2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题17导数与函数的极值最值学生版

专题17导数与函数的极值、最值一、【知识梳理】【考纲要求】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．【考点预测】1.函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.2.函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【常用结论】1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.【方法技巧】1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值.3.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.4.导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.5.利用导数求函数f(x)在[a，b]上的最值的一般步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.6.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.二、【题型归类】【题型一】根据函数图象判断极值【典例1】(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值【典例2】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)【典例3】(多选)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A.－3是函数y＝f(x)的极值点B.－1是函数y＝f(x)的极小值点C.y＝f(x)在区间(－3，1)上单调递增D.－2是函数y＝f(x)的极大值点【题型二】求已知函数的极值【典例1】已知函数f(x)＝lnx＋eq\f(a－1,x)，求函数f(x)的极小值．【典例2】已知函数f(x)＝x3＋6lnx，f′(x)为f(x)的导函数．(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数g(x)＝f(x)－f′(x)＋eq\f(9,x)的单调区间和极值．【典例3】已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值．【题型三】已知函数的极值求参数值(范围)【典例1】函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于()A．－7 B．0C．－7或0 D．－15或6【典例2】设函数g(x)＝lnx－mx＋eq\f(m,x)，若g(x)存在两个极值点x1，x2，求实数m的取值范围.【典例3】设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求实数a的值；(2)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．【题型四】利用导数求函数的最值【典例1】函数y＝eq\f(x,ex)在[0，2]上的最大值是()A．eq\f(1,e) B．eq\f(2,e2)C．0 D．eq\f(1,2\r(e))【典例2】已知函数f(x)＝3lnx－x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))x在区间(1，3)上有最大值，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，5)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(11,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，5))【典例3】已知函数g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)．(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．【题型五】构造法解决抽象函数问题【典例1】定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且对任意x∈R都有f′(x)<eq\f(1,2)，则不等式f(x2)>eq\f(x2＋1,2)的解集为()A．(1，2)B．(0，1)C．(1，＋∞)D．(－1，1)【典例2】函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，若f(ln2)＝eq\f(1,2)，则满足不等式f(x)>eq\f(1,ex)的x的取值范围是()A．(1，＋∞) B．(0，1)C．(ln2，＋∞) D．(0，ln2)【典例3】f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________．三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．【训练二】已知函数f(x)＝x2－2x＋alnx(a>0)．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)有两个极值x1，x2，x1<x2，不等式f(x1)≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．【训练三】已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2，a∈R.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【训练四】已知函数f(x)＝alnx＋eq\f(1,x)(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)是否存在实数a，使得函数f(x)在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【训练五】已知函数f(x)＝eq\f(lnx,x)－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1)．(1)求实数a的值；(2)设b>1，求f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,b)，b))上的最大值和最小值．【训练六】已知函数f(x)＝eq\f(1,2)m(x2－1)－lnx(m∈R)．(1)若m＝1，求证：f(x)≥0；(2)讨论函数f(x)的极值．四、【强化测试】【单选题】1.函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝1或－1或0 D．x＝02.函数y＝eq\f(x,ex)在[0,2]上的最大值是()A.eq\f(1,e)B.eq\f(2,e2)C．0D.eq\f(1,2\r(e))3.已知函数f(x)＝2lnx＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为()A．2 B．－eq\f(5,2)C．3＋ln2 D．－2＋2ln24.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于()A.eq\f(2,3)B.eq\f(4,3)C.eq\f(8,3)D.eq\f(16,3)5.函数f(x)＝x＋2cosx在[0，π]上的最大值为()A．π－2 B.eq\f(π,6)C．2 D.eq\f(π,6)＋eq\r(3)6.若函数f(x)＝(x2－a)ex的两个极值点之积为－3，则f(x)的极大值为()A.eq\f(6,e3) B．－eq\f(2,e)C．－2e D.eq\f(4,e2)7.函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在区间[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29(a>0)，则a，b的值为()A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2C．a＝2，b＝3 D．以上都不对8.设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A．a<b B．a>bC．ab<a2 D．ab>a2【多选题】9.已知f(x)＝eq\f(3x,ex)，则f(x)()A.在(－∞，＋∞)上单调递减B.在(－∞，1)上单调递增C.有极大值eq\f(3,e)，无极小值D.有极小值eq\f(3,e)，无极大值10.已知函数f(x)＝eq\f(x2＋x－1,ex)，则下列结论正确的是()A.函数f(x)存在两个不同的零点B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值C.当－e＜k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根D.若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝eq\f(5,e2)，则t的最小值为211.对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列说法正确的是()A.x＝3是函数f(x)的一个极值点B.f(x)的单调递增区间是(－1，1)，(2，＋∞)C.f(x)在区间(1，2)上单调递减D.直线y＝16ln3－16与函数f(x)的图象有3个交点12.已知函数f(x)＝xlnx＋x2，x0是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A．0<x0<eq\f(1,e) B．x0>eq\f(1,e)C．f(x0)＋2x0<0 D．f(x0)＋2x0>0【填空题】13.函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝________处取得极小值．14.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝________；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．15.若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．16.若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内存在最小值，则实数k的取值范围是________．【解答题】17.已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．18.已知函数f(x)＝xlnx.(1)求函数f(x)的极值点；(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自然对数的底数)．19.已知函数f(x)＝lnx－eq\f(2x－2,x＋1).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝f(x)－eq\f(4＋a,x＋1)＋2(a∈R)，若x1，x2是函数g(x)的两个极值点，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值和最小值.21.若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋