隐函数与参量函数微分法

隐函数与参量函数微分法两边对x求导，当遇到y

的函数f(y)时第2页,共33页，2024年2月25日，星期天将求出的这些导数代入得到关于的代数方程，至于隐函数求二阶导数，与上同理第3页,共33页，2024年2月25日，星期天例1解解得第4页,共33页，2024年2月25日，星期天例2解所求切线方程为显然通过原点.第5页,共33页，2024年2月25日，星期天例3解第6页,共33页，2024年2月25日，星期天补证反函数的求导法则由隐函数的微分法则第7页,共33页，2024年2月25日，星期天例4解第8页,共33页，2024年2月25日，星期天例5求证抛物线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于a第9页,共33页，2024年2月25日，星期天证故曲线上任一点处切线的斜率为切线方程为第10页,共33页，2024年2月25日，星期天故在两坐标轴上的截距之和为二、对数求导法有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦第11页,共33页，2024年2月25日，星期天观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.——目的是利用对数的性质简化求导运算。--------对数求导法适用范围:例6解等式两边取对数得第12页,共33页，2024年2月25日，星期天例7解这函数的定义域第13页,共33页，2024年2月25日，星期天两边取对数得两边对x求导得两边取对数得第14页,共33页，2024年2月25日，星期天两边对x求导得同理例8解两边取对数得第15页,共33页，2024年2月25日，星期天两边对x求导得例9解两边取对数得两边对x求导得第16页,共33页，2024年2月25日，星期天例10解等式两边取对数得第17页,共33页，2024年2月25日，星期天一般地第18页,共33页，2024年2月25日，星期天三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?第19页,共33页，2024年2月25日，星期天——参量函数由复合函数及反函数的求导法则得第20页,共33页，2024年2月25日，星期天容易漏掉第21页,共33页，2024年2月25日，星期天例11解第22页,共33页，2024年2月25日，星期天所求切线方程为例12证第23页,共33页，2024年2月25日，星期天例13设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点处的切线的直角坐标方程第24页,共33页，2024年2月25日，星期天解由极坐标和直角坐标的变换关系知切线斜率为第25页,共33页，2024年2月25日，星期天故切线的直角坐标方程为例14第26页,共33页，2024年2月25日，星期天解第27页,共33页，2024年2月25日，星期天四、相关变化率第28页,共33页，2024年2月25日，星期天相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例15解4000m第29页,共33页，2024年2月25日，星期天水面上升之速率第30页,共33页，2024年2月25日，星期天五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:

通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.第31页,共33页，2024