=2VS>

EC1

tanB=

BE2

故答案为：y.

14.如图，矩形ABC。中，AB=6,AD=8,点P是A3边上动点，把△AD尸沿。尸折叠得

AA'DP,射线D4'交射线AB于点。

(1)当。点和2点重合时，尸。长为—孝_；

(2)当△ADC为等腰三角形时，则。。长为—空区或色逗

22=

QD=DB=7CD+BCV62+82=1。，

由翻折变换可得，AD=A'0=8,AP=A'P,

：.BA'=10-8=2,

设PQ=x,则AP=A'P=6-x,

在RtaPBA'中，由勾股定理得，

A，P2+A'B2=PB2,

即(6-x)2+22=x2,

解得了=¥，

即PQ#，

故答案为：

o

(2)①当AD=AC=8时，如图2,

过点A'作A'ALLCD于M,则。M=MC=/CZ)=3,

在RtZW0M中，

A，=

MVAZD2-DM2=V82-32=V55'

VZDAQ=ZA'MD=90°,ZAQD=ZMDA',

：./\AQD^^MDA',

.DQAD

DC

即联名，

8V55

解得£)2=64>/^；

55

②当AC=DC=6时，如图3,

过点C作CALL。。于N,则ON=A'N=^A，D=4'

在RtZiCDN中，由勾股定理得，

C;V=VCD2-DN2=V62-42=2V5>

,:/DAQ=/CND=90°,ZAQD=ZNDC,

:.AAODsANDC,

•CN=CD

"AD-DQ'

即空屋且,

8DQ

解得Z)Q=2^,

5

③AO=A0=8,CD=6,所以40WCD,

综上所述，。。的长为理5或竺”.

AD

一

B（Q）°

■■图］

三、（本大题共2小题，每小题8分,满分16分）

15.计算：2sin245°-6cos30°+3tan45°+4sin60°.

解：原式=2X(返)2-6X返+3X1+4X返

222

=2X-1-373+3+273

=1-3后3+2在

=4-73.

16.如图，二次函数＞=-2+b尤+c的图象经过A(2,0)、B(0,-4)两点.

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C,连接84、BC,求△ABC的面积.

’12

八力汰124日X2+2b+c=0

m7

解：（1）把A（2,0）>B（0,•4)代入y=-xx+云+。，得：《2,

c=-4

解得偿,

2

.•.这个二次函数的解析式为>=-—X+3X-4.

2x

3

（2）•.•该抛物线对称轴为直线x=1、=3,

・••点C的坐标为（3,0）,

：.AC=OC-OA=3-2=1f

S/^ABC~~~~~ACX---X1X4=2.

22

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.如图，一次函数yi=fcv+b的图象与反比例函数》2=蚂的图象交于A、8两点.

x

（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出使州〈”的自变量无取值范围.

解：（1）由图象知反比例函数以=旦的图象经过点A（2,1）,

x

一

.•・I1—m,

2

・••根=2,

・••反比例函数解析式为；刈=2；

X

•反比例函数”=2的图象经过点5（-1,〃），

x

；."=-2,

-.B(-1,-2),

由图象知一次函数力=爪+6的图象经过点A（2,1）,B（-1,-2）,

[2k+b=l(k=l

，解得

I-k+b=-2lb=-l

••一次函数解析式为％=x-1.

（2）由图象可得使以<”的自变量X取值范围是X<-1或0<x<2.

18.如图，在网格图中（小正方形的边长为1）,AABC的三个顶点都在格点上.

（1）把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△4BC1,请画出△AiBiG；

（2）请以坐标系的原点。点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2,

使得3c与△4252c2的位似比为1：2；

(3)请直接写出△A2&C2三个顶点的坐标.

解：(1)如图，△4SC1为所作;

(2)如图，282c2为所作；

C2(2,6).

19.2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫

星发射成功.北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行.某中学从A地出发，组

织学生利用导航到C地区进行研学活动，已知C地位于A地的正北方向，且距离A地

24千米.由于A、C两地间是一块湿地，所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到

2地，再沿北偏西37。方向走一段距离才能到达C地，求A、2两地的距离（精确到1

千米）.

-0.8,tan37°心0.7,«心1.7）

解：如图，过点B作BD_LAC于点。，设AO=x,

则BD=V3x，

.,.tanZBCD=tan37°=

CD24-x

解得x=7,

.\AB=2x=14（千米），

，AOLBC于。，E为直角边AC的中点,

过D,E作直线交AB的延长线于凡

(1)若AB=6,AC=8,求2D长;

(2)求证：AB»AF^AC'DF.

解：(1)VZBAC=90°,AB=6,AC=8,

.•.BC=V62+82=IO,

VZBAC=9Q°,ADA,BC,

：.ZCAB=ZADB,

NB=NB,

：.ACBA^AABD,

.BD_AB

"AB"DC"

.BD6

,,"TF，

：.BD=3.6；

(2)证明：由(1)知：BD：AD=AB,AC①,

又YE为AC的中点，ADIBC,

：.ED=AE=EC,

：.ZC=ZEDC=ZFAD=ZBDF,

又尸为公共角，

J.ADBF^AADF,

：.BD：AD=DF：AF®,

由①②得，AB,AC=DF：AF,

：.AB-AF=AC-DF.

六、（本题满分12分）

21.如图，AB是。。的直径，点C,M为。。上两点，且C点为“的中点，过C点的切线

交射线3M、54于点及F,

(1)求证：BELFE；

(2)若N尸=30°,MB=2,求奇的长度.

•・•尸。是。。的切线,

：.ZOCF=90°,

•・•点"是赢的中点,

・・・ZEBC=ZOBC,

•：OB=OC

：.ZOBC=ZOCB,

：.ZEBC=ZOCBf

：.OC//BE,

：.BE.LFE；

(2)解：连接。M,

E

VZF=30°,ZE=90°,

：.ZFBE^60°,

又・..OM=O8,

为等边三角形，

：.BM=OB=2,

二前的长为吟亲24兀.

loUO

七、(本题满分12分)

22.如图，已知抛物线yi=a(xT)(x-5)和直线”=-办-a(其中a>0)相交于A,