新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（四十六） 三角函数的应用

课时跟踪检测（四十六）三角函数的应用

A级—学考合格性考试达标练

1.简谐运动y=4sin（5x—S的相位与初相是（）

nJI兀

A.5x一3,-yB.5x—^f4

jiJIJI

C.5x—~一§D.4,-y

解析：选C相位是5x—当x=0时的相位为初相即一1~.

i2JiJI

2.最大值为今最小正周期为〒，初相为式的函数表达式是（）

2TTTT

解析：选D由最小正周期为飞-,排除A、B;由初相为了，排除C.

3.在两个弹簧上各挂一个质量分别为Mi和此的小球，它们做上下自由振动.已知它

们在时间，⑸时离开平衡位置的位移si（cm）和S2（cm）分别由下列两式确定：

si=5sin（2f+w）,§2=5cos（2r—3）.则在时间£=事-时，si与§2的大小关系是（）

A.S1>S2B.S1<S2

C.Si=S2D.不能确定

2n

解析：选C当-时，si=—5,S2=-5,.・.S1=S2.选C.

4.如图所示,一个单摆以0A为始边,0B为终边的角，（一n<0<Jt）与时间f（s）O

满足函数关系式，=Wsin（2f+"|）fG[O,+°°）,则当，=0时，角，的大小及单摆\

频率是（）A

1J_

A.2,2,T

C.y冗D.2,31

解析：选B当£=0时，6=1sin^=1,由函数解析式易知单摆周期为2；=TT,故

单摆频率为十.

5.在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12h,低潮时水深为9m,高潮时水深

为15m.每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间f(h)的函数图象可以近似地看成

函数y=Asin(祝+夕)+伙4>0,。>0)的图象，其中0<f<24,且f=3时涨潮到一次高潮，

则该函数的解析式可以是()

JIJI

A.y=3sin7+12B-尸一3疝铲+12

JIJT

C.y=3sin适，+12D.y=3cos不t+12

2n

解析：选A由相邻两次高潮的时间间隔为12h,知T=12,且T=12=—(@>0),

3

得口=£,又由高潮时水深15m和低潮时水深9m,得A=3,左=12,由题意知当£=3时,

y=15.故将£=3,y=15代入解析式y=3sin停1+，+12中，得3sin&X3+，+12=15,

得《X3+9=E+2ATT(FZ),解得9=24TT优WZ).所以该函数的解析式可以是y=

o乙

nn

3sinl-z+2inl+12=3sin~^~z+12.

6.函数y=-3sin1—2x+w)(x20)的初相为

解析：由诱导公式可知y=-3sin(—Zx+g^nSsiii。％一弓^,故所求的初相为一£.

JI

答案：-

3

7.某时钟的秒针端点A到中心点。的距离为5cm,秒针均匀地绕点。旋转，当时间

£=0时，点A与钟面上标12的点b重合，若将A,5两点的距离d(cm)表示成时间”s)的

函数，则〃=，其中，£[0,60].

解析：秒针1s转4弧度，后秒针转了白弧度，如图所示，sin-^=

JUJUuu

——4

5，

〜nt

所以d=10sin*7^.

答案：lOsiir^

8.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：尸=Asin(onf+S+60(美元)(4>0,

。>0),现采集到下列信息：最高油价80美元，当f=150(天)时达到最低油价，则。的最小

值为.

解析：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P=Asin^6dnJ+60,最

高油价80美元，

所以A=20.当£=150(天)时达到最低油价，

即sin(1503n+~^=-1,

,nn

此时150/TT+7=24n—才，keZ,

因为①>0,所以令左=1,

得150①n+9=2n—与，解得①

Q乙JL/U

故co的最小值为7^.

JL/U

答案.」一

□末,120

9.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120〜140mmHg和60-90mmHg.心脏跳动

时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读

数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(f)=U5

+25sin(160Jt/),其中M，)为血压(mmHg),f为时间(min),试回答下列问题：

(1)求函数p(。的周期；

(2)求此人每分钟心跳的次数；

(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较.

52n2n1

解：(1)r=itJ|=160n=80(min),

(2»=*=80.

(3Wmax=U5+25=140(mmHg),

p(f)min=115-25=90(mmHg).

即收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90

mmHg,在正常值范围内.

10.如果某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足y=Asin@x+0)+

。>0,如图所示.

(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量;

⑵写出这段曲线的函数解析式.

解：(1)观察图象知8〜14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万

度.

(2)观察图象可知，1r=14-8=6,

：.T=12,

2nn

aj=­=—

Z>=1x(50+30)=40,A=1x(50-30)=10,

/.y=lOsin^-x+9)+40.

将x=8,y=30代入上式，解得°=T~+2An仅WZ),又|0|<丹，：・(/)=%

所求解析式为y=10sinH-x+£^+4O,xG[8,14].

B级—面向全国卷高考高分练

1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，么一^

已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间《秒))

满足关系式v=Asin®f+°)+2,贝！1()三生叁(三

152Ji

A.g=2兀，A=3B・g=]5，A=3

2冗15

C•3(u，A^5D.gA:=5

152几f

MSL2nX42n

解析：选B由题意知A=3,3=而=]5.

2.动点4(x,y)在圆好+,2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，I2秒旋转一周.已

知当时间，=0时，点A的坐标是G，乎)，则当0W/W12时，动点A的纵坐标y关于，(单

位：秒)的函数的单调递增区间是()

A.[0,1]B.[1,7]

C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]

解析：选D由已知可得该函数的周期T—12,:・3=T=..又,:当，=0时,

4七，与，.\y=sin停+5],fG[O,12].可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].

3.已知简谐振动的振幅是|,图象上相邻最高点和最低点的距离是5,且过点(0,力，

则该简谐振动的频率和初相是()

”-

S'6

解析:选B由题意可知,4=5,32+&=52,则T=8,3=等=奉尸微§也仔工+

由日sin0=4,得sin。|<与，,0=]■.因此频率是初相为

Z4LLOoO

4.如图所示，一个大风车的半径为8m,每12min旋转一周，最低点离地面2m.若

风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离加m)与时间

f(min)之间的函数关系是()

A./z=8cos币+10B.h=—8cos-y^+10

C.&=—8sin不+10D.7Z=-8COST/+10

解析：选D依题意可设/?=Asin(祝+协+5(4>0,3>0),易知7=12,4=8,B=

+10,当f=0时，8sin0+10=2,得sin。=

一nfnnAn

—1,可取9=一可，所以7z=8siiil—Z——I+10=-8COS~T~^n+10.

乙\OJo

5.示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0),已知M,

尸是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是.

解析：由题意可设曲线方程为y=4sin(ox+0)3>>O).因为；=4,所以7=16,所以。

所以y=4sin(1~x+9).又曲线经过点Af(2,4),所以5乂2+9=2+2411,kG

Z,所以9=；+2ATT,kEZ,所以

答案：y=4sin停x+总

6.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间，⑸之间的一组对应值如下表所示，

则可近似地描述该物体的位置y和时间f之间的关系的一个三角函数式为.

t00.10.20.30.40.50.60.70.8

y-4.0-2.80.02.84.02.80.0-2.8-4.0

解析：设y—Asin3)，+e),则从表中可以付到A—4,T—0.8,3———-•又由

T1Un.QoL

n(5nrt\-5n

4sin。一4.0,可付sin。-1,取°—,故y—4sin|丁门—z-l,即y—4cos

»5JT

答案：y=-4cos

7.如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m,圆上最低

点与地面距离为0.8m,60s转动一圈，图中04与地面垂直，以04为(o/\I

始边，逆时针转动。角到。5,设3点与地面距离为瓦7J]

(1)求我与，间关系的函数解析式；

(2)设从开始转动，经过fs到达。5,求〃与，间关系的函数解析式.

解：(1)过点。作地面的平行线0N,过点5作0N的垂线5M交ON/一~XR

于点(。春’方)'

nn

当了＜，Wn时，NBOM=e-[h=\OA\+0.8+\BM\=5.6+

4.8sin(6一

当/白，nV8〈2n时，上述解析式也适合.

综上所述，/i=5・6+4.8sin(8一

(2)因为点A在。0上逆时针运动的角速度是④rad/s,所以£s转过的弧度数为舁，所

以九=4.8sin儒g)+5.6,00,+oo).

8.某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间

/(0W/W24,单位：时)呈周期性变化，每天时刻，的浪高数据的平均值如下表：

耐)03691215182124

y迷)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0

(1)作出这些数据的散点图；

(2))^y—at+b,y=Asin(3+仍+匕和y=Atan(0f+°)中选一个合适的函数模型，并求

出该模型的解析式;

⑶如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排

恰当的训练时间.

解：(1)散点图如图所示.

米

03691215182124〃时

(2)由(1)知选择y=Asin((yf+0)+5较合适.

令A>0,。>0,|0|<n.

2TTTI

由图可知，A=0.4,b=l,T—12,所以0=丁=6・

把f=0,y=l代入y=0.4sin^t+，+l,得夕=0.

故所求拟合模型的解析式为y=0.4sin£f+l(0WfW24).

(3)由y=0.4sin与+1》0.8,得sin£f》—j.

,n,一n_7n,

则一不+2左n优eZ),

即12k-l<02k+7(kGZ),

注意到fG[0,24],所以0WfW7,或11W/W19,或23W/W24,再结合题意可知，应

安排在11时到19时训练较恰当