1、微专题：任意角和角的度量-讲义-2021-2022学年高中数学沪教版（2020）必修第二册

【学生版】微专题：任意角和角的度量1、角的概念的推广（2）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和非象限角；（3）终边相同的角及其集合表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝k·360°+α，k∈Z}或S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}【注意】两种度量制度不要混用；2、角度制、弧度制的定义和相关公式（1）定义：①把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad；②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．【说明】角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有扇形中弦长公式；【典例】考点1、对任意角概念的理解例1、下列说法正确的是（）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在轴正半轴上）A．第一象限角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．小于90°的角一定是锐角D．钝角的终边在第二象限【提示】【答案】【解析】【说明】考点2、象限角的判定例2、若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角考点3、区域角的表示例3、集合中的角所表示的范围（阴影部分）是()考点4、角度制与弧度制的运算例4、（1）把写成的形式，其中；（2）若，且与（1）中的终边相同，求：；考点5、扇形面积、弧长公式的应用例5、【一题多变】（1）一扇形的圆心角α＝eq\f(π,3)，半径R＝10cm，求该扇形的面积；（2）若（1）条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（3）若将（1）已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？考点6、对称性问题例6、已知角的终边与角的终边关于轴对称，求：。【归纳】1、任意角及其相关概念（1）角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）角的表示：如图BBOA射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可记为“角”或“”，也可简记为“”。2、角的分类名称定义图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角OAOAB负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角OOAB零角一条射线没有做任何旋转形成的角A（B）（吧）A（B）（吧）O拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置；（2）角的范围不再限于（或）3、象限角与终边相同的角（1）象限角象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角或第二象限角或第三象限角或第四象限角或（2）终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合（或），即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和；（3）角的终边在坐标轴上的角的集合表示角的终边在坐标轴上的角角的集合表示终边落在轴的非负半轴上的角或终边落在轴的非正半轴上的角或终边落在轴上的角或终边落在轴的非负半轴上的角或终边落在轴的非正半轴上的角或终边落在轴上的角或终边落在坐标轴上的角或注意：1、相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差（或）的整数倍；这一条件不能少；2、象限角、终边在坐标轴上的角以及终边相同的角的表达形式不唯一；4、弧度制的相关概念rOrOBA1radr（2）弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的单位制。②记法：用符号表示，读作弧度；如图，的长等于半径，所对的圆心角就是1的角。（3）圆心角与弧长的关系若半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是。（4）角度和弧度的互化角度化弧度弧度化角度1度数弧度数弧度数度数（5）一些特殊角的弧度数角度弧度0角度弧度5、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，则度量单位类别为角度数为弧度数弧长扇形的面积【拓展】弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意她们的前提是为弧度。在运用公式时，还应熟练德掌握这两个公式的变形运用：①；②(其中为扇形的面积）；③比值只反映弧所对圆心角的大小，不反应圆心角的方向，应注意中的绝对值符号，否则会漏解；④扇形面积公式可以类比三角形的面积公式来记忆，，相当于三角形的底，对应为该底边上的高。【即时练习】1、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为eq\f(π,4)米，肩宽约为eq\f(π,8)米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米2、已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（）A．B．C． D．先，再，最后3、终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)4、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．5、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为6、若是第一象限的角，则是第________象限的角．7、终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．8、(一题多解)设集合，，则集合、之间的关系是AOyxP9、如图，点在半径为1且圆心在原点的圆上，且，点从点处出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆旋转。已知点在内转过的角度为，经过第一次到达第三象限，经过后又回到出发点，求，并判断其终边所在的象限。AOyxP10、已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R.（1）若α＝90°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【教师版】微专题：任意角和角的度量1、角的概念的推广（2）任意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和非象限角；（3）终边相同的角及其集合表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝k·360°+α，k∈Z}或S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}【注意】两种度量制度不要混用；2、角度制、弧度制的定义和相关公式（1）定义：①把长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad；②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．【说明】角度制：规定周角的360分之一为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。注意“度”是单位，而非“1度”，因为单位的定义是计量事物标准量的名称。（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．（3）扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有扇形中弦长公式；【典例】考点1、对任意角概念的理解例1、下列说法正确的是（）（均指在平面直角坐标系中，角的始边在轴正半轴上）A．第一象限角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．小于90°的角一定是锐角D．钝角的终边在第二象限【提示】根据象限角、锐角、终边相同的角的概念逐项判断；【答案】D.【解析】对于选项A，不正确，如，都是第一象限角，但它们不是锐角；对于选项B，不正确，如与的终边相同，但它们不相等；对于选项C，不正确，如不是锐角(锐角的取值范围是到)；对于选项D，正确．(钝角的取值范围是到)；故选：D；【说明】本题的解题关键：解决此类问题的关键在于正确理解象限角、锐角、小于的角等概念；解题技巧：本题也可采用排除法，这时需掌握一定的技巧，判定说法为真，常需要证明；判定说法为假，只需举一反例即可；考点2、象限角的判定例2、若角α是第二象限角，则eq\f(α,2)是第________象限角【提示】先由题设表示“第二象限角”，然后再利用不等式性质；【答案】一或三；【解析】因为，α是第二象限角，所以，eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，则eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z；当k为偶数时，eq\f(α,2)是第一象限角；当k为奇数时，eq\f(α,2)是第三象限角；综上，eq\f(α,2)是第一或第三象限角；【说明】1、利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角或象限角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角；2、确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq\f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置；【说明】本题的结论是后面确定半角公式符号的依据；考点3、区域角的表示例3、集合中的角所表示的范围（阴影部分）是()【提示】注意：高中研究角的方法，尤其是：在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边在轴的正半轴；【答案】C【解析】方法1、当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(π,2)，此时α表示的范围与eq\f(π,4)≤α≤eq\f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2nπ＋eq\f(3π,2)，此时α表示的范围与eq\f(5π,4)≤α≤eq\f(3π,2)表示的范围一样，故选C；方法2、根据“变换规律是π”，数形结合直接判断；【说明】1、先由研究角的方法与步骤，按逆时针方向得到区间的起始及终止边界，按由小到大写出最简区间，再加上（），最后还必须熟练的进行集合的合并；2、或利用集合运算与数形结合思想，在平面直角坐标系中找出集合和集合所表示的区域，终边在这两个区域的公共部分的角的集合就是；考点4、角度制与弧度制的运算例4、（1）把写成的形式，其中；（2）若，且与（1）中的终边相同，求：；【提示】注意：终边相同角的表示方法与步骤，度量制度不能“混用”；【解析】（1），因为，所以，（2）因为与的终边相同，所以，又因为，所以，【说明】特别注意：角的两种度量制度不能“混用”；在后续的学习与表示角时，快速准确地实现角度和弧度的互化在今后的学习中是必要的，而实现这两者之间互化的桥梁就是加比例运算；考点5、扇形面积、弧长公式的应用例5、【一题多变】（1）一扇形的圆心角α＝eq\f(π,3)，半径R＝10cm，求该扇形的面积；（2）若（1）条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；（3）若将（1）已知条件改为：“扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【提示】注意：扇形弧长及面积公式使用的前提与条件；【解析】（1）由已知得α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以，S扇形＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)·eq\f(π,3)·102＝eq\f(50π,3)(cm2)；（2）l＝α·R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·R2·sineq\f(π,3)＝eq\f(50π,3)－eq\f(1,2)·102·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(50π－75\r(3),3)(cm2)；（3）由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0<R<10)，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad；【说明】通过本题说明：应用弧度制解决问题的方法：1、利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；2、求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题；3、在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形；考点6、对称性问题例6、已知角的终边与角的终边关于轴对称，求：。【提示】注意：任意角与终边相同角的表示方法；【错解1】由题意，得：；【错解2】由题意，得：；【答案】；【解析】如图所示，角与角的终边关于轴对称，所以角的终边与角的终边重合，所以，；【说明】注意：结合对称的几何性质与终边相同角的表示；规范整理得：（1）若角的终边与角的终边关于轴对称，则；（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，则；（3）若角的终边与角的终边关于原点对称，则；（4）若角的终边与角的终边关于直线对称，则；（5）若角的终边与角的终边关于直线对称，则；（6）若角的终边与角的终边互相垂直，则；【请：用“弧度制”表示上述关系】【归纳】1、任意角及其相关概念（1）角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。（2）角的表示：如图BBOA射线为始边，射线为终边，点为角的顶点，图中角可记为“角”或“”，也可简记为“”。2、角的分类名称定义图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角OAOAB负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角OOAB零角一条射线没有做任何旋转形成的角A（B）（吧）A（B）（吧）O拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面：①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置；（2）角的范围不再限于（或）3、象限角与终边相同的角（1）象限角象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角；象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角或第二象限角或第三象限角或第四象限角或（2）终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合（或），即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和；（3）角的终边在坐标轴上的角的集合表示角的终边在坐标轴上的角角的集合表示终边落在轴的非负半轴上的角或终边落在轴的非正半轴上的角或终边落在轴上的角或终边落在轴的非负半轴上的角或终边落在轴的非正半轴上的角或终边落在轴上的角或终边落在坐标轴上的角或注意：1、相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差（或）的整数倍；这一条件不能少；2、象限角、终边在坐标轴上的角以及终边相同的角的表达形式不唯一；4、弧度制的相关概念rOrOBA1radr（2）弧度制：①定义：以弧度为单位来度量角的单位制。②记法：用符号表示，读作弧度；如图，的长等于半径，所对的圆心角就是1的角。（3）圆心角与弧长的关系若半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是。（4）角度和弧度的互化角度化弧度弧度化角度1度数弧度数弧度数度数（5）一些特殊角的弧度数角度弧度0角度弧度5、弧长与扇形面积公式设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，则度量单位类别为角度数为弧度数弧长扇形的面积【拓展】弧度制下的弧长公式及扇形面积公式明显比角度制下的公式简单，但要注意她们的前提是为弧度。在运用公式时，还应熟练德掌握这两个公式的变形运用：①；②(其中为扇形的面积）；③比值只反映弧所对圆心角的大小，不反应圆心角的方向，应注意中的绝对值符号，否则会漏解；④扇形面积公式可以类比三角形的面积公式来记忆，，相当于三角形的底，对应为该底边上的高。【即时练习】1、《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为eq\f(π,4)米，肩宽约为eq\f(π,8)米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）A．1.012米B．1.768米C．2.043米D．2.945米【答案】B；【解析】“弓”所在弧长为l＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,4)＋eq\f(π,8)＝eq\f(5π,8)，其所对圆心角为α＝eq\f(\f(5π,8),\f(5,4))＝eq\f(π,2)，所以两手之间的距离约为eq\r(2)×1.25≈1.768.2、已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（）A．B．C． D．先，再，最后【答案】A【解析】如图所示，因为直线与圆相切，所以，所以扇形的面积为，,因为，所以扇形AOQ的面积,即，所以，3、终边落在第一象限角平分线上的角的集合是________________．(用角度表示)【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}；4、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为____弧度．【答案】eq\f(π,3)；5、已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为【答案】6；【解析】设扇形的半径为r(r＞0)，弧长为l.由扇形面积公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4.所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.6、若是第一象限的角，则是第________象限的角．【答案】第一或第三【解析】因为是第一象限的角,所以,即有,当为偶数时,是第一象限的角；当为奇数时,是第三象限的角；故答案为第一或第三；7、终边在直线y＝eq\r(3)x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π))【解析】如图，在坐标系中画出直线y＝eq\r(3)x，可以发现它与x轴的夹角是eq\f(π,3)，在[0，2π)内，终边在直线y＝eq\r(3)x上的角有两个：eq\f(π,3)，eq\f(4,3)π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－eq\f(2,3)π，－eq\f(5,3)π，故满足条件的角α构成的集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)π，－\f(2,3)π，\f(π,3)，\f(4,3)π)).8、(一题多解)设集合，，则集合、之间的关系是【答案】M⊆N；【解析】方法1、由于M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))