北京少林寺文武校高三数学理测试题含解析

北京少林寺文武校高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知离心率为的曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为A．

B．

C．

D．参考答案：C2.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（

）A．

B.

C.

D.

参考答案：C3.已知双曲线的两条渐近线与以椭圆的左焦点为圆心、半径为的圆相切，则双曲线的离心率为

A． B．

C． D．参考答案：A4.设，则函数的定义域为

(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B5.函数满足：对一切时，

则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D6.已知函数，则下列说法不正确的为（

）A．函数的最小正周期为

B．在单调递减

C.的图象关于直线对称

D．将的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象参考答案：D7.若函数(a是与x无关的实数)在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为(

)A.0<a<2

B.<a<2

C.－1<a<2

D.＋1<a<2参考答案：C8.设，，

则(

)A. B. C. D.参考答案：D9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（

）

A.15

B.16

C.47

D.48参考答案：D10.已知集合，则

A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数为偶函数，为奇函数，其中、为常数，则 ．参考答案：-112.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于

。参考答案：略13.已知直线与曲线相切于点，则b的值为

．参考答案：将点坐标代入曲线方程得，，曲线方程为，对应函数的导数为，依题意得，解得，．14.已知幂函数Z为偶函数，且在区间上是单调增函数，则

的值为

.参考答案：15.等差数列{an}、{bn}的前n项和Sn、Tn满足，则=

.参考答案：答案：=====.16.给出下列个命题：①若函数R）为偶函数，则；②已知,函数在上单调递减，则的取值范围是；③函数（其中）的图象如图所示，则的解析式为；④设的内角所对的边为若，则；⑤设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是.其中正确的命题为____________.参考答案：略17.过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为

参考答案：【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题．【答案解析】解：设，则，

∵过点作斜率为的直线与椭圆：相交于A，B两点，是线段的中点，∴两式相减可得，

∴∴，∴．【思路点拨】利用点差法，结合是线段的中点，斜率为，即可求出椭圆的离心率．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）如图，已知四边形是正方形，平面，，，,,分别为,,的中点.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

参考答案：（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.

……………4分（Ⅱ）因为平面，所以.又因为，，所以平面.由已知,分别为线段,的中点，所以.则平面.而平面，所以平面平面.

…………………9分（Ⅲ）在线段上存在一点，使平面.证明如下：

在直角三角形中，因为,,所以.在直角梯形中，因为，,所以，所以.又因为为的中点，所以.要使平面，只需使.因为平面，所以，又因为，,所以平面，而平面，所以.若，则∽,可得.由已知可求得，，，所以.……14分19.（14分）在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(1)求角B的值；

（2）若，求的值.参考答案：20.(本题满分14分）如图倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点．（1）求抛物线的焦点的坐标及准线的方程；（2）若为锐角，作线段的垂直平分线交轴于点，证明为定值，并求此定值．参考答案：（1）设抛物线的标准方程为，则，从而．因此焦点的坐标为，又准线方程的一般式为．从而所求准线的方程为．（2）解法一：如图作，，垂足分别为，则由抛物线的定义知，．记的横坐标分别为，，则，解得．类似地有，解得．记直线与的交点为，则．所以．故．解法二：设，，直线的斜率为，则直线方程为．将此式代入得，故．记直线与的交点为，则，，故直线的方程为，令，得点的横坐标，故．从而为定值．21.（本小题满分13分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1?Sn，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=bn?log3an，求数列{cn}的前n项和Tn．参考答案：（Ⅰ）an=3n–1，bn=2n–1（Ⅱ）Tn=(n–2)2n+2

【知识点】数列的求和．B4解析：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为an=3n–1．

…………2分∵2bn–b1=S1?Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1，∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1．

…………4分∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1，∴{bn}是公比为2，首项a1=1的等比数列，∴通项公式为bn=2n–1．

…………7分（Ⅱ）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，

…………8分Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1

……①2Tn=

0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n……②①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n=–2–(n–2)2n∴Tn=(n–2)2n+2．

…………13分【思路点拨】（Ⅰ）判断an}是等比数列，求出通项公式，判断{bn}是等比数列，求出通项公式为bn．（Ⅱ）化简cn的表达式，利用错位相减法求解Tn即可．22.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.

参考答案：解：（1）当时，，此时，

………………2分，又，所以切线方程为：，整理得：；

…………分（2），

……6分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增； ………