福建省莆田市新度中学高三数学文期末试题含解析

福建省莆田市新度中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A． B． C．π D．2π参考答案：B【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化简可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故选：B．2.下列说法正确的是（）A．“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件B．若数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为2C．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx≥”发生的概率为D．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）=0.16参考答案：D考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：A．“p∧q为真”可知p，q为真命题，可得“p∨q为真”，反之不成立，即可判断出正误；B．利用方差的性质即可判断出正误；C．由sinx+cosx=≥化为，解得x∈，利用几何概率计算公式即可得出，进而判断出正误；D．利用正态分布的对称性可得P（X≤0）=P（X≥4）=1﹣P（X≤4），即可判断出正误．解答：解：A．“p∧q为真”可知p，q为真命题，可得“p∨q为真”，反之不成立，因此“p∨q为真”是“p∧q为真”必要不充分条件，因此不正确；B．数据x1，x2，x3，…，xn的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差为4，因此不正确；C．在区间[0，π]上随机取一个数x，由sinx+cosx=≥化为，解得x∈，∴事件“sinx+cosx≥”发生的概率==，因此不正确；D．随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，则P（X≤0）=P（X≥4）=1﹣P（X≤4）=0.16，因此正确．故选：D．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、方差的性质、几何概率计算公式、正态分布的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.函数,若，则A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（

）A．

B．160

C．

D．参考答案：A

考点：1、几何体的三视图；2、几何体的体积.【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体椎体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.5.在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列图象中可能正确的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】本题可采用排除法进行判定，再根据指数函数和三角函数的图象的特征进行判定.【详解】，A项，∵，∴与为增函数矛盾.B项，∵，∴，∴为增函数，错误.C项，，∴，错误.D项，，∴，为减函数，正确答案为D.故选D.【点睛】本题主要考查指数函数和三角函数的函数图像，熟练掌握指数函数、三角函数图像和性质是解决此题的关键.6.设双曲线的右焦点为F,过点F作与x轴垂直的直线l交两条渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若,则该双曲线的离心率为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C由题意得，因为，所以，选C

7.在中，角A、B、C所对边长分别为a，b，c，若，则cosC的最小值为A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知函数为奇函数，若函数上单调递增，则a的取值范围是(

)A．（1，3）

B．

C．

D．参考答案：B9.在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．[，1)

B．[，2)

C．[1，)

D．[，)

参考答案：A解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，＝\s\do4(12＝\s\do4(22＝，从而有≤＜1．10.执行上图所示的程序框图，则输出的结果是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 。参考答案：答案：

12.设，则的最小值为

。参考答案：413.对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数，若f（x）=lnx+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是．参考答案：（2，2+）【考点】对数函数的值域与最值．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由于f（x）在定义域{x|x＞0}内为单调增函数，利用导数求得g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，满足条件，从而求得k的取值范围．【解答】解：∵f（x）=lnx+2x，定义域为{x|x＞0}，f（x）在定义域为单调增函数，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b为方程lnx+2x=kx的两个不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）递减，当0＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）递增，可得极大值点x=e，故g（x）的极大值为：g（e）=2+，当x趋于0时，g（x）趋于﹣∞，当x趋于∞时，g（x）趋于2，因此当2＜k＜2+时，直线y=k与曲线y=g（x）的图象有两个交点，方程k=2+有两个解．故所求的k的取值范围为（2，2+），故答案为（2，2+）．【点评】本题主要考查利用导数求函数极值的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.在中，若，，，则 ．参考答案：由，得，根据正弦定理得，即，解得.15.已知抛物线C的参数方程为（t为参数），设抛物线C的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|=．参考答案：8考点：抛物线的参数方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把抛物线的参数方程化为普通方程，求出焦点F的坐标和准线方程，根据AF的斜率为，求得点A的坐标，进而求得点P的坐标，利用两点间的距离公式，求得|PF|的值．解答：解：把抛物线C的参数方程（t为参数），消去参数化为普通方程为y2=8x．故焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，再由直线FA的斜率是﹣，可得直线FA的倾斜角为120°，设准线和x轴的交点为M，则∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°﹣120°=60°．∴AM=MF?tan60°=4，故点A（0，4），把y=4代入抛物线求得x=6，∴点P（6，4），故|PF|==8，故答案为8．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，直线的倾斜角和斜率的关系，抛物线的标准方程和简单性质的应用，属于中档题．16.若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是___________．参考答案：略17.若时，均有，则=

参考答案：3/2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知A={x|1<|x-2|<2},B={x|x2-(a+1)x+a<0}，且A?B1?,试确定a的取值范围.

参考答案：解不等式1<|x-2|<2得0<x<1或3<x<4

∴A={x|0<x<1或3<x<4},

…………3分又B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}，

………………6分从数轴上可直观地得到，要使A?B1?则a的范围是（-￥，1）è（3，+￥）

………………10分19.已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数． （Ⅰ）若过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值； （Ⅱ）当x＞0时，求证：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据函数导数和切线斜率之间的关系即可求实数a的值； （Ⅱ）构造函数，利用导数证明不等式即可； （Ⅲ）利用参数分离法结合导数的应用即可得到结论． 【解答】解答：（I）函数的f（x）的导数f′（x）=， ∵过点A（2，f（2））的切线斜率为2， ∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分） （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）； 则函数的导数g′（x）=a（）．…（4分） 令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1， ∴g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增． ∴g（x）最小值为g（1）=0， 故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分） （Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，则h′（x）=﹣1， 令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分） 当a＞e时，h（x）在（1，e）是增函数，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分） 当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上递增，（a，e）上递减， ∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分） 当a≤1时，h（x）在（1，e）上递减，则需h（e）≥0， ∵h（e）=a+1﹣e＜0不合题意．…（11分） 综上，a≥e﹣1…（12分） 【点评】本题主要考查导数的综合应用，要求熟练掌握导数的几何意义，函数单调性最值和导数之间的关系，考查学生的综合应用能力． 20.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，分别为和的中点，平面，其垂足F落在直线上。（1）求证：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值。参考答案：（1）见解析；（2）．（1）∵在直三棱柱中，平面，又∵平面，∴．……2分又∵平面，平面，∴．又∵分别为和的中点，∴，∴．……4分而平面，平面，且，∴平面．又∵平面，∴．……5分（2）由（1）知平面，平面，从而，如图，以为原点建立空间直角坐标系．……