第四章 全等三角形 模型 专题讲义 2023-2024学年北师大版数学七年级下册

第页全等三角形模型1.平移模型把△ABC沿着某一条直线平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.常见模型：【例1】如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB//DE,AC//DF,BE=CF.试说明:△ABC≌△DEF.【变式1-1】如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，使点B的对应点E恰好落在边BC的中点上，点C的对应点F在BC的延长线上，连接AD，AC、DE交于点O．下列结论一定正确的是（）∠B=∠F B．AC⊥DE C．BC=DF D．AC、DE互相平分【变式1-2】如图，△ABC的边AC与△CDE的边CE在一条直线上，且点C为AE的中点，AB=CD，BC=DE．(1)求证：；【变式1-3】如图，点D，A，E，B在同一直线上，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.试说明：∠F＝∠C.【变式1-4】如图,EC//FB，EC=FB,其中点A,B,C,D在一条直线上.请给题目添上一组条件,使得△ACE≌△DBF,并说明理由. 【变式1-5】如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，连接BD交AC于点F．(1)求证：△AFB≌△CFD；(2)若AB=9，BC=7，求BF的取值范围．2.轴对称模型将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.常见模型：【例2】如图,已知CE,BD分别是等腰△ABC中AB,AC边上的中线,判断CE,BD之间的数量关系,并说明理由.【变式2-1】阅读材料，并回答下列问题如图1，以AB为轴，把△ABC翻折180°，可以变换到△ABD的位置；如图2，把△ABC沿射线AC平移，可以变换到△DEF的位置．像这样，其中的一个三角形是另一个三角形经翻折、平移等方法变换成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫三角形的全等变换．班里学习小组针对三角形的全等变换进行了探究和讨论（1）请你写出一种全等变换的方法（除翻折、平移外），．（2）如图2，前进小组把△ABC沿射线AC平移到△DEF，若平移的距离为2，且AC＝5，则DC＝．（3）如图3，圆梦小组展开了探索活动，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，且得出一个结论：2∠A′＝∠1+∠2．请你对这个结论给出证明．（4）如图4，奋进小组则提出，如果把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE外部点A′的位置，此时∠A′与∠1、∠2之间结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，写出正确结论并证明．【变式2-2】如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12【变式2-3】如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，边BC上，连接DE,AD=AC，ED=EC．(1)求证：∠ADE=∠C．(2)若AB⊥DE,∠B=30°，求∠A的度数．3.旋转模型将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件.常见模型:【例3】如图,AB//CD，AB=CD,AD,BC相交于点0,BE//CF,BE,CF分别交AD于点E,F.试说明:(1)△AB0≌△DC0;(2)BE=CF【变式3-1】如图1，点F是正方形ABCD边CD上一点，连接AF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°与△ABG重合（D与B重合，F与G重合，此时点G，B，C在一条直线上），∠GAF的平分线交BC于点E，连接EF，判断线段EF与GE之间有怎样的数量关系，并说明理由．【变式3-2】如图,已知AE=AC,∠C=LE,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE的是() A.∠B=∠D B.BC=DE C.∠1=∠2 D.AB=AD【变式3-3】将两个三角形纸板△ABC和△DBE按如图所示的方式摆放，连接DC．已知∠DBA=∠CBE，∠BDE=∠BAC，AC=DE=DC．

(1)试说明△ABC≌(2)若∠ACD=72°，求∠BED的度数．4.一线三等角模型（“K”）基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，【同侧】条件：B,E,C三点共线，【异侧】条件：B,E,C三点共线，【例4】如图,已知C是线段AB上一点,∠DCE=∠A=∠B,CD=CE.（1）说明△ACD与△BEC全等的理由.（2）说明AB=AD+BE的理由.【变式4-1】（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．【变式4-2】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于（）A．3 B．2 C．94 D．【变式4-3】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．求证：BC=AE．[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________________．[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．【变式4-4】（1）课本习题回放：“如图①，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm．求BE的长”，请直接写出此题答案：（2）探索证明：如图②，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，AB=AC，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，且∠BED=∠CFD=∠BAC．求证：ΔABE≌（3）拓展应用：如图③，在ΔABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠BED=∠CFD=∠BAC．若ΔABC的面积为15，则ΔACF5.倍长中线模型中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．常见模型:【例5】小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7，AC=5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≅△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：(1)小明证明△BED≅△CAD用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)AD的取值范围是；(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC，求证：AB=AC．【变式5-1】如图,在△ABC中,D为BC的中点,若AC=3,AD=4,则AB的长不可能是（）.A.5 B.7 C.8 D.9【变式5-2】如图,在△ABC中,点0为BC的中点，点M为AB上一点,ONLOM交AC于点N,试说明:BM+CN>MN.【变式5-3】如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=LBCA.试说明:AE=2AD.6.截长补短模型截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句,可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程,截长补短法(往往需证2次全等)。模型图示：截长:在较长线段上截取一段等于某一短线段,再证剩下的那一段等于另一短线段。例:如图,求证BE+DC=AD；方法:①在AD上取一点F,使得AF=BE,证DF=DC;②在AD上取一点F,使DF=DC,证AF=BE(2)补短:将短线段延长,证与长线段相等。【例6】如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°,∠D=60°,AB=BC,点E，F分别在AD，CD上，且.试说明:EF=AE+CF.【变式6-1】如图,已知四边形ABCD中,AD//BC,若DAB的平分线AE交CD于E，连接BE,且BE恰好平分∠ABC,则AB的长与AD+BC长度的大小关系是 () A.AB>AD+BC B.AB<AD+BC C.AB=AD+BC D.无法确定 【变式6-2】如图,在△ABC中,ABC=60°,△ABC的角平分线AD,CE交于点0.求证:AC=AE+CD.【变式6-3】如图,把两个全等的直角三角形的斜边重合，∠CAD=∠CBD=90°,组成一个四边形ACBD,以D为顶点作∠MDN,交边CA,BC的延长线于M,N.当∠ACD+∠MDN=90°时,AM,MN,BN之间有何数量关系?请说明理由。7.半角模型如图：已知∠2=12∠AOB，【说明】连接F′B，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E、FE，可得△OEF′≌△OEF【例7】如图,在正方形ABCD中,E,F分别是边BC,CD上的点,∠EAF=45°.求证:EF=DF+BE.【变式7-1】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=12（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D