广东省汕尾市碣南中学高三数学理上学期期末试卷含解析

广东省汕尾市碣南中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象与图象变化．【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．【解答】解析：函数有意义，需使ex﹣e﹣x≠0，其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，又因为，所以当x＞0时函数为减函数，故选A答案：A．2.下列四个函数中，在区间，上是减函数的是.

.

.

.参考答案：B3.已知数列{an}是等差数列，且a1+a4+a7=2，则cos（a3+a5）=A．

B．-

C．

D．-

参考答案：B【知识点】等差数列的性质∵等差数列{an}中，a1+a4+a7=3a4=2，∴a4=，又a3+a5=2a4=，∴cos（a3+a5）=cos=﹣，故选B.【思路点拨】利用等差数列的性质可得a3+a5=2a4=，从而可得答案．

4.已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，则k的取值范围是（）A． B． C．（﹣∞，0） D．参考答案：D【考点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】转化函数的零点为方程的根，利用数形结合求解即可．【解答】解：函数，若函数g（x）=f（x）﹣k仅有一个零点，即f（x）=k，只有一个解，在平面直角坐标系中画出，y=f（x）的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k∈（﹣∞，0）∪（，2），答案为D，故选：D．【点评】本题考查分段函数的应用，函数的图象以及函数的零点的关系，考查转化思想以及数形结合的应用．5.实数满足若目标函数取得最大值4，则实数a的值为A.4 B.3 C.2 D.参考答案：C6.正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（） A． B．2 C． D．参考答案：A【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质． 【分析】由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值． 【解答】解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4， ∴， 即q2﹣q﹣2=0， 解得q=2或q=﹣1（舍去）， ∵=4a1， ∴， 即2m+n﹣2=16=24， ∴m+n﹣2=4，即m+n=6， ∴， ∴=（）=， 当且仅当，即n=2m时取等号． 故选：A． 【点评】本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件． 7.在的展开式中，的幂指数是整数的项共有（

） A．3项

B．4项

C．5项

D．6项参考答案：C略8.已知复数z是一元二次方程的一个根，则的值为（

）A.1 B. C.0 D.2参考答案：B由题意可得：或，则：的值为.本题选择B选项.9.若点P是函数上任意一点，则点P到直线的最小距离为

（

）A．

B．

C．

D．3参考答案：A略10.在等差数列中，，则数列的前11项和等于（

）A.24

B.48

C.132

D.66参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线被圆截得的弦长为

．参考答案：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长。12.设x、y为正数，若，则的最小值是

.参考答案：4【分析】整体代入可得，由基本不等式可得结果.【详解】，且，

，

当且仅当即且时取等号.

故答案为4.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，整体代入是解决问题的关键，属基础题.13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为．参考答案：【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】化圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0为标准方程，求出圆心和半径，然后解出AC、BD，可求四边形ABCD的面积．【解答】解：圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．SABCD=故答案为：14.已知Sn为数列{an}的前n项和，，若，则__________．参考答案：【详解】因为，所以数列为等比数列所以，又，则，故答案为.点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.15.实数x，y满足，若2x﹣y≥m恒成立，则实数m的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣]【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，由2x﹣y≥m恒成立，即求2x﹣y的最小值，设z=2x﹣y，利用其几何意义求最小值【解答】解：x，y满足的平面区域如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，当经过图中的A时z最小，由，得A（）．所以z的最小值为2×﹣=﹣所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]；故答案为：（﹣∞，﹣]．16.已知函数若使得，则实数的取值范围是

.参考答案：略17.已知的一个内角为，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的最大边的边长是__________________.参考答案：14三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（Ⅰ）证明：BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BD1E的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）过D1作D1F⊥AE交AE于F，由已知结合面面垂直的性质可得D1F⊥平面ABCE，进一步得到BE⊥D1F，在△ABE中，，满足AB2=AE2+BE2，可得BE⊥AE，再由线面垂直的判定可得BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，且为三棱锥D1﹣BCE的高，然后利用等积法求得三棱锥C﹣BD1E的体积．【解答】（Ⅰ）证明：过D1作D1F⊥AE交AE于F，∵平面D1AE⊥平面ABCE，且平面D1AE∩平面ABCE=AE，∴D1F⊥平面ABCE，∵BE?平面ABCE，∴BE⊥D1F，在△ABE中，，满足AB2=AE2+BE2，∴BE⊥AE，又∵AE∩D1F=F，∴BE⊥平面D1AE；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，且为三棱锥D1﹣BCE的高，由此可得．19.（2015?上海模拟）（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．参考答案：【考点】：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】：计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（1）由已知BC∥AD，∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，由此能求出直线SC与AD所成角．（2）利用等体积可求点B到平面SCD的距离．解：（1）∵BC∥AD，∴∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，∵SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan∠SCB=，∴直线SC与AD所成角为arctan．（2）连接BD，设点B到平面SCD的距离为h．∵VS﹣BCD=VB﹣SCD，∴=，∴，∴h=，∴点B到平面SCD的距离为．【点评】：本题考查直线与直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e=，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-,直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．（1）求椭圆方程；（2）若，求m的取值范围．参考答案：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝1

5′（2）由＝λ，∴λ＋1＝4，λ＝3或O点与P点重合=

7′当O点与P点重合=时，m=0当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0（*）x1＋x2＝，x1x2＝

11′∵＝3∴－x1＝3x2∴消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0

13′m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，因λ＝3∴k≠0∴k2＝>0，∴－1<m<－或<m<1容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝

16′略21.某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为的一条小路行进百米后到达山脚B处，然后沿坡角为的山路向上行进百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为，由于山势变陡到达山峰D坡角为，然后继续向上行进百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图，假设A、B、C、D四个点在同一竖直平面（1）求B，D两点的海拔落差；（2）求AD的长．参考答案：解（1）

………5分（2）法一：在中，由余弦定理

………9分在中，由余弦定理

所以

………12分（2）法二：在中，由正弦定理得，所以……9分以下同法一

略22.（本小题满分12分