2024年中考数学考点几何综合题的三类折叠问题（原卷版）

方法必备09几何综合题的三类折叠问题题型一：翻折与几何基本图形题型二：翻折与隐形圆题型三：翻折与二次函数题型一：翻折与几何基本图形1．（2024·山东泰安·一模）如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处，与相交于点E．求证：2．（2023·江苏泰州·二模）如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕．(1)求证：；(2)若落在的右侧，求的范围；(3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由．3．（2023·吉林松原·三模）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点E为射线上一点，将沿折叠，点A的对应点为点F．

(1)若，直接写出的长（用含a的代数式表示）；(2)若点E与点C重合，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由；(3)若，直接写出的度数．4．（2023·广东茂名·二模）如图，正方形中，E是边的中点，将沿折叠，得到，延长交边于点P．

(1)求证：；(2)若，求的长．5．（2023·广西贵港·二模）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点处，连接，如图1，请直接写出与的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为，然后展开，沿过点A与上的点G所在的直线折叠，使点B落在上的点P处，连接，如图2，猜想的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线的对称点，连接，，，如图3，求的度数．6．（2023·吉林长春·模拟预测）如图1，平面上，四边形中，，，，，，点M在边上，且．点P沿折线以1个单位速度向终点C运动，点是点A关于直线的对称点，连接，设点P在该折线上运动的时间为．(1)直接写出线段的长；(2)如图2，连接．①求的度数，并直接写出当、M、A共线时t的值；②若点P到的距离为1，求的值；(3)当时，请直接写出点到直线的距离（用含t的式子表示）．7．（2023·河南周口·模拟预测）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图（1），正方形纸片，点是边上（点不与点，重合）任意一点，沿折叠到，如图（2）所示；操作二：将图（2）沿过点的直线折叠，使点的对称点落在上，得到折痕，点的对称点记为，如图（3）所示；操作三：将纸片展平，连接，如图（4）所示．根据以上操作，回答下列问题：①，，三点（填“在”或“不在”一条直线上；②和的位置关系是，数量关系是；③如图（5），连接，改变点在上的位置，（填“存在”或“不存在”点，使平分．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片，，，按照（1）中的方式操作，得到图（6）或图（7）．请完成下列探究：①当点在上时，如图（6），和有何数量关系？并说明理由；②当的长为1时，请直接写出的长．8．（2023·山东枣庄·中考真题）问题情境：如图1，在中，，是边上的中线．如图2，将的两个顶点B，C分别沿折叠后均与点D重合，折痕分别交于点E，G，F，H．

猜想证明：(1)如图2，试判断四边形的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交于点M，N，的对应线段交于点K，求四边形的面积．9．（2023·内蒙古通辽·中考真题）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．

(1)如图1，当点M在上时，___________度；(2)改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．10．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知，点为上一动点，将以为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点落在上时，．”小红：“若点为中点，给出与的长，就可求出的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰中，由翻折得到．（1）如图1，当点落在上时，求证：；（2）如图2，若点为中点，，求的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰中，．若，则求的长．11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，四边形是边长为的菱形，，点为的中点，为线段上的动点，现将四边形沿翻折得到四边形．

(1)当时，求四边形的面积；(2)当点在线段上移动时，设，四边形的面积为，求关于的函数表达式．12．（2023·重庆·中考真题）在中，，，点为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．题型二：翻折与隐形圆一、单选题1．（湖北鄂州·中考真题）如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点，BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠，A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（）A．5 B．7 C．8 D．2．如图，菱形ABCD边长为4，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．33．（22-23九年级上·浙江金华·期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、填空题4．（2022·广东汕头·一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．5．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为．6．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是．7．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，矩形，，，E为中点，F为直线上动点，B、G关于对称，连接，点P为平面上的动点，满足，则的最小值．三、解答题8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．9．（2022·天津河东·二模）已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形，为线段上的动点，将沿直线对折，使点落在处．(1)如图①，当时，求点的坐标；(2)如图②，连接，当时．①求点的坐标；②连接，求与重叠部分的面积；(3)当点在线段（不包括端点）上运动时，请直接写出线段的取值范围．10．（2022·重庆·三模）在中，，CA＝2CB．将线段CA绕点C旋转得到线段CD．(1)如图1，当点D落在AB的延长线上时，过点D作交AC的延长线于点E，若BC＝2，求DE的长；(2)如图2，当点D落在CB的延长线上时，连接AD，过点C作CF⊥AB于点F，延长CF交AD于点E，连接BE，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，将沿AC翻折得到，M为直线AD上一个动点．连接BM，将沿BM翻折得到．当最小时，直接写出的值．题型三：翻折与二次函数1．（21-22九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是第一象限抛物线上一动点，连接，的延长线与轴交于点，过点作轴于点，以为轴，翻折直线，与抛物线相交于另一点．设点横坐标为，点横坐标为，求出与的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下，连接，点在上，且，连接，若，求点坐标．2．（2023·天津河西·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，在y轴正半轴上有一点C，．点D，E分别是线段，上的动点，且均不与端点重合．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图①，连接，将沿x轴翻折得到，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；(3)如图②，连接，当时，求的最小值．3．（2023·广西贵港·三模）抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点为抛物线上一点，且直线轴，点M是抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的解析式与A、B两点的坐标．(2)若点E的纵坐标为0，且以为顶点的四边形是平行四边形，求此时点M的坐标．(3)过点M作直线的垂线，垂足为N，若将沿翻折，点N的对应点为，则是否存在点M，使点则恰好落在x轴上？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，说明段理由．4．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线交轴于，两点，与轴交于点．(1)求的值以及拋物线的顶点的坐标；(2)已知为抛物线上一点（不与点重合），若点关于轴对称的点恰好在直线上，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，平移抛物线，使其顶点始终在直线上，且与相交于点，求面积的最小值．5．（2023·贵州·中考真题）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习