衍射和傅里叶光学的数理基础

衍射和傅里叶光学的数理基础傅里叶光学，就是采用傅里叶分析（频谱分析）的方法来分析光学问题。所讨论的问题仍然是有关光波的传播、分解与叠加（干涉、衍射）、光学系统的成像规律。傅里叶分析方法的引入，使人们对各种光学现象的本质和内在规律有了更深入地了解和认识。傅里叶光学已成为光学中的一个分支。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第2页,共52页，2024年2月25日，星期天时间分解原子发光是断续，它总是发出具有一定持续时间的波列，这样的光波不是单色光波，波动方程会变的很复杂，它的特性也不能很容易得到。用这样的光波叠加、分解时，几乎无法对它进行计算。用傅里叶数学方法就可以把这样一个在时间上有限的波列，即一个“多时间频率”成分的“多色”光波，分解成许多无限长波列的简谐波，即许多单频率成分的单色光波的叠加。这是傅里叶方法用于光学中的“时间分解”。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第3页,共52页，2024年2月25日，星期天空间频谱分解在传播中或与物质相互作用中，在空间上受到种种限制的单色光波，其简谐波在空间范围内的延续性受到了破坏，也同样使得光波成为了非单色光。采用傅里叶方法把这些空间受限或空间调制的波面进行分解，可以得到许多不同方向或不同空间频率的平面波成分，这个分解称为空间频谱分解。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第4页,共52页，2024年2月25日，星期天对于诸如光的传播、叠加(干涉)、衍射及成像等光学现象，传统的方法是在空间城中直接讨论。利用傅里叶方法就可以把对这些现象的分析转化到频率城中，用频谱分析方法进行讨论，因为有时候，在空间分析这些问题是很困难的。可以说，傅里叶分析方法促进了现代光学的发展。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第5页,共52页，2024年2月25日，星期天第一节常用非初等函数

所谓初等函数，是指在自变量的定义域内，能用单一解析式对五种基本初等函数进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。在函数论中，有五种函数被称为基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。非初等函数是我们光学中常用的数学工具。非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第6页,共52页，2024年2月25日，星期天一、标准形式的一维非初等函数

sinc函数严格来说并不是非初等函数，但是。我们在讨论衍射问题是会用到。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础1.矩形函数

矩形函数又称为门函数，记为

第7页,共52页，2024年2月25日，星期天矩形函数曲线下面积为1，即该函数满足：

在光学上，常用矩形函数表示狭缝衍射孔径和矩形光源等。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础2.sinc函数

sinc函数定义为：

第8页,共52页，2024年2月25日，星期天它的中央极大被称为中央主极大，其宽度为2。其余称为次极大，宽度为1。在光学中，单缝的夫琅和费衍射后得到的复振幅就是一个sinc函数。曲线下面积为1：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础sinc函数的另一个定义：

Sinc函数的性质

此时自变量是一个角度。第9页,共52页，2024年2月25日，星期天将sinc函数平方，就得到：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础3.函数

振幅的平方是光的强度，所以，

函数表示的是单缝衍射得到的光强。

第10页,共52页，2024年2月25日，星期天二、一维非初等函数的一般形式

在实际使用中，当然不可能总是只用到标准的函数，更经常用的应该是它们的一般形式。

1.比例缩放、平移和反射一个一维矩形函数经过比例缩放、平移和反射后，得到一个一般形式的矩形函数：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第11页,共52页，2024年2月25日，星期天各参数的意义

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础a——纵向缩放因子。它确定了函数的纵向缩放比例及反射（以为轴反射）。b——纵向平移因子。——横向平移因子。

L——横向缩放因子。它确定了函数的横向缩放比例及反射（以x=x0为轴反射）

第12页,共52页，2024年2月25日，星期天2.非初等函数的四则运算和复合

将非初等函数进行四则运算和复合后就可以表示较为复杂的物理过程。矩形调制波。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础该矩形调制波可表示为：

第13页,共52页，2024年2月25日，星期天三、常用二维非初等函数

二维非初等函数的形式和描述它时选用的坐标系有关。坐标系的选取原则是有利于函数的简化运算。所以，非对称物理量通常选择在直角坐标系中来描述，而具有圆对称分布的物理量就选择在极坐标中描述。如果一个二维函数可以表示为：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础则称这个二维函数为可分离变量函数。第14页,共52页，2024年2月25日，星期天可分离变量函数我们可以将它当作两个一维函数的乘积，即可以分别对一维函数进行处理，再把它们乘起来即可。二维函数的可分离性与描述它时选取的坐标系有关。

1.直角坐标系中的二维非初等函数

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础二维矩形函数第15页,共52页，2024年2月25日，星期天二维矩形函数

二维矩形函数在直角坐标系中是可分离变量函数，它的定义为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础在光学中，这样的一个二维矩形函数常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。第16页,共52页，2024年2月25日，星期天二维矩形函数的一般形式可表示为：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础它表示的是中心位于

边长为的均匀照明矩形孔径的振幅透射系数。

第17页,共52页，2024年2月25日，星期天2.极坐标系中的二维非初等函数

圆域函数又称为圆柱函数，记为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础或

它在极坐标系中定义为：

它在直角坐标系中的定义为：

第18页,共52页，2024年2月25日，星期天在光学中，圆域函数常用来描述均匀照明圆形孔径的透射系数。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第19页,共52页，2024年2月25日，星期天第二节光学中常用的特殊函数

一、δ函数和梳状函数

狄拉克函数，也称为脉冲函数。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础

我们用δ函数来表示任何在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的电脉冲等。

对一个线性系统的复杂的输入，只需把复杂的输入分解成大量的δ函数的叠加，并对每个δ函数适当加权定位。我们只要知道系统对单个脉冲输入（即δ函数）的响应，则输出就可由系统对所有δ函数的响应的叠加来获得，简化计算。正因为如此，在现代光学中δ函数的应用很广泛。

第20页,共52页，2024年2月25日，星期天

δ函数又称为“奇异函数”或“广义函数”，有两个原因：一是δ函数没有确定的函数值，它只是一种极限状态，并且它的极限状态与其余函数也不同，它不收敛到一个定值，而是收敛到无穷大。二是δ函数不能像普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第21页,共52页，2024年2月25日，星期天1.一维δ函数的定义

δ函数可以有两种不同的定义（1）分段函数形式的定义：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第22页,共52页，2024年2月25日，星期天

在光学中，常用来表示位于坐标原点的具有单位光功率的点光源，这样的一个点光源，由于它所占的面积趋于零，所以在点光功率密度趋于无穷大。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础即为

也可以被形象地比喻成如右图所示的正在不断向上拉伸的面团，这时无论将面团拉得多高，面团的体积、(这时不是面积而是体积)总是一定的，而且，随着高度的增高，宽度愈来愈窄。

中心在

第23页,共52页，2024年2月25日，星期天（2）普通函数序列极限形式的定义

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础设是一个普通函数序列，

在时具有无穷大极值，且对于任意，均有曲线下面积等于1。于是函数可定义为：

第24页,共52页，2024年2月25日，星期天

只要满足条件，所有的序列函数都可以用来定义δ函数。我们用矩形函数序列来说明δ函数的定义。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础

设矩形函数宽度a

，高度为1/a，其总面积为1，随着宽度的减小，高度逐渐增大，当a→0时，高度1/a→∞，此时，矩形函数就演变成只在x=0点有值的脉冲函数。

-2-1-1/201/212第25页,共52页，2024年2月25日，星期天

从数学的观点来看，我们并不关心δ函数本身的严格形式，而只关心它在积分号下的性态；从物理的角度来看，我们只须把它看作足够窄，以至当使它进一步变窄时不再影响我们所关心的结果。第二章衍射和傅立叶光学的数理基础2.一维δ函数的性质

（1）积分性质：δ函数的积分可以直接从定义推导出来：

这一积分有时又称为δ函数的强度。第26页,共52页，2024年2月25日，星期天根据δ函数的定义，还可以得到：

δ函数的筛选性：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础如果一个函数与δ函数相乘并积分，则这一积分有明确值：

δ函数的这一个性质的作用，是通过与连续函数相乘的积分，筛选出连续函数在脉冲所在位置的一个函数值。

第27页,共52页，2024年2月25日，星期天推论1:

推论2：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础若定义在区间，则有：

（2）δ函数的乘积性质

设在x=x0点连续，则有：

第28页,共52页，2024年2月25日，星期天

δ函数的乘积性质又称抽样性质。它表示任一连续函数与δ函数相乘，其结果只能抽取该函数在δ函数所在点处的函数值，这个离散点为第二章衍射和傅立叶光学的数理基础由这一性质，我们还可以得到这样的一个推论：

第29页,共52页，2024年2月25日，星期天（3）坐标缩放性质

设a为实常数，则有：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础推论1：

推论2：

这就是δ函数缩放性的含意。函数的面积现在是a而不是1。第30页,共52页，2024年2月25日，星期天3.一维梳状函数comb(x)

（1）梳状函数的定义：呈周期排列的δ函数所组成的函数称为梳状函数，如图所示，记为comb(x)，数学表达式为：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第31页,共52页，2024年2月25日，星期天（2）梳状函数的性质

这其实就是间隔为1，强度为1的δ函数无穷序列，所以又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。在光学上，常用它来表示光栅常数为1的一维细缝光栅的振幅透射系数。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础梳状函数的性质可由δ函数的定义和性质直接求出。

①梳状函数的筛选性

设是定义在区间的连续函数，则有：

第32页,共52页，2024年2月25日，星期天②缩放性质：

③平移性质：设a和x0皆为实常数，则有：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础设a为实常数，则有：

这是强度为，脉冲间隔为的函数无穷序列。其中，当时，脉冲间隔压缩，当时，脉冲间隔放大。

第33页,共52页，2024年2月25日，星期天④乘法性质：

除了常数a的缩放作用外，系统的坐标原点同时向右平移了x0/a

。

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础这一性质又称为函数的抽样性质。

第34页,共52页，2024年2月25日，星期天4.二维δ函数和梳状函数

二维δ函数是可分离变量函数，即有：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础二维δ函数表示为，它是位于坐标平面上坐标原点处的一个单位脉冲，当然，它的原点也可以在任意一点。

第35页,共52页，2024年2月25日，星期天二维梳状函数是可分离变量函数，即有：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础二维梳状函数表示为它是分布在平面上的矩形网格上，间隔为的二维单位脉冲序列，

第36页,共52页，2024年2月25日，星期天二、贝塞尔函数1.n阶第一类贝塞尔函数的定义

第一类贝塞尔函数的定义为：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础其中

函数具有以下性质：

所以，当p为正整数时，又称为阶乘函数。

第37页,共52页，2024年2月25日，星期天当n为偶数时，有

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础

为偶函数；当为n奇数时，有

为奇函数。第38页,共52页，2024年2月25日，星期天2.贝塞尔函数的性质

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础第39页,共52页，2024年2月25日，星期天第三节傅立叶变换的基本概念及运算

一、傅立叶级数及频谱的概念

1.傅立叶级数的定义

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础设周期为的函数满足狄里赫利条件：

（2）只存在有限个极值点；（3）只存在有限个第一类间断点；（4）绝对可积，即

（1）在区间分段连续；第40页,共52页，2024年2月25日，星期天则此函数可以被展开成傅立叶级数的形式：

其中:

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础以复指数函数表示的博里叶级数

第41页,共52页，2024年2月25日，星期天由此可见：第二章衍射和傅立叶光学的数理基础的基频

称为称为的谐频，或简称为频率。

周期函数可以被分解为一系列频率为，复振幅为的谐波。

第42页,共52页，2024年2月25日，星期天2.频谱的概念

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础按频率的分布图形称为的频谱。而通常是复数，所以又将它的模的值随的分布图称为的振幅频谱，而的幅角随的变化图就叫做的位相频谱。

第43页,共52页，2024年2月25日，星期天

将一个给定的周期函数展开成傅里叶级数，然后对它的各次谐波的频率和振幅进行分析，这就是频谱分析。

二、一维傅里叶变换的定义

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础傅里叶变换可以表示为：

傅里叶逆变换表示为：

复指数函数称为傅里叶“核”，它表示一个频率为的谐波成分。

第44页,共52页，2024年2月25日，星期天用运算符号表示：

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础傅里叶变换可以表示为：

傅里叶逆变换表示为：

第45页,共52页，2024年2月25日，星期天三、广义傅里叶变换

1.广义傅里叶变换的定义

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础是一个存在狭义傅里叶变换的普通序列函数，即有：

（N为整数）

如果可以表示为的极限，即：

第46页,共52页，2024年2月25日，星期天2.几种特殊函数的一维傅里叶变换

第二章衍射和傅立叶光学的数理基础并且，当时，的极限存在，于是可