86曲面与空间曲线-qumianjikognjianquxian市公开课特等奖市赛课微课一等奖

§6曲面与空间曲线例1：求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离点运动规迹。解：设M(x,y,z)为动点坐标，动点应满足条件是|AM|=|BM|由距离公式得一.曲面及其方程：1.曲面方程普通概念：而满足此方程点都在曲面上，则称此方程为该曲面方程，而曲面称为此方程‘图形’。定义：若曲面上点坐标(x,y,z)都满足方程F(x,y,z)=0，山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第1页整理得此即所求点规迹方程，为一平面方程。2.坐标面及与坐标面平行平面方程：①坐标平面xOy方程：z=0②过点（a,b,c)且与xOy面平行平面方程：z=c③坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第2页3.球面方程：①球面标准方程：以M0(x0,y0,z0)为球心，R为半径球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示曲面解：整理得：(x+1)2+(y-1)2+z2=22故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2球。球面方程特点：平方项系数相同；没有交叉项。②球面普通方程：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第3页普通我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成轨迹称为柱面。其中直线l称为柱面母线，定曲线c称为柱面准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴柱面方程。此时有以下结论：分析：母线平行于坐标轴柱面特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：不论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。若柱面母线平行于z轴，准线c是xOy面上一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴柱面。4.母线平行于坐标轴柱面方程：山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第4页圆柱面；椭圆柱面；双曲柱面；抛物柱面。以上所举例均为母线平行于z轴情况，其它情况类似。几个常见柱面：x+y=a平面；山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第5页4.旋转曲面：普通情况下我们将一平面曲线c绕同一平面内定直线l旋转一周所成曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置曲面。此时有以下结论：设yOz平面上有一已知曲线c其方程为f(y,z)=0，将c绕z轴旋转一周，所得到以z轴为轴放置曲面方程为：山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第6页同理，曲线c绕y轴旋转所得曲面方程为：同理,以xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面绕y轴为以xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得曲面绕z轴得曲面例3求顶点在原点，旋转轴为z轴，半顶角为a圆锥面方程。解：将yOz面上直线z=yctg

绕z轴旋转一周即得圆锥曲面整理后得：其中a=ctg

山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第7页二.空间曲线及其方程：1.空间曲线普通方程：空间曲线普通可看作两个曲面交线，若两个曲面方程分别为F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c方程为称此方程组为曲线c普通方程。例4：方程组表示怎样曲线？解：平面z=2上以(0,0,2)为圆心单位圆。山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第8页表示母线平行于Z轴，准线在xoy面上半径为1上半球面例方程表示怎样曲线解：

表示中心在原点，半径为1圆柱面它们交线是xoy面上一个圆，其圆心在，半径为山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第9页2.空间曲线参数方程：方程组称为空间中曲线参数方程。设空间曲线方程假如选定一个适当函数x=x（x）代入上述方程组并有它解出y=（x），Z=Z（x）得例假如空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以等角速度绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴正方向移动，则点M运动轨迹叫螺旋线，求其参数方程山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第10页螺旋线有一个主要性质，当从变到时，Z由变到这说明当转过角时，点沿螺旋线升了高度，即上升高度与转过角度成正比。山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第11页三.空间曲线在坐标面上投影：在该方程组中消去z得H(x,y)=0，此为一个经过曲线L母线平行于z轴柱面，称为曲线c关于xOy面投影柱面。此投影柱面与xOy平面交线即为c在xOy平面上投影曲线，简称投影，其方程为同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程为和山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第12页解消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程为3x2+2y2=1例求曲线L：在三个坐标面上投影曲线投影曲线方程投影曲线方程消去x得Z=1-y2投影曲线方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程为3x2-2Z-1=0投影柱面方程为Z=1-y2山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第13页交线是一条空间曲线例两个柱面和山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第14页

例5：求曲线在xOy面上投影方程。

解：上式减下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程为从而曲线在xOy面上投影方程为山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第15页四二次曲面经过截痕法，了解二次曲面全貌1.椭球面与三个坐标面交线均为椭圆若a=b,则旋转椭球面山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第16页2单叶双曲面Z=h截,截痕为一椭圆。山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第17页x=h，或y=h截,截痕为一双曲线。2）当时，截痕为一对直线1）当时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平行与z轴，当由零增大到b时，曲线两半轴缩小至零。3）当时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚轴平行与x轴，当由b增大时，曲线两半轴也增大。山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第18页一样用平行于yoz平面相截时截痕也是双曲线，可用一样方法讨论。这是单叶旋转双曲面。当a=b时，方程变为3双叶双曲面双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面Z=h截，截痕为山东水利职业学院数理化教研室应用数学》精品课程——电子教案第19页